【正文】 1）（本題滿分 18分）本題共有 3 個(gè)小題，第 1小題滿分４分，第 2 小題滿分６分，第 3 小題滿分 8 分． 已知數(shù)列 ??na ： 1 1a? ， 2 2a? ， 3ar? ， 3 2nnaa? ??（ n 是正整數(shù)），與數(shù)列 ??nb ： 1 1b? ， 2 0b? ， 3 1b?? ， 4 0b? ， 4nnbb? ? （ n 是正整數(shù)）． 記 1 1 2 2 3 3n n nT b a b a b a b a? ? ? ? ?． （ 1）若 1 2 3 12 64a a a a? ? ? ? ?，求 r 的值； （ 2）求證：當(dāng) n 是正整數(shù)時(shí)， 12 4nTn?? ； （ 3）已知 0r? ，且存在正整數(shù) m ，使得在 12 1mT ? ， 12 2mT ? ， ， 12 12mT ? 中有 4 項(xiàng)為 100．求r 的值，并指出哪 4 項(xiàng)為 100． 【解】（ 1） ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 2...1 2 3 4 2 5 6 4 7 8 6a a a ar r r r? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 48 ?? ……………… ..2 分 ∵ 48 4 64, ? ? ? ? ……………… ..4 分 【證明】（ 2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) 12, 4 .nn Z T n?? ? ?時(shí) ① 當(dāng) n=1 時(shí)， 1 2 1 3 5 7 9 1 1 4,T a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?等式成立 … .6 分 ② 假設(shè) n=k 時(shí)等式成立，即 12 4,kTk?? 那么當(dāng) 1nk??時(shí)， ? ? 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 5 1 2 7 1 2 9 1 2 1 11 2 1 k k k k k k kkT T a a a a a a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?……… 8 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 8 1 8 8 4 8 5 8 4 8 8k k k r k k k r k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 4 4 1 ,kk? ? ? ? ? ?等式也成立 . 用心 愛心 專心 根據(jù)①和②可以斷定：當(dāng) 12, 4 .nn Z T n?? ? ?時(shí) ………………… ...10 分 【解】（ 3） ? ?12 4 1 .12 1 , 12 2 4 1 。 9 分 當(dāng) 1d? 時(shí)， 14 3 10 3 1 7a a d? ? ? ? ? ?， 于是2 0 1 2 0 1 920 2S a d??? 20 7 190 330? ? ? ?． 7 分 當(dāng) 0d? 時(shí)， 20 420 200Sa??． 12 分 9． （全國(guó)Ⅰ 19）（本小題滿分 12 分） 在數(shù)列 ??na 中， 1 1a? ， 1 22nnnaa? ??． （ Ⅰ ）設(shè)12nn nab ??．證明：數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列； （ Ⅱ ）求數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 nS ． 解：（ 1） 1 22nnnaa? ??， 1 1 122nnaa? ???， 1 1nnbb? ??， 則 nb 為 等差數(shù)列 ， 1 1b? ， nbn? ， 12nnan?? ． （ 2） 0 1 2 11 2 2 2 ( 1 ) 2 2nnnS n n??? ? ? ? ? ? 1 2 12 1 2 2 2 ( 1 ) 2 2nnnS n n?? ? ? ? ? ? 用心 愛心 專心 兩式相減，得 0 1 12 1 2 2 2 2 2 1n n n nnS n n?? ? ? ? ? ? ?． 10． （全國(guó)Ⅱ 18）（本小題滿分 12 分） 等差數(shù)列 ??na 中， 4 10a? 且 3 6 10a a a， ， 成等比數(shù)列，求數(shù)列 ??na 前 20 項(xiàng)的和 20S ． 解：設(shè)數(shù)列 ??na 的公差為 d ，則 34 10a a d d? ? ? ?， 64 2 1 0 2a a d d? ? ? ?， 10 4 6 10 6a a d d? ? ? ?． 7 分 故對(duì) 1n? ， 2 ，?， 21 2 1 1 1 2 1 1( 2 l n l n ) ( 4 l n l n 2 l n l n ) ( 2 l n l n ) 0q q n a q b q n a q? ? ? ? ? ? ? ?． 于是 121 1 1 2112 l n l n 04 l n l n 2 l n l n 02 l n l n 0.qqa q b qaq????? ? ? ??????， 將 1 2a? 代入得 1 4q? ， 2 16q? ， 1 8b? ． 于是，對(duì)于任意的正整數(shù) )4( ?nn ，只要 1bd 為無(wú)理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列 1 2 3 2 1, , , , , ,n n na a a a a a??中，由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去 2a ，則必有 1 3 2nna a a a ?? ? ? ，這與 0?d 矛盾；同樣若刪去 1na? 也有 1 3 2nna a a a ?? ? ? ，這與 0?d 矛盾；若刪去 32,naa? 中任意一個(gè)，則必有1 2 1nna a a a ?? ? ? ，這與 0?d 矛盾。 （ 1） ①當(dāng) n=4時(shí) , 1 2 3 4, , ,a a a a 中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出 d=0。 bn12n 2n+4 bn+2＜ b2n+1. 解法一： （Ⅰ）由已知得 an+1=an+即 an+1an=1，又 a1=1, 所以數(shù)列｛ an｝是以 1 為首項(xiàng)，公差為 1 的等差數(shù)列 . 故 an=1+(a1) 1=n. (Ⅱ )由（Ⅰ）知： an=n 從而 bn+1bn=2n. bn=(bnbn1)+(bn1bn2)+ (2) 由（ 1）得 1 1(1 ) ( )2nnnb n a c n?? ? ? 212 1 1 12 ( ) ( )2 2 2 nnnS b b b n? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 11 1 1 1( ) 2 ( ) ( )2 2 2 2 nnSn ?? ? ? ? 211 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 2nnn ?? ? ? ? ?∴ 211 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) 2 [ 1 ( ) ] ( )2 2 2 2 2 2n n n nnS n n?? ? ? ? ? ? ? ? ?∴ 12 ( 2 )( )2 nnSn? ? ?∴ (3) 由 （ 1）知 1( 1) 1nna a c ?? ? ? 若 10 ( 1) 1 1nac?? ? ? ?，則 10 (1 ) 1nac ?? ? ? 10 1,aa? ? ?∵ 1*10 ( )1nc n Na?? ? ??∴ 由 1 0nc? ? 對(duì)任意 *nN? 成立，知 0c? 。當(dāng) 1a? 時(shí)， 1na? 仍滿足上式。 。 用心 愛心 專心 03 數(shù)列 一、選擇題 1．（北京 7） ．已知等差數(shù)列 ??na 中， 2 6a? ， 5 15a? ，若 2nnba? ，則數(shù)列 ??nb 的前 5項(xiàng)和等于（ C ） A． 30 B． 45 C． 90 D． 186 2．（廣東 4） 記等差數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 S1=4,S4=20,則該數(shù)列的公差 d= （ B ） 3． （寧夏 8） 設(shè)等比數(shù)列 ??na 的公比 q=2，前 n 項(xiàng)和為 Sn，則24aS =（ C ） A． 2 B． 4 C． 215 D． 217 4． （江西 5） 在 數(shù)列 {}na 中， 1 2a? ， 1 1ln(1 )nnaa n? ? ? ?， 則 na? （ A ） A． 2 lnn? B． 2 ( 1)lnnn?? C． 2 lnnn? D． 1 lnnn?? 5． （全國(guó)Ⅰ 7）已知等比數(shù)列 {}na 滿足 1 2 2 336a a a a? ? ? ?， ，則 7a? （ A ） A． 64 B． 81 C． 128 D． 243 6． （福建 3）設(shè) {}na 是等差數(shù)列，若 273, 13aa??，則數(shù)列 {}na 前 8 項(xiàng)和為 （ C ） Ａ． 128 Ｂ． 80 Ｃ． 64 Ｄ． 56 7． （上海 14）若 數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)為 l ，公比為 32a? 的無(wú)窮等比數(shù)列，且 ??na 各項(xiàng)的和為 a，則 a 的 值是（ B ） Ａ． 1 Ｂ． 2 Ｃ． 12 Ｄ． 54 8． (天津 4) 若等差數(shù)列 ??na 的前 5 項(xiàng)和 5 25S ? ，且 2 3a? ，則 7a? （ B ） A． 12 B． 13 C． 14 D． 15 9． （ 浙江 4）已知 ??na 是等比數(shù)列， 41252 ?? aa ，則公比 q = ( D ) （ A） 21? （ B） 2? （ C） 2 （ D） 21 10． (重慶 1)已知｛