【正文】 1010010001)(000???????????????????nnnnxayDyaxaxyxyxaxyxayDyaayyyxayyxxayxxxyayyxayxxaxxxyaD??????????????????????????? 同理 11 )()( ?? ???? nnn yaxDxaD 聯(lián)立解得 )(,)(( yxyx xayyaxDnnn ?? ???? ） 當(dāng) yx? 時(shí) , ? ?1 2 1122 1 12( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) ( 2) ( ) ( ) ( 1 )nnn n nn n nD a x D x a x a x D x a xa x D n x a x a x a n x????? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 行列式的計(jì)算方法研究 9 “一路直推” 例 1: 計(jì)算 n 階行列式1 2 2 11 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1nn n nxxxDxa a a a a x???????． 解 首先建立遞推關(guān)系式．按第一列展開，得： ? ? ? ? ? ?1 1 1111 2 3 2 11 0 0 01 0 0 0 00 1 0 01 0 0 00 0 0 01 1 1 0 1 0 00 0 0 10 0 0 1n n nn n n n n nn n nxxxxD x a x D a x D axxxa a a a a x? ? ???? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????， 這里 1nD? 與 nD 有相同的結(jié)構(gòu)，但階數(shù)是 1n? 的行列式． 現(xiàn)在，利用遞推關(guān)系式計(jì)算結(jié)果．對(duì)此，只需反復(fù)進(jìn)行代換，得： ? ? ? ?2 2 1 2 22 1 2 1 3 2 1 1 2 2 1 nnn n n n n n n n n n n n n nD x x D a a x D a x a x x D a a x a x D a x a x a x a??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，因 111D x a x a? ? ? ?，故 111nnn n nD x a x a x a? ?? ? ? ? ?． 最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明這樣得到的結(jié)果是正確的． 當(dāng) 1n? 時(shí)，顯然成立．設(shè)對(duì) 1n? 階的情形結(jié)果正確，往證對(duì) n階的情形也正確．由 ? ?1 2 11 1 2 1 1 1 n n n nn n n n n n n nD x D a x x a x a x a a x a x a x a? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，可知，對(duì) n階的行列式結(jié)果也成立．根據(jù)歸納法原理，對(duì)任意的正整數(shù) n，結(jié)論成立． 對(duì)角直遞 例 1： 證明 n階行列式2 1 0 0 0 01 2 1 0 0 010 0 0 1 2 10 0 0 0 1 2nDn? ? ?． 行列式的計(jì)算方法研究 10 證明 : 按第一列展開，得 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 020 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 10 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2nD ??． 其中，等號(hào)右邊的第一個(gè)行列式是與 nD 有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為 1n? 的行列式，記作 1nD? ；第二個(gè)行列式，若將它按第一列展開就得到一個(gè)也與 nD 有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為 2n? 的行列式，記作 2nD? ． 這樣，就有遞推關(guān)系式： 122n n nD D D????． 因?yàn)橐褜⒃辛惺降慕Y(jié)果給出，我們可根據(jù)得到的遞推關(guān)系式來證明這個(gè)結(jié)果是正確的． 當(dāng) 1n? 時(shí)， 1 2D? ，結(jié)論正確．當(dāng) 2n? 時(shí)，2 21 312D ??，結(jié)論正確． 設(shè)對(duì) 1kn?≤ 的情形結(jié)論正確，往證 kn? 時(shí)結(jié)論也正確． 由 ? ?122 2 1 1n n nD D D n n n??? ? ? ? ? ? ? 可知，對(duì) n階行列式結(jié)果也成立． 根據(jù)歸納法原理，對(duì)任意的正整數(shù) n，結(jié)論成立． 分析 :此行列式的特點(diǎn)是：除主對(duì)角線及其上下兩條對(duì)角線 的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對(duì)角”行列式 [1]。其中范德蒙行列式就是一種。它要求： 1 保持原行列式的值不變； 2 新行列式的值容易計(jì)算。 一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。假設(shè) 1??kn 時(shí)命題成立 ,考察 n=k 的情形： 故命題對(duì)一切 自然數(shù) n 成立。總的原則是：充分利用所求行列式的特點(diǎn)，運(yùn)用行列式性質(zhì)及上述常用的方法，有時(shí)綜合運(yùn)用以上方法可以更簡(jiǎn)便的求出行列式的值；有時(shí)也可用多種方法求出行列式的值。 在臨近畢業(yè)之際，我還要借此機(jī)會(huì)向在這四年中給予了我?guī)椭椭笇?dǎo)的所有老師表示由衷的謝意，感謝他們四年來的辛勤栽培。 。 同時(shí)，在論文寫作過程中，我還參考了有關(guān)的書籍和論文，在這里一并向有關(guān)的作者表示謝意。 行列式的計(jì)算方法研究 21 參考文獻(xiàn) [1] 線性代數(shù) 方法導(dǎo)引 [m].屠伯塤 .上?？拼蟪霭嫔?.1994 [2] 高等代數(shù) [m].王萼芳 .石生明 .高等教育出版社 .1995 [3] 高等代數(shù)全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解 [m].杜煒 .馬訾偉 .中國(guó)時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社 .1998. [4] 高等代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題全解（北大第三版） [m].王勇 .科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社 .1995. [5] 高等代數(shù)習(xí)題集（上下冊(cè)） [m].楊子胥 .山東科學(xué)技術(shù)出版社 .2020. [6] 高等代數(shù)習(xí)題課參考書 [m].張均本 .高等教育出版社 .2020. [7] 高等代數(shù) [m].上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)系 主編 .復(fù)旦大學(xué)出版社 .2020. [8] 高等代數(shù) [m].王住登 .國(guó)防工業(yè)大學(xué)出版社 .2020. [9] Introduction To Higher Algebra[m].Dover publications 2020. [10] Higher Enginering Mathematics[m].John . 行列式的計(jì)算方法研究 22 謝辭 本論文設(shè)計(jì)在老師的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下業(yè)已完成，從課題選擇到具體的寫作過程，無不凝聚著老師的心血和汗水，在我的畢業(yè)論文寫作期間，劉老師為我提供了種種專業(yè)知識(shí)上的指導(dǎo)和一些富于創(chuàng)造性的建議，沒有這樣的幫助和關(guān)懷，我不會(huì)這 么順利的完成畢業(yè)論文。使問題簡(jiǎn)化以利計(jì)算。因?yàn)榻o定一個(gè)行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。加邊法適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素分別為 1?n 個(gè)元素的倍數(shù)的情況。 變形范德蒙行列式 例 1 計(jì)算行列式122 2 21 1 2 21 2 1 2 1 21 1 2 21 1 11 1 1nnnn n n n n nnnx x xD x x x x x xx x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? 解 把第 1行的－ 1 倍加到第 2行，把新的第 2行的－ 1倍加到第 3 行，以此類推直到把新的第 n－ 1行的－ 1倍加到第 n行，便得范德蒙行列式 122 2 21211 1 1121 1 1()nn i jn i jn n nnx x xD x x x x xx x x? ? ?? ? ?? ? ?? 例 2：計(jì)算 1n? 階行列式 1 2 2 11 1 1 1 1 1 1 11 2 2 12 2 2 2 2 2 2 21 2 2 11 1 1 1 1 1 1 1