【正文】 5 原式 = 2 22 4221 111 c o s .2l im l im 1111 .112xxn nn nnn? ? ? ???????? ????. 要點： 在求乘除式極限里，其因子可用等價因子代替，極限不變 .最常用的等價關(guān)系如：當 0x? 時， ? ? ? ?111~ s i n ~ t a n ~ a r c s i n ~ a r c t a n ~ l n 1 ~ 1 ~ ~ln bxx xax x x x x x e ab ?????（其中 a0,b? 0） . 還有 ? ? 211 cos ~ 2xx? . 利用初等變形求極限 例 7 求 limnx x??,設 23c o s c o s c o s c o s2 2 2 2n nx x x xx ?. 解 乘以 2 sin22 sin2nnnnxx . 23c o s c o s c o s c o s2 2 2 2n nx x x xx ? ? sin2 sin2n nxx ? sin sin2.sin 2nnxxxx ?(當 n?? 時 )（ x0? ） . 要點： 用初等數(shù)學的方法將 nx 變形，然后求極限 . 利用夾逼性準則求極限 定理 3[1] 設 Axhxfxxxx ?? ?? )(lim)(lim 00, 且在 0x 某一空心鄰域 0 0( , )Ux?? 內(nèi) 有 ( ) ( ) ( )f x h x g x?? , 則 6 0lim ( )xxh x A? ?. 例 8 求 ??????? xxxx 1sinsin1lim 20. 解 : 當 0?x 時 , 有 2 2 21 1 1| sin sin | | sin |x x xx x x?? ??????, 從而 2110 | s in s in | | |xxxx????????, 由夾逼準則得 2011lim | s in s in | 0x xxx? ???????, 所以 01s ins in1lim 20 ???????? xxxx. 注意 1 夾逼準則多適用于所考慮的函數(shù)比較容易適度放大或縮小 , 而且放大和縮小的函數(shù)是容易求得相同的極限 . 基本思想是把要求解的極限轉(zhuǎn)化為求放大或縮小的函數(shù)或數(shù)列的極限 . 注意 2 利用夾逼準則求函數(shù)極限的關(guān)鍵： （ 1）構(gòu)造函數(shù) )(xf , )(xh , 使 )(xf ? )(xg ? )(xh ； （ 2） Axhxfxxxx ?? ?? )(lim)(lim 00, 由此可得 Axgxx ?? )(lim0. 利用兩個重要極限求極限 兩個重要極限 :（ 1) 1sinlim0 ?? xxx； (2) ex xx ??????? ???11lim . 根據(jù)復合函數(shù)的極限運算法則 , 可將以上兩個公式針對遞推數(shù)列 , 必須驗證數(shù)列兩個進行推廣： (1) 1)( )(sinlim0 ?? xf xfxx ( )(,s in,0)(lim0 xfuuuyxfxx ???? )； (2) exgxgxx ????????? ??)()(11lim 0 ???????? ??????? ????? )(,11,)(lim 0 xguuyxguxx. 例 9 30 sintanlim x xxx ??求. 7 解 : ?????? ????? ?? xx xx xx xx xx c o s1c o s1s inlims inta nlim 2030 ??????????????? ? xxxxxx c o s12s in2s inlim220 211211 ???? 利用變量替換求極限 要點： 為了將未知的極限化簡，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可根據(jù)極限式的特點，適當引入新變量，以替換原有的變量，使原來的極限過程，轉(zhuǎn)化為新的極限過程 . 例 10 若 limnx xa?? ?， limnx yb?? ?，試證 1 2 1 1l im n n nx x y x y x y abn??? ? ? ? ? 解 令 nnxa??? ， nnyb??? ，則 n?? 時， ,0nn??? .于是 1 2 1 1n n nx y x y x yn?? ? ? = 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n na b a b a bn? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 2 1 2nna b a bnn? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 1 2 1 1n n nn? ? ? ? ? ??? ? ?? . （ 1） 當 n?? 時第二、三項趨向零 .現(xiàn)證第四項極限亦為零 . 事實上，因 0n?? (當 n?? 時 )，故 ??n? 有界，即 0M??，使得 n M? ? （ nN?? ），故 111 2 1 100 nnn n n Mnn ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? 從而（ 1）式以 ab 為極限 . 利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限 （適用于求函數(shù)在連續(xù)點處的極限） 8 利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限主要應用下列結(jié)果： (1)若 f(x)在 0x 處連續(xù)，則0xlim?x f(x)= f( 0x )； (2)若)(x 0lim???x x? （ x） =A， y=f(u)在 u=A 處連續(xù)則)(x 0lim???x xf[? (x)]=f(A)。39。 (2)一旦用 39。P U P D?? 時，都有 ? ?f P A ???， 則稱 f 在 D 上當 0PP? 時，以 A 為極限，記作 ? ?0limPPPD f P A?? ??. ??1 在對于 PD? 不致產(chǎn)生誤解時，也可簡單記作 ? ?0limPPf P A? ? . ??1? 當 P ， 0P 分別用坐標 ? ?,xy ， ? ?00,xy 表示時， ??1? 式也常寫作 ? ? ? ? ? ?00,lim ,x y x y f x y A? ?. ??1?? 二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極 限的基礎上發(fā)展起來的 , 兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別． 在極限運算法則上 , 它們是一致的 , 但隨著變量個數(shù)的增加 , 二元函數(shù)極限變得更加復雜 , 它實質(zhì)上是包含任意方向的逼近過程 , 是一個較為復雜的極限 , 對于二元函數(shù) ( , )f xy 的二重極限 , 其重點是研究極限的存在性以及具體的求解方法． 其中 , 求解方法非常多樣 , 靈活性和隨機性很強 , 我在這里總結(jié)了幾種具有代表性的求解方法 . 引例 求 2222( , ) (0,0)lim .xy xyxy? ? 原解法 因為 2 2 2 222 2| | | | | |,( ) 1x y x xxxy y??? ?對 ? ? 0? , 取 0????, 當 x? ? , y? ? , 且 ( ,xy)? (0,0)時 , 有22220xyxy??? 2x 2 ??? , 由極限的定義得 2222( , ) ( 0 ,0 )lim 0xy xyxy? ??. 新解法：令 cossinxryr????? ??當（ ,xy)?(0,0)有 0r ?? , 16 22 2 2 222 c o s s in ,xy rxy ????因為 22| co s sin | 1???, 所以 2222( , ) (0,0 )limxy xyxy? ?? 2 2 20lim c o s s in 0 .r r ???? ? 兩者相對比 , 我們就會發(fā)現(xiàn) , 此例用極坐標代換求極限比用定義求解簡單的多 , 那么 , 選擇一個正確的解題方法就顯得尤為重要了． 下面 , 我會對各類方法進行探索 . 二元函數(shù)極限的若干求法 利用定義求極限 例 26 討論 ? ? 322, xyf x y xy? ?，在 ? ?0,0 的極限 . 解 令 y mx? ? ?3 4 22 2 2220 0 0l im l im l im 011x x xy m x y m xx y m x m xx y mxm? ? ??? ? ? ???? 以為此路徑為特殊路徑，故不能說明 32200lim 0xyxyxy?? ??. 再利用定義判定： 0???，取 2??? ，當 ? ? ? ?220 0 0xy ?? ? ? ? ?時，有 2 2 2 2x x y ?? ? ? , 由于 33 222 10 22x y x y xx y xy? ? ??, 即有： 3 22