【正文】 （ 329） 式中的 )(tB 表示的是在連續(xù)時間序列中隨機過程的布朗橋，將隨機變量 K 的累積分布函數(shù)計算公式為： ??? ???? 1 8 )12( 2 222)Pr( k xkexxK ?? （ 330） KS 檢驗 假設所抽取的樣本都是在零假設下來自某一設定的分布函數(shù) )(xF ，則 KS統(tǒng)計量滿足： )(|))((|s u p ??? ntFBDn tn （ 331） 若 F 是連續(xù)函數(shù)，那么在零假設條件下 nDn 是收斂于 Kolmogorov 分布，其中 Kolmogorov 分布是與分布 F 不相關的?；驹硎菍⒗碚摲植枷碌睦塾嬵l 數(shù)分布與觀察到的累計頻數(shù)分布相比較，找出它們間最大的差異點，并參照抽樣分布，定出這樣大的差異是否處于偶然。這通過解方程 0/)( ??? ddL 來得到。()。設nXXX , 21 ? 為取自總體 X 的樣本，則 nXXX , 21 ? 的聯(lián)合概率函數(shù)為??ni iXp1 ),( ? ，這里 ? 是常量， nXXX , 21 ? 是變量。極大似然估計是建立在這樣的思想上：已知某個參數(shù)能使這個樣本出現(xiàn)的概率最大，當然不會再去選擇其他小概率的樣本，所以干脆就把這個參數(shù)作為估計的真實值。若在一次試驗中，結果 A 出現(xiàn)，則一般認為試驗條件對 A 出現(xiàn)有利，也即 A 出現(xiàn)的概率很大。 則股 票收益率 R 為： XabX XYR ??????? )1( （ 321） 假設隨機變量 X 服從正態(tài)分布， ),(~ 2xxNX ?? ，隨機誤差 ? 是 服從正態(tài)分布的 ),0(~ 2?? N ，則有 ),(~ 2?? aNa? ，那么股票收益率 R 的概率密度可以表示為： ),),1(()( 2xxR abrgrf ?????? （ 322） 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 21 其中： )1,21,)(2)(()(2||)(),(212222212121)(2)(321222212221)22(212222122112122221222222121????????????????????????????????????????????xxG a m c d fexxexxgxx （ 323） 極大似然法參數(shù)估計 極大似然估計法是求 參數(shù) 估計的一種方法。如果回歸分析中包括兩個或兩個以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關系，則稱為多元線性回歸分析。 令 r?21?? ， ???1 ，則： 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 20 )1,21,)(2)(()(2||)()(2222221)(2)(322221)2(222222122222221rzrzG a m c d ferzrzrerzrzfrzzrrZ????????????????????????? （ 319） 從式中可以看出， 1? 影響分布的對稱性： 01?? ，為對稱分布； 01?? ，為負偏分布； 01?? ，為正偏分布。 相對于高斯分布的定義 ),(),(),( 22 ????? Nxfxf ?? ，混合正態(tài)分布計算公式為： ?? ??? Kk kkk Kxfpxf 1 1),(),( ? （ 36） 式中 的 kp 表示的是第 k 個 影 響 因 素 的 系 數(shù) ， 且 滿 足 限 定 條 件?? ??? Kk kk pp 1 1,10 ，大寫字母 K 表示的是總的成分數(shù)量，當 1?K 時表示的就是高 斯分布， },...,...,{ 2121 kkppp ????? 。 拉普拉斯分布的概率密度函數(shù)讓聯(lián)想到 正態(tài)分布 ，但是，正態(tài)分布是用相對于 ? 平均值 的差的平方來表示，而拉普拉斯概率密度用相對于平均值的差的 絕對值 來表示。拉普拉斯 的名字命名的一種連續(xù) 概率分布 。 式中的 ? 表示位移參數(shù)， ? 用來判定分布的對稱性， c 用來表示尺度對分布的影響，代表著穩(wěn)定分布的寬度， ? 表示 的是分布指數(shù)，當 2?? 時反映分布 ? 就表示分布的漸進行為，此時漸進行為可以表示為： ?? ??????? ?? 1|| /)()2/s in ()1(~)( xcxf （ 33） 其中 ? 為伽馬函數(shù)。在穩(wěn)定分布中，獨立同分布的 隨機變量 之和及它們本身具有相同的分布。之后又詳細介紹如何檢驗收益率的尖峰性和厚尾性，分別給出了判別計算式，其中尖峰檢驗有峰度系數(shù)法和 JB 統(tǒng)計量法，厚尾性檢驗有 正態(tài)圖法和尾極值法，文中也都給出了計算方 法。 所以，通過對總體抽樣，在大樣本容量下，對于給定顯著性水平 ? ，若有???nrm ，則就認為該隨機變量的分布呈現(xiàn)“厚尾”性，相反，如果計算得出???nrm ，則就認為該隨機變量分布是“薄尾”性的。有前面尾型判斷原則可知，若尾極值指數(shù) 0?r 是薄尾型的， 0?r 是厚尾型的。所以一般都認為，標準正態(tài)分布的尾分布為薄尾特性，在此基礎上，如果計算某一隨機變量分布的 尾極值指數(shù) 0?r ，則可認為該分布服從正態(tài)分布，如果計算得出尾極值指數(shù) 0?r ，則表示該分布不是正態(tài)分布而是屬于厚尾型分布的。 尾極值指數(shù)法 首先介紹一下尾極值的定義，在金融分析領域里尾極值指數(shù)又可以分為上尾極值指數(shù)和下尾極值指數(shù) 。 圖 21 短尾分布和長尾分布 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 12 圖 22 右偏分布和左偏分布 盡管作直方圖能馬上知道數(shù)據的分布，但它卻不是判斷這些數(shù)據是否來自同一特定分布的好辦法。把正態(tài)分布左邊截去，也會是這種形狀。表明數(shù)據比標準正態(tài)分布時候有更多偏離的數(shù)據。 要利用 圖鑒別樣本數(shù)據是否近似于 正態(tài)分布 ， 只需看 圖上的點是否近似地在一條直線附近 ， 而且該 直線的斜率 為 標準差 ， 截距 為均值 ， 用 圖還可獲得樣本 偏度 和 峰度 的粗略信息 。 JB 統(tǒng)計量是由 Jarque 和 Bera 提出的檢驗法，同時他們在定義了 JB 統(tǒng)計量計算公式的基礎上也理 論推導出 JB 統(tǒng)計量服從的是 2? 分布，并結合數(shù)據計算出自由度為 2，即 JB 統(tǒng)計量滿足： )2(~ 2??JB ，其中 ? 表示的是給定的顯 著性水平 [9]。 JB 檢驗法 JB 統(tǒng)計量通常是由偏度系數(shù)和峰度系數(shù)計算而來的，所謂偏度系數(shù)就是來度量某一分布函數(shù)的對稱性，用 S 來表示。如果 0?K ，表明該隨機變量的分布肯定不是嚴格的正態(tài)分布，因為在均值附近出現(xiàn)高于正態(tài)分布估計的理論值，其峰度高于正態(tài)分布 [8]。隨機變量 X 的峰度系數(shù)定義的是四階中心矩除以其二階中心矩的平方。厚尾現(xiàn)象產生的原因很多，但主要原因是和自然界中的事物相比，金融序列略有不同。 肥尾是指 相對于正態(tài)分布假設的資產收益率的尾部，實際的股票收益率的尾部比正態(tài)擬合的尾部要厚，這也就意味著收益信息的出現(xiàn)不是連續(xù)變化形式的，而是以成堆的方式出現(xiàn)。 尖峰厚尾的含義 一般從統(tǒng)計學方面定義尖峰特性就是某一隨機變量的值出現(xiàn)在均值附近，也就是峰頂附近的概率密度值大于理論上正態(tài)分布的估計值而呈現(xiàn)出在均值附近天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 8 整體高于正態(tài)分布的理論值。 在直角坐標系中作股票收益率分布直方圖時，橫坐標一般為股票收益率，縱坐標是收益率的概率，可以畫出收益率各值對應的概率圖。 （ 3） 在上述定義的公式（ 26）中用到了復利計算，但是這里計算時利率不是一個固定的值，而是將收益率（ tR ）這一隨機變量作為利率計算。比如一個月有 30 個交易日，若采用簡單收益率計算方法，月總收益率可以通過將 30 天總的收益 率相乘得到；若是采用對數(shù)收益率計算方法，則月對數(shù)收益率可以通過對這 30 日的對數(shù)收益率相加求和得出。 第一章：緒論 第三章：股票收益率分布模型 第五章：結論與展望 第四章：中國股票收益率分布實證分析哎 第二章：收益率概述 天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 6 2 股票收益率尖峰厚尾性檢驗 股票收益率計算方法 單期收益率 假設 t 期末股票的價格為 tP ，并且不計算當期的紅利，則從 1?t 期到 t 期的股票差價可以定義為： 1???? ttt PPP （ 21） 設 tR 為簡單收益率，定義為： 111)(???????tttttt P PPPPR （ 22） 知道簡單收益率之后，就可以定義簡單總收益率為： 1/1 ??? ttt PPR （ 23） 再對簡單總收益率取自然對數(shù)，得到對數(shù)收益率或者連續(xù)復合收益率 tr ： )ln ()/ln ()1ln ( 1 ttttt PPPRr ????? ? （ 24） 對對數(shù)收益率進行一階泰勒公式展開 可以看出，當簡單收益率趨近于零時，對數(shù)收益率可以認為與簡單收益率是近似相等的 [7]。第五章為結束語，總結了本文的研究成果并對研究進行展望。 論文的研究思路與組織結構 研究思路 本文旨在研究股票收益率的尖峰、厚尾特性，在第一章緒論中首先介紹本文的研究背景及意義，敘述了金融資產收益率研究的內容及重要性，接著闡述了國內外關于股票收益率的研究現(xiàn)狀，介紹國外提出的集中經典模型以及近年來國內的一些學者的研究成果。在混合正態(tài)分布模型提出以后， Praetz 等人又提出應該用 Scaledt 分布來擬合股票收益，后者能更好的反映股票收益率的尖峰、厚尾特性，并且 Praetz 也從理論上推導了 Scaledt分布的合理性。如 1961 年 Alexander 重新整理分析了Osborne 的數(shù)據，得出了股票收益率確實是具有尖峰、厚尾的基本特征。 股票收益率服從正態(tài)分布這一假設被后來的經濟 學家們廣泛認可，不僅因為正態(tài)分布有著良好的統(tǒng)計特性和簡單方便的計算，更重要的是在加法下，正態(tài)分布是具有穩(wěn)定性的，即股票的任意相加結合仍然是正態(tài)分布的，這樣就與統(tǒng)計學中的大樣本思想相對應，容易進行樣本計算，所以被人們廣泛認可。這也為本研究的順利經行提供了極為便利的條件。本研究在一元線性回歸分析的基礎上提出了一種尖峰厚尾分布，并對滬深股市收益率進行了實證分析，給出了參數(shù)估計的方法，該分布能很好的描述滬深股市收益率的分布特征。由于我 國資產市場起步晚，股票市場發(fā)展也并不完善，現(xiàn)有理論是否同樣適用于我國股票市場，成為相關研究關注的焦點。之前有許多研究都從不同角度對收益率的分布進行了擬合，但究竟 服從是什么分布并未給出定論，本文將從一元線性回歸的角度，選擇近幾年滬深指數(shù)去擬合收益率分布，這將對今后收益率分布研究給出很大的參考價值。我國之前對證券行為的描述模型中，也認為證券收益率服從正態(tài)分布，但是在后來經過許多計量經濟學家對大量數(shù)據進行研究后發(fā)現(xiàn)，我國證券收益率的分布并不服從正態(tài)分布。后來Einstein 從物理、 Wiener 從數(shù)學的角度都對布朗運動做了更深的研究，都從不同天津科技大學 2020 屆本科生畢業(yè)論文 2 的角度驗證了股票收益率服從正態(tài)分布這一性質。 研究背景與意義 研究背景 1602 年，世界上第一個股票交易所在荷蘭的阿姆斯特丹成立，象征著資產市場的的誕生。 對于金融資產收益率的研究已經有一定的歷史了，從最開始的用具有類似性質的布朗運動描述，到后來的正態(tài)分布的提出，再到收益率服從正態(tài)性的否定，在此基礎之上人們提出了很多的分布模型去描述股票收益率，這些研究在很大程度上都促進了金融理論的發(fā)展，并為投資者更好的控制收益風險減少損失提供了一定的理論基礎。 maximum likelihood estimation。最后采用了 KS 檢驗對擬合度進行了檢驗，發(fā)現(xiàn)這種分布可以很好地擬合股票收益率的分布。雖然在之后的研究中發(fā)現(xiàn)有好多的分布對收益率的擬合效果都優(yōu)于正態(tài)函數(shù)，究竟收益率服從何種分布至今并無定論。 自對收益率的研究以來人們在很長時間里都假設收益率是服從正態(tài)分布的，但是經驗分布直觀顯示正態(tài)分布并不能很好的擬合收益率的分布特征，國內外對這一發(fā)現(xiàn)也進行了深刻的探索，并提出了好 多的分布函數(shù)去擬合收益率的分布。在參數(shù)估計的過程中，本文 運用了兩種方法一種是直接用最大似然