【正文】 （ 329） 式中的 )(tB 表示的是在連續(xù)時(shí)間序列中隨機(jī)過(guò)程的布朗橋，將隨機(jī)變量 K 的累積分布函數(shù)計(jì)算公式為： ??? ???? 1 8 )12( 2 222)Pr( k xkexxK ?? （ 330） KS 檢驗(yàn) 假設(shè)所抽取的樣本都是在零假設(shè)下來(lái)自某一設(shè)定的分布函數(shù) )(xF ，則 KS統(tǒng)計(jì)量滿足： )(|))((|s u p ??? ntFBDn tn （ 331） 若 F 是連續(xù)函數(shù)，那么在零假設(shè)條件下 nDn 是收斂于 Kolmogorov 分布，其中 Kolmogorov 分布是與分布 F 不相關(guān)的?；驹硎菍⒗碚摲植枷碌睦塾?jì)頻 數(shù)分布與觀察到的累計(jì)頻數(shù)分布相比較，找出它們間最大的差異點(diǎn)，并參照抽樣分布，定出這樣大的差異是否處于偶然。這通過(guò)解方程 0/)( ??? ddL 來(lái)得到。()。設(shè)nXXX , 21 ? 為取自總體 X 的樣本，則 nXXX , 21 ? 的聯(lián)合概率函數(shù)為??ni iXp1 ),( ? ，這里 ? 是常量， nXXX , 21 ? 是變量。極大似然估計(jì)是建立在這樣的思想上：已知某個(gè)參數(shù)能使這個(gè)樣本出現(xiàn)的概率最大，當(dāng)然不會(huì)再去選擇其他小概率的樣本，所以干脆就把這個(gè)參數(shù)作為估計(jì)的真實(shí)值。若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果 A 出現(xiàn)，則一般認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì) A 出現(xiàn)有利，也即 A 出現(xiàn)的概率很大。 則股 票收益率 R 為： XabX XYR ??????? )1( （ 321） 假設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布， ),(~ 2xxNX ?? ，隨機(jī)誤差 ? 是 服從正態(tài)分布的 ),0(~ 2?? N ，則有 ),(~ 2?? aNa? ，那么股票收益率 R 的概率密度可以表示為： ),),1(()( 2xxR abrgrf ?????? （ 322） 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 21 其中： )1,21,)(2)(()(2||)(),(212222212121)(2)(321222212221)22(212222122112122221222222121????????????????????????????????????????????xxG a m c d fexxexxgxx （ 323） 極大似然法參數(shù)估計(jì) 極大似然估計(jì)法是求 參數(shù) 估計(jì)的一種方法。如果回歸分析中包括兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關(guān)系，則稱為多元線性回歸分析。 令 r?21?? ， ???1 ，則： 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 20 )1,21,)(2)(()(2||)()(2222221)(2)(322221)2(222222122222221rzrzG a m c d ferzrzrerzrzfrzzrrZ????????????????????????? （ 319） 從式中可以看出， 1? 影響分布的對(duì)稱性： 01?? ，為對(duì)稱分布； 01?? ，為負(fù)偏分布； 01?? ，為正偏分布。 相對(duì)于高斯分布的定義 ),(),(),( 22 ????? Nxfxf ?? ，混合正態(tài)分布計(jì)算公式為： ?? ??? Kk kkk Kxfpxf 1 1),(),( ? （ 36） 式中 的 kp 表示的是第 k 個(gè) 影 響 因 素 的 系 數(shù) ， 且 滿 足 限 定 條 件?? ??? Kk kk pp 1 1,10 ，大寫字母 K 表示的是總的成分?jǐn)?shù)量，當(dāng) 1?K 時(shí)表示的就是高 斯分布， },...,...,{ 2121 kkppp ????? 。 拉普拉斯分布的概率密度函數(shù)讓聯(lián)想到 正態(tài)分布 ，但是，正態(tài)分布是用相對(duì)于 ? 平均值 的差的平方來(lái)表示，而拉普拉斯概率密度用相對(duì)于平均值的差的 絕對(duì)值 來(lái)表示。拉普拉斯 的名字命名的一種連續(xù) 概率分布 。 式中的 ? 表示位移參數(shù)， ? 用來(lái)判定分布的對(duì)稱性， c 用來(lái)表示尺度對(duì)分布的影響，代表著穩(wěn)定分布的寬度， ? 表示 的是分布指數(shù)，當(dāng) 2?? 時(shí)反映分布 ? 就表示分布的漸進(jìn)行為，此時(shí)漸進(jìn)行為可以表示為： ?? ??????? ?? 1|| /)()2/s in ()1(~)( xcxf （ 33） 其中 ? 為伽馬函數(shù)。在穩(wěn)定分布中，獨(dú)立同分布的 隨機(jī)變量 之和及它們本身具有相同的分布。之后又詳細(xì)介紹如何檢驗(yàn)收益率的尖峰性和厚尾性，分別給出了判別計(jì)算式，其中尖峰檢驗(yàn)有峰度系數(shù)法和 JB 統(tǒng)計(jì)量法，厚尾性檢驗(yàn)有 正態(tài)圖法和尾極值法，文中也都給出了計(jì)算方 法。 所以，通過(guò)對(duì)總體抽樣，在大樣本容量下，對(duì)于給定顯著性水平 ? ，若有???nrm ，則就認(rèn)為該隨機(jī)變量的分布呈現(xiàn)“厚尾”性，相反，如果計(jì)算得出???nrm ，則就認(rèn)為該隨機(jī)變量分布是“薄尾”性的。有前面尾型判斷原則可知，若尾極值指數(shù) 0?r 是薄尾型的， 0?r 是厚尾型的。所以一般都認(rèn)為，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的尾分布為薄尾特性，在此基礎(chǔ)上，如果計(jì)算某一隨機(jī)變量分布的 尾極值指數(shù) 0?r ，則可認(rèn)為該分布服從正態(tài)分布，如果計(jì)算得出尾極值指數(shù) 0?r ，則表示該分布不是正態(tài)分布而是屬于厚尾型分布的。 尾極值指數(shù)法 首先介紹一下尾極值的定義，在金融分析領(lǐng)域里尾極值指數(shù)又可以分為上尾極值指數(shù)和下尾極值指數(shù) 。 圖 21 短尾分布和長(zhǎng)尾分布 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 12 圖 22 右偏分布和左偏分布 盡管作直方圖能馬上知道數(shù)據(jù)的分布，但它卻不是判斷這些數(shù)據(jù)是否來(lái)自同一特定分布的好辦法。把正態(tài)分布左邊截去，也會(huì)是這種形狀。表明數(shù)據(jù)比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)候有更多偏離的數(shù)據(jù)。 要利用 圖鑒別樣本數(shù)據(jù)是否近似于 正態(tài)分布 ， 只需看 圖上的點(diǎn)是否近似地在一條直線附近 ， 而且該 直線的斜率 為 標(biāo)準(zhǔn)差 ， 截距 為均值 ， 用 圖還可獲得樣本 偏度 和 峰度 的粗略信息 。 JB 統(tǒng)計(jì)量是由 Jarque 和 Bera 提出的檢驗(yàn)法，同時(shí)他們?cè)诙x了 JB 統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式的基礎(chǔ)上也理 論推導(dǎo)出 JB 統(tǒng)計(jì)量服從的是 2? 分布，并結(jié)合數(shù)據(jù)計(jì)算出自由度為 2，即 JB 統(tǒng)計(jì)量滿足： )2(~ 2??JB ，其中 ? 表示的是給定的顯 著性水平 [9]。 JB 檢驗(yàn)法 JB 統(tǒng)計(jì)量通常是由偏度系數(shù)和峰度系數(shù)計(jì)算而來(lái)的，所謂偏度系數(shù)就是來(lái)度量某一分布函數(shù)的對(duì)稱性，用 S 來(lái)表示。如果 0?K ，表明該隨機(jī)變量的分布肯定不是嚴(yán)格的正態(tài)分布，因?yàn)樵诰蹈浇霈F(xiàn)高于正態(tài)分布估計(jì)的理論值，其峰度高于正態(tài)分布 [8]。隨機(jī)變量 X 的峰度系數(shù)定義的是四階中心矩除以其二階中心矩的平方。厚尾現(xiàn)象產(chǎn)生的原因很多，但主要原因是和自然界中的事物相比，金融序列略有不同。 肥尾是指 相對(duì)于正態(tài)分布假設(shè)的資產(chǎn)收益率的尾部，實(shí)際的股票收益率的尾部比正態(tài)擬合的尾部要厚，這也就意味著收益信息的出現(xiàn)不是連續(xù)變化形式的，而是以成堆的方式出現(xiàn)。 尖峰厚尾的含義 一般從統(tǒng)計(jì)學(xué)方面定義尖峰特性就是某一隨機(jī)變量的值出現(xiàn)在均值附近，也就是峰頂附近的概率密度值大于理論上正態(tài)分布的估計(jì)值而呈現(xiàn)出在均值附近天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 8 整體高于正態(tài)分布的理論值。 在直角坐標(biāo)系中作股票收益率分布直方圖時(shí)，橫坐標(biāo)一般為股票收益率，縱坐標(biāo)是收益率的概率，可以畫出收益率各值對(duì)應(yīng)的概率圖。 （ 3） 在上述定義的公式（ 26）中用到了復(fù)利計(jì)算，但是這里計(jì)算時(shí)利率不是一個(gè)固定的值，而是將收益率（ tR ）這一隨機(jī)變量作為利率計(jì)算。比如一個(gè)月有 30 個(gè)交易日，若采用簡(jiǎn)單收益率計(jì)算方法，月總收益率可以通過(guò)將 30 天總的收益 率相乘得到；若是采用對(duì)數(shù)收益率計(jì)算方法，則月對(duì)數(shù)收益率可以通過(guò)對(duì)這 30 日的對(duì)數(shù)收益率相加求和得出。 第一章：緒論 第三章：股票收益率分布模型 第五章：結(jié)論與展望 第四章：中國(guó)股票收益率分布實(shí)證分析哎 第二章：收益率概述 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 6 2 股票收益率尖峰厚尾性檢驗(yàn) 股票收益率計(jì)算方法 單期收益率 假設(shè) t 期末股票的價(jià)格為 tP ，并且不計(jì)算當(dāng)期的紅利，則從 1?t 期到 t 期的股票差價(jià)可以定義為： 1???? ttt PPP （ 21） 設(shè) tR 為簡(jiǎn)單收益率，定義為： 111)(???????tttttt P PPPPR （ 22） 知道簡(jiǎn)單收益率之后，就可以定義簡(jiǎn)單總收益率為： 1/1 ??? ttt PPR （ 23） 再對(duì)簡(jiǎn)單總收益率取自然對(duì)數(shù)，得到對(duì)數(shù)收益率或者連續(xù)復(fù)合收益率 tr ： )ln ()/ln ()1ln ( 1 ttttt PPPRr ????? ? （ 24） 對(duì)對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行一階泰勒公式展開(kāi) 可以看出，當(dāng)簡(jiǎn)單收益率趨近于零時(shí)，對(duì)數(shù)收益率可以認(rèn)為與簡(jiǎn)單收益率是近似相等的 [7]。第五章為結(jié)束語(yǔ)，總結(jié)了本文的研究成果并對(duì)研究進(jìn)行展望。 論文的研究思路與組織結(jié)構(gòu) 研究思路 本文旨在研究股票收益率的尖峰、厚尾特性，在第一章緒論中首先介紹本文的研究背景及意義，敘述了金融資產(chǎn)收益率研究的內(nèi)容及重要性，接著闡述了國(guó)內(nèi)外關(guān)于股票收益率的研究現(xiàn)狀，介紹國(guó)外提出的集中經(jīng)典模型以及近年來(lái)國(guó)內(nèi)的一些學(xué)者的研究成果。在混合正態(tài)分布模型提出以后， Praetz 等人又提出應(yīng)該用 Scaledt 分布來(lái)擬合股票收益，后者能更好的反映股票收益率的尖峰、厚尾特性，并且 Praetz 也從理論上推導(dǎo)了 Scaledt分布的合理性。如 1961 年 Alexander 重新整理分析了Osborne 的數(shù)據(jù)，得出了股票收益率確實(shí)是具有尖峰、厚尾的基本特征。 股票收益率服從正態(tài)分布這一假設(shè)被后來(lái)的經(jīng)濟(jì) 學(xué)家們廣泛認(rèn)可，不僅因?yàn)檎龖B(tài)分布有著良好的統(tǒng)計(jì)特性和簡(jiǎn)單方便的計(jì)算，更重要的是在加法下，正態(tài)分布是具有穩(wěn)定性的，即股票的任意相加結(jié)合仍然是正態(tài)分布的，這樣就與統(tǒng)計(jì)學(xué)中的大樣本思想相對(duì)應(yīng)，容易進(jìn)行樣本計(jì)算，所以被人們廣泛認(rèn)可。這也為本研究的順利經(jīng)行提供了極為便利的條件。本研究在一元線性回歸分析的基礎(chǔ)上提出了一種尖峰厚尾分布，并對(duì)滬深股市收益率進(jìn)行了實(shí)證分析，給出了參數(shù)估計(jì)的方法，該分布能很好的描述滬深股市收益率的分布特征。由于我 國(guó)資產(chǎn)市場(chǎng)起步晚，股票市場(chǎng)發(fā)展也并不完善，現(xiàn)有理論是否同樣適用于我國(guó)股票市場(chǎng)，成為相關(guān)研究關(guān)注的焦點(diǎn)。之前有許多研究都從不同角度對(duì)收益率的分布進(jìn)行了擬合，但究竟 服從是什么分布并未給出定論，本文將從一元線性回歸的角度，選擇近幾年滬深指數(shù)去擬合收益率分布，這將對(duì)今后收益率分布研究給出很大的參考價(jià)值。我國(guó)之前對(duì)證券行為的描述模型中，也認(rèn)為證券收益率服從正態(tài)分布，但是在后來(lái)經(jīng)過(guò)許多計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行研究后發(fā)現(xiàn)，我國(guó)證券收益率的分布并不服從正態(tài)分布。后來(lái)Einstein 從物理、 Wiener 從數(shù)學(xué)的角度都對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)做了更深的研究，都從不同天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 2 的角度驗(yàn)證了股票收益率服從正態(tài)分布這一性質(zhì)。 研究背景與意義 研究背景 1602 年，世界上第一個(gè)股票交易所在荷蘭的阿姆斯特丹成立，象征著資產(chǎn)市場(chǎng)的的誕生。 對(duì)于金融資產(chǎn)收益率的研究已經(jīng)有一定的歷史了，從最開(kāi)始的用具有類似性質(zhì)的布朗運(yùn)動(dòng)描述，到后來(lái)的正態(tài)分布的提出，再到收益率服從正態(tài)性的否定，在此基礎(chǔ)之上人們提出了很多的分布模型去描述股票收益率，這些研究在很大程度上都促進(jìn)了金融理論的發(fā)展，并為投資者更好的控制收益風(fēng)險(xiǎn)減少損失提供了一定的理論基礎(chǔ)。 maximum likelihood estimation。最后采用了 KS 檢驗(yàn)對(duì)擬合度進(jìn)行了檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這種分布可以很好地?cái)M合股票收益率的分布。雖然在之后的研究中發(fā)現(xiàn)有好多的分布對(duì)收益率的擬合效果都優(yōu)于正態(tài)函數(shù)，究竟收益率服從何種分布至今并無(wú)定論。 自對(duì)收益率的研究以來(lái)人們?cè)诤荛L(zhǎng)時(shí)間里都假設(shè)收益率是服從正態(tài)分布的，但是經(jīng)驗(yàn)分布直觀顯示正態(tài)分布并不能很好的擬合收益率的分布特征，國(guó)內(nèi)外對(duì)這一發(fā)現(xiàn)也進(jìn)行了深刻的探索，并提出了好 多的分布函數(shù)去擬合收益率的分布。在參數(shù)估計(jì)的過(guò)程中，本文 運(yùn)用了兩種方法一種是直接用最大似然