【正文】 ? ? ? ? ? ? ? ?m in m in1 w wg x g x g x g x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 所以有 )()( xgxf ??? , 從而迭代格式 )()1(1 kkk xwgxwx ???? 比迭代格式 )(1 kk xgx ?? 收斂快 . 數(shù)值實例 通過以上四種方法都可以解決非收斂不動點迭代格式的問題，現(xiàn)對上述四種給出幾個不滿足不動點迭代收斂定理的實例，并對結果進行分析和比較 . 例 求方程 033 ???xx 在區(qū)間 ? ?2,1 內(nèi)的根，要求精度為 510? ． 解 對于方程 033 ???xx ，將它化為 33??xx ，所以 3)( 3 ??xxg ，則當 ? ?2,1?x 時，13)( 2 ??? xxg ，不滿足定理 的條件 (2),因此不能由 ()的迭代格式計算 . 下面分別用反函數(shù)方法、牛頓（ Newton）迭代法、 Steffensen 迭代法、松弛法對迭代函數(shù)進行修改，得到相應新的迭代函數(shù)，并用 C 語言編程上機計算 . (1)反函數(shù)法：迭代格式為 ),(11 kk xgx ?? ? 即 .)3( 311 ??? kk xx 取初值 ?x ，運用程序見附錄 1． (2)牛頓 （ Newton） 迭代法：迭代格式為 ,)(1 )()()(1 )(1 k kkkkkkk xg xgxxgxg xgxxx ?? ????????? 即 .13 3231 )3( 23231 ???? ????? kkkkkkk xxxxxxx 取初值 ?x ，運用計算程序見附錄二； (3) Steffensen 迭代法：迭代格式為 ),( kk xgy ? ),( kk ygz ? ? ? ? ? .)(2))(( )())(())((2221 kkk kkkkkk kkkk xxgxgg xgxggxggxyz yzzx ?? ????? ???? 即 ,33?? kk xy ,3)3( 33 ??? kk xz 18 ? ? .)3(23)3( )3(3)3(3)3( 3332333331 kkk kkkk xxx xxxx ????? ????????? 取初值 ?x ，運用如下程序可以得到結果： (4)松弛法：迭代格式為 ),()1(1 kkk xwgxwx ???? 即 ),3()1( 31 ????? kkk xwxwx 當 ? ?2,1?x 時， 13)( 2 ??? xxg ，且 3)(min ?? xg ， 12)(max ?? xg ，所以 w 的取值范圍為01122 ???? w ，現(xiàn)取 ?x ， ??w ，運用 C 語言編程可得到起結果． 以上這四種方法的計算結果見表 ()，本例中以上四種方法都是收斂的，因此這四種方法均可以解決不滿足收斂條件的不動點迭代收斂問題，同時本例中變換后的 Newton迭代法收斂的最快 . 表 例 的四種方法的計算結果 迭代次數(shù) 反函 數(shù)法 Newton法 Steffensen 迭代法 松弛法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 例 求方程 0124 ??? xx 在區(qū)間 ? ?2,1 內(nèi)的根，要求精度為 510? . 解 對于 方程 0124 ??? xx ，將它化為 2121 4 ?? xx ， 所以 2121)( 4 ?? xxg ，則當? ?2,1?x 時， 14)( 3 ??? xxg ，因此不滿足不動點迭代收斂條件，為求此次方程的解，下面同樣分別用本章介紹的四種方法求解此方程 . (1)反函數(shù)法：迭代格式為 ),(11 kk xgx ?? ? 將方程變?yōu)榈袷綖? ? ? .12 411 ??? kk xx 19 取初值 ?x ，運行附錄 5 的相應程序即可得計算結果 . (2)牛頓（ Newton）迭代法 :迭代格式為 ,)(1 )()()(1 )(1 k kkkkkkk xg xgxxgxg xgxxx ?? ????????? 代人例題中的數(shù)據(jù) .12 212321212134341 ?????????? ?????kkkkkkk xxxxxxx 取初值 ?x ，運行附錄 6 的程序即可的計算結果 . (3)Steffensen 迭代法：迭代格式為 ),( kk xgy ? ),( kk ygz ? ? ? ? ? .)(2))(( )())(())((2221 kkk kkkkkk kkkk xxgxgg xgxggxggxyz yzzx ?? ????? ???? 代入例題中的數(shù)據(jù)有 ,2121 4 ??kk xy ,2121212144 ??????? ?? kk xz .2121221212121212121212121212121214442444441kkkkkkkxxxxxxx??????? ????????? ??????????????? ????????? ????????? ??? 取初值 ?x ，運行附錄 7 即可算得計算結果 . (4)松弛法：迭代格式為 ),()1(1 kkk xwgxwx ???? 代入例題中的數(shù)據(jù)有 .2121)1( 41 ?????? ????? xwxwx kk 當 ? ?2,1?x 時， 14)( 3 ??? xxg ， 13224)( 3m a x ????? xg ，所以 w 取值在 01322 ???? w ，現(xiàn)取 ??w ， 初值 ?x ，運行附錄 8 的程序即可得到計算結果 . 以上這四種方法的計算結果見表 ()，本例中以上四種方法都是收斂的，因此這四種方法均可以解決不滿足收斂條件的不動點迭代收斂問題，同時本例中變換后的 Newton迭代法收斂的最快． 20 表 例 的四種迭代結果 迭代次數(shù) 反函數(shù)法 Newton法 Steffensen 迭代法 松弛法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 例 求方程 032 ???xex 在區(qū)間 ? ?1,0 內(nèi)的根，要求精度為 510? . 解 將方程化為等價形式 xex 23?? ，那么此時 xexg 23)( ?? .當 ? ?1,0?x 時，12)( ???? xexg ，因此不滿足不動點迭代收斂條件 .按下面這四種方法處理可以得到近似解 . (1)反函數(shù)法：首先由反函數(shù)處理方法可得到迭代格式 ,223ln1 ?????? ??? kk xx 取初值 ?x ，運用程序見附錄 9. (2)牛頓（ Newton）迭代法：由牛頓迭代法得到迭代格式 ,21 321 kkxxkkk eexxx ? ????? 取初值 ?x ，運用程序見附錄 10. (3)Steffensen 迭代法：由 Steffensen 迭代法得到迭代格式 ,23 kxk ey ?? ,23 22 ?????? ??? kxek ez ? ? ? ?? ?? ? ,)23(223232323223231kxeeek xee eex kkxkxkx???????????? 取初值 ?x ，運用程序見附錄 11. (4)松弛法：由松弛法得到迭代格式為 21 ? ?,23)1(1 xkk ewxwx ????? 當 ? ?1,0?x 時， 122)( ??????? xexg ， exg 2)(min ??? ，所以 w 取 ew 21 20 ??? 之間的值，現(xiàn)取 ?w ，初值 ?x ，運用程序見附錄 12. 以上 這四種方法的計算結果見表 ()，本例中以上四種方法都是收斂的，因此這四種方法均可以解決不滿足收斂條件定理的不動點迭代收斂問題，同時本例中變換后的Newton 迭代法收斂的最快． 表 例 的四種迭代結果 迭代 次數(shù) 反函數(shù)法 Newton 法 Steffensen 迭代法 松弛法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 結 論 非線性代數(shù)問題的解法是現(xiàn)代計算數(shù)學的一個重要研究課題，而不動點迭代算法是求解非線性方程近似根的一個重要方法 . 。22)(2133 ???????? ??? xxgx （ 4） 。 Last, inverse function method, the newton iterative method,Steffensen iterative method and the relaxation method are proposed when the equation dose not satisfy the fixed point iteration convergence conditions. Keywords: Nonlinear Equation, Fixed Point Theorem, Iterative Method II 目 錄 摘 要 ................................................................................................................ I ABSTRACT........................................................................................................ I 第 1 章 緒 論 ................................................................................................ 1 研究 背景 ..................................................................