【正文】 bab? ? ? ?: ( )的左焦點(diǎn) F 及點(diǎn) 0 Ab(， ) ， 原點(diǎn) O 到直線 FA 的距離為22b ． [來源 :] （ 1） 求橢圓 C 的離心率 e ； （ 2） 若點(diǎn) F 關(guān)于直線 20l x y??: 的對稱點(diǎn) P 在圓 224O x y??: 上，求橢圓 C 的方程 及 點(diǎn) P 4 廣州新東方優(yōu)能中學(xué)教育 郭可（ GK） 的坐標(biāo) ． 7.(20xx 廣雅金山佛一中聯(lián)考理科 19) (本題滿分 14 分 ) 已知橢圓 )(112 222 １　 ???? aa yax的左右焦點(diǎn)為 21,FF ，拋物線 C： pxy 22 ? 以 F2為焦點(diǎn)且與橢圓相交于點(diǎn) M，直線 F1M 與拋物線 C 相切。 3.（ 20xx 江門市 3月質(zhì)量檢測理科 20） （本小題滿分 14分） 已知在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，向量 32),1,0( 的面積為O F Pj ?? ，且 6 廣州新東方優(yōu)能中學(xué)教育 郭可（ GK） 3, 3O F F P t O M O P j? ? ? ? . （ I） 設(shè) 4 4 3 ,t O F F P ??? 求 向 量 與 的 夾 角的取 值范圍； （ II） 設(shè)以原點(diǎn) O 為中心，對稱軸在坐標(biāo)軸上，以 F 為右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn) M，且 ||,)13(,|| 2 OPctcOF 當(dāng)??? 取最小值時，求橢圓的方程 . 4.(20xx 深圳市第一次調(diào)研文科 19)（本題滿分 14分） 已知橢圓 M ： )0,0( 12222 ???? babyax 的面積為π ab ， M 包含于平面區(qū)域:??????3||2||yx 內(nèi)，向平面區(qū)域 ? 內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn) Q，點(diǎn) Q 落在橢圓內(nèi)的概率為 4π ． （Ⅰ）試求橢圓 M 的方程； （Ⅱ）若斜率為 12的直線 l 與橢圓 M 交于 C 、 D 兩點(diǎn)，點(diǎn) 312P(， )為橢圓 M 上一點(diǎn)，記直線 PC 的斜率為 1k ，直線 PD 的斜率為 2k ，試問： 12kk? 是否為定值？請證明你的結(jié)論． 5.（ 20xx 深圳市第一次調(diào)研理科 19） (本小題滿分 14 分 ) 已知點(diǎn) F 是橢圓 )0(11 222 ???? ayax 的右焦點(diǎn)，點(diǎn) ( ,0)Mm 、 (0, )Nn分別是 x 軸、 y 軸上的動點(diǎn)，且滿足 0??NFMN ．若點(diǎn) P 滿足 POONOM ?? 2 ． （ 1）求點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程； （ 2）設(shè)過點(diǎn) F 任作一直線與點(diǎn) P 的軌跡交于 A 、 B 兩點(diǎn)，直線 OA 、 OB 與直線 ax ?? 分別交于點(diǎn) S 、 T （ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)） ，試判斷 FSFT? 是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由． 6. (20xx 江門市一模理科 19)（本小題滿分 14 分）已知圓錐曲線 C 上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn))0 , 1(1 ?F 、 )0 , 1(2F 的距離之和為常數(shù)， 曲線 C 的離心率 21?e ． ⑴求圓錐曲線 C 的方程； ⑵設(shè)經(jīng)過點(diǎn) 2F 的任意一條直線與 圓錐曲線 C 相交于 A 、 B ，試證明在 x 軸上存在一個定點(diǎn)P ，使 PBPA? 的值是常數(shù) ． 7.(20xx 廣雅金山佛一中聯(lián)考文科 20)（本小題滿分 14分） 7 廣州新東方優(yōu)能中學(xué)教育 郭可（ GK） 已知橢圓 )(112 222 １　 ???? aa yax的左右焦點(diǎn)為 21,FF ，拋物線 C： pxy 22 ? 以 F2為焦點(diǎn)且與橢圓相交于點(diǎn) M? ?11,xy 、 N? ?22,xy ，直線 1FM 與拋物線 C 相切。 解： （ 1） 設(shè) ? ?00( , ), ,P x y Q x y，依題意，則點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 0( ,0)Dx …………… 1 分 ∴ 00( , ) , ( 0 , )D Q x x y D P y? ? ? ……………………… 2 分 又 23DQ DP? ∴ 0 00 002 33 2xx xxyy yy?? ?? ?????? ???即 ……………………… 4 分 ∵ P 在⊙ O 上，故 220xxxy?? ∴ 22194xy?? ……………………… 5 分 ∴ 點(diǎn) Q 的 軌跡 方程 為 22194xy?? ……………………… 6 分 （ 2） 假設(shè)橢圓 22194xy??上存在兩個不重合的兩點(diǎn) ? ?1 1 2 2( , ), ,M x y N x y滿足 1 ()2OE OM ON??，則 (1,1)E 是線段 MN 的中點(diǎn)，且有12121 2 1 21 22212xxxxy y y y?? ?? ??????? ? ??????即 …9 分 又 ? ?1 1 2 2( , ), ,M x y N x y在橢圓 22194xy??上 ∴ 221122194194xyxy? ?????? ???? 兩式相減，得 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2 094x x x x y y y y? ? ? ???… 12 分 ∴ 121249MN yyk xx?? ? ?? ∴ 直線 MN 的方程為 4 9 13 0xy? ? ? ∴ 橢圓上存在點(diǎn) M 、 N 滿足 1 ()2OE OM ON??，此時直線 MN 的方程為 4 9 13 0xy? ? ? ………………… 14 分 3. (20xx 揭陽市一模理科 19） （本題滿分 14 分） 12 廣州新東方優(yōu)能中學(xué)教育 郭可（ GK） yx0MF 1 F 2PN已知如圖，橢圓方程為 222 116xyb??(4 0)b??.P 為橢圓上的動點(diǎn) , F F2為橢圓的兩焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) P 不在 x 軸上時，過 F1作∠ F1PF2的外角 平分線的垂線 F1M,垂足為 M，當(dāng) 點(diǎn) P 在 x 軸上時，定義 M 與 P 重合． （ 1）求 M 點(diǎn)的軌跡 T 的方程； （ 2）已知 (0,0)O 、 (2,1)E ，試探究是否存在這樣的點(diǎn) Q ： Q 是軌跡 T 內(nèi)部的整點(diǎn)（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），且 △ OEQ 的面積 2OEQS? ? ？若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，若不存在，說明理由． 解：（ 1）當(dāng)點(diǎn) P 不在 x 軸上時，延長 F1M 與 F2P的延長線相交于點(diǎn) N,連結(jié) OM， ∵ 1NPM MPF? ? ? , 1NMP PMF? ? ? ∴ PNM? ≌ 1PFM? ∴ M 是線段 1NF 的中點(diǎn)， 1| | | |PN PF? |2 分 ∴ OM =21 NF2 = ? ?PNPF ?221= ? ?1221 PFPF ? ∵點(diǎn) P 在橢圓上 ∴ 21PF PF? ＝ 8 ∴ OM ＝ 4， 4 分 當(dāng)點(diǎn) P 在 x 軸上時， M 與 P 重合 ∴ M 點(diǎn)的軌跡 T 的方程為： 2 2 24xy??.6 分 （ 2）連結(jié) OE，易知軌跡 T 上有兩個點(diǎn) A( 4,0)? ， B(4,0) 滿足 2OEA OEBSS????, 分別過 A、 B 作直線 OE 的兩條平行線 1l 、 2l . ∵同底等高的兩個三角形的面積相等 ∴符合條件的點(diǎn)均在直線 1l 、 2l 上 .7 分 ∵ 12OEk ? ∴ 直 線 1l 、 2l 的 方 程 分 別 為 ： 1 ( 4)2yx??、1 ( 4)2yx??8 分 設(shè)點(diǎn) ( , )Qxy （ ,xy Z? ） ∵ Q 在軌跡 T 內(nèi)，∴2216xy??9 分 [來源 :學(xué) |科 |網(wǎng) Z|X|X|K] 13 廣州新東方優(yōu)能中學(xué)教育 郭可（ GK） 分別解 22161( 4)2xyyx? ???? ????與 22161( 4)2xyyx? ???? ???? 得 2425x? ? ? 與 2245 x? ? ? 11 分 ∵ ,xy Z? ∴ x 為偶數(shù)，在 2( 4,2 )5?上 2,0,2x?? 對應(yīng)的 1,2,3y? 在 2( 2 ,4)5?上 2,0,2x?? ，對應(yīng)的3, 2, 1y?? ? ? 13 分 ∴滿足條件的點(diǎn) Q 存在，共有 6 個，它們的坐標(biāo)分別為： ( 2,1), (0, 2) , (2, 3),? ( 2 , 3 ), ( 0 , 2) , ( 2 , 1)? ? ? ?． 14 分 4.（ 20xx 深圳高級中學(xué)一模理科 19）（本題滿分 14 分） 如圖，為半圓， AB 為半圓直徑， O 為半圓圓心，且 OD⊥ AB， Q 為線段 OD的中點(diǎn)，已知 |AB|=4，曲線 C 過 Q 點(diǎn)，動點(diǎn) P 在曲線 C 上運(yùn)動且保持 |PA|+|PB|的值不變 . (1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線 C 的方程； (2)過 D 點(diǎn)的直線 l 與曲線 C 相交于不同的兩點(diǎn) M、 N，且 M 在 D、 N 之間，設(shè)DNDM=λ ，求 λ 的取值范圍 . 解： (1)以 AB、 OD所在直線分別為 x 軸、 y 軸， O 為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系， ∵ |PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 5212 22 ?? ＞ |AB|=4. ∴曲線 C 為以原點(diǎn)為中心， A、 B 為焦點(diǎn)的橢圓 . 設(shè)其長半軸為 a,短半軸為 b,半焦距 為 c,則 2a=2 5 ,∴ a= 5 ,c=2,b=1. ∴曲線 C 的方程為52x+y 2=1. (2)設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+2, 代入52x+y2=1,得 (1+5k2)x2+20kx+15=0. Δ =(20k)2－ 4 15(1+5k2)＞ 0,得 k2＞53.由圖可知21xxDNDM? =λ 14 廣州新東方優(yōu)能中學(xué)教育 郭可（ GK） 由韋達(dá)定理得??????????????22122151155120kxxkkxx 將 x1=λ x2代入得 ??????????????2222222225115)51(400)1(kxkkx 兩式相除得)15(380)51(15400)1(2222kkk??????? 316)51(3 804,320515,3510,53 2222 ??????????? kkkk 即?[ 來源 : 學(xué) * 科 * 網(wǎng)Z*X*X*K][來源 :] 331,0,316)1(4 2 ????????????? 解得DNDM? ① ,21 DNDMxx ???? M 在 D、 N 中間，∴ λ ＜ 1 ② 又∵當(dāng) k 不存在時，顯然 λ =31?DNDM (此時直線 l 與 y 軸重合 ) 綜合得： 1/3 ≤λ＜ 1. 5.(20xx 深圳市第一次調(diào)研理科 20)（本小題滿分 14分） 已知 A 、 B 分別是直線 xy 33? 和 xy 33?? 上的兩個動點(diǎn)，線段 AB 的長為 32 ， P 是AB 的中點(diǎn)． （ 1）求動點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程； （ 2）過點(diǎn) )0,1(Q 任意作直線 l （與 x 軸不垂直），設(shè) l 與（ 1）中軌跡 C 交于 MN、 兩點(diǎn)，與 y 軸交于 R 點(diǎn)．若 RM MQ?? ， RN NQ?? ，證明： ??? 為定值． 15 廣州新東方優(yōu)能中學(xué)教育 郭可（ GK） 解 ：（ 1）設(shè) ),( yxP ， ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ． ∵ P 是線段 AB 的中點(diǎn)，∴1212,2.2xxxyyy?? ???? ?????