【正文】 令 344 33A ab? ,令 B= ()fm、 ()fn中的最大者 則對 [ , ]x mn?? ， ? 常數(shù) A,B,都有 ()A f x B?? ∴ 函數(shù) 3() bf x ax x??在 [ , ]mn 上有界 . 綜上可知函數(shù) 3() bf x ax x??是 [ , ]mn 上的有界函數(shù) 14分 19. 已知函數(shù) 53( ) 1f x x ax bx? ? ? ?，僅當(dāng) , 1xx?? ? 時(shí)取得極值且極大值比極小值 大 4，求 ,ab的值 . 解： 4239。 解：（ 1）∵ )(xf 是偶函數(shù)， 恒成立。 ??? ff 且 ?? 4分 ∴ 3,2,1,224 ???????? cacaca 可得且 ∴ 132)( 24 ???? xxxf ?? 6分 （ 2）由 )1()( 2 ?? xtxf 恒成立 ，且 12?x 恒大于 0，可得 tx xx ?? ??? 1 132 2 24恒成立， 令1 132)( 2 24 ? ???? x xxxg ?? 8分 設(shè) ,1,12 ??? mmx 則 347347)3(276721 132)( 22 24 ????????????? ???? mmmmm mmx xxxg且 （當(dāng)且僅當(dāng) )347)(3 ??? xgm 時(shí)， ∴ )(xg 的最大值為 ,347? 故實(shí)數(shù) t的取值范圍是 ).,347( ??? ?? 12分 21. 已知 ( ) lnf x x? ， 217() 22g x x m x? ? ?（ 0m? ），直線 l 與函數(shù) ()fx、 ()gx 的圖像都 相切，且與函數(shù) ()fx的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1． （Ⅰ）求直線 l 的方程及 m 的值； （Ⅱ）若 ( ) ( 1) ( )h x f x g x?? ? ?（其中 ()gx? 是 ()gx 的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù) ()hx 的最大值； （Ⅲ）當(dāng) 0 ba?? 時(shí)，求證： ( ) ( 2 ) 2baf a b f a a?? ? ?． 解：（Ⅰ）依題意知：直線 l 是函數(shù) ( ) lnf x x? 在點(diǎn) (1,0) 處的切線，故其斜率 1(1) 11kf?? ? ? ， 所以直線 l 的方程為 1yx??． 又因?yàn)橹本€ l 與 ()gx 的圖像相切，所以由 221 19( 1 ) 017 2222yx x m xy x m x???? ? ? ? ? ?? ? ? ???， 得 2( 1 ) 9 0 2mm? ? ? ? ? ? ? ?（ 4m? 不合題意，舍去）； （Ⅱ）因?yàn)?( ) ( 1 ) ( ) l n ( 1 ) 2h x f x g x x x?? ? ? ? ? ? ?（ 1x?? ），所以 1( ) 111xhx xx?? ? ? ???． 當(dāng) 10x?? ? 時(shí)， ( ) 0hx? ? ；當(dāng) 0x? 時(shí)， ( ) 0hx? ? ． 因此， ()hx 在 ( 1,0)? 上單調(diào)遞增，在 (0, )?? 上單調(diào)遞減． 因此，當(dāng) 0x? 時(shí)， ()hx 取得最大值 (0) 2h ? ； （Ⅲ）當(dāng) 0 ba?? 時(shí)， 102baa?? ? ? ．由（Ⅱ）知：當(dāng) 10x?? ? 時(shí)， ( ) 2hx? ，即ln(1 )xx??．因此，有 ( ) ( 2 ) l n l n 12 2 2a b b a b af a b f a a a a? ? ???? ? ? ? ? ?????． 22. 某工廠有一個(gè)容量為 300 噸的水塔，每天從早上 6 時(shí)起到晚上 10時(shí)止供應(yīng)該廠的生產(chǎn)和生活用水，已知該廠生活用水為每小時(shí) 10 噸，工業(yè)用水量 W（噸）與時(shí)間 t（小時(shí)，且規(guī)定早上 6 時(shí) t＝ 0）的函數(shù)關(guān)系為 W＝ 1003t ．水塔的進(jìn)水量分為 10 級，第一級每小時(shí)進(jìn)水 10噸 ，以后每提高一級，每小時(shí)進(jìn)水量就增加 10噸．若某天水塔原有水100 噸，在開始供水的同時(shí)打開進(jìn)水管，問進(jìn)水量選擇為第幾級時(shí)，既能保證該廠的用水（水塔中水不空）又不會使水溢出 ? 設(shè)進(jìn)水量選第 x級，則 t小時(shí)后水塔中水的剩余量為： y＝ 100＋ 10xt－ 10t－ 1003t ，且 0≤ t≤ 16． 根據(jù)題意 0＜ y≤ 300，∴ 0＜ 100＋ 10xt－ 10t－ 1003t ≤ 300 當(dāng) t＝ 0時(shí)，結(jié)論成立． 當(dāng) t＞ 0時(shí)，由左邊得 x＞ 1＋ 10（tt 113 2 ?） , 令 m=31t，由 0＜ t≤ 16， m ≥ 443 ， 記 f（ t） =1＋ 10（tt 113 2 ?） =1+10m210m3，（ m ≥ 443 ） 則 f?（ t） =20m – 30 m 2 =0 得 m = 0 或 m =32． ∵當(dāng) 443 ≤ m ＜ 32 時(shí)， f?（ t）＞ 0；當(dāng) m ＞ 32 時(shí)， f?（ t）＜ 0， ∴所以 m =32 時(shí)（此時(shí) t =827 ）， f（ t）最大值 =1+10（ 32 ） 210（ 32 ） 3=2767 ≈ ． 當(dāng) t＝ 827 時(shí)， 1＋ 10（tt 113 2 ?）有最大值 ∴ x＞ ，即 x≥ 3． 由右邊得 x≤3 2
。 ∴ ecxaxxfdb ????? 24)(,0,0 即， ?? 2分 又由圖象過點(diǎn) )1,0( ?A ，可知 .1,1)0( ???? ef 即 又∵ cxaxxf 24)( 339。 4 2 2( ) 5 3 5 3 ( 5 5 3 ) ( 1 ) ( 1 )f x x ax a x a x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 僅有極值 1x?? ? 5 3 0a??且 1x?? 為極大值點(diǎn)， 1x? 為極小值點(diǎn) 故 5 3 0( 1) (1) 45 3 0affab????? ? ???? ? ??12ab????? ??? 20. 已知函數(shù) edxcxbxaxxf ????? 234)( 為偶函數(shù)，它的圖象過點(diǎn) A(0,1)，且 x=1處的切線方程為 2x+y2=0。( ) 0fx? ， ∴ 函數(shù) )(xf 在（ 2，＋ ? ）上是增函數(shù)； ∴ 2x? 是函數(shù)的在區(qū)間（ 0，＋ ? ）上的最小值點(diǎn)，m i n 48( ) ( 2 ) 8 3 22f x f? ? ? ? ∴ 對 (0, )x? ? ?? ，都有 ( ) 32fx? ， 4分 即在區(qū)間（ 0，＋ ? ）上存在常數(shù) A=32,使得對 (0, )x? ? ?? 都有 ()f x A? 成立， ∴ 函數(shù) 3 48()f x x x??在（ 0，＋ ? ）上有下界 . 5分 [解 法 2： 0x?? 3 3 344 8 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6( ) 4 3 2f x x x xx x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng) 3 16x x? 即 2x? 時(shí) “ ＝ ” 成立 ∴ 對 (0, )x? ? ?? ，都有 ( ) 32fx? ， 即在區(qū)間（ 0，＋ ? ）上存在常數(shù) A=32,使得對 (0, )x? ? ?? 都有 ()f x A? 成立， ∴ 函數(shù) 3 48()f x x x??在（ 0，＋ ? ）上有下界 .] （ 2）類比函數(shù)有下界的定義，函數(shù)有上界可以這樣定義： 定義在 D 上的函數(shù) )(xf ，如果滿足：對 xD?? ， ? 常數(shù) B，都有 ()fx≤B 成立，則稱函數(shù) )(xf 在 D上有上界，其中 B稱為函數(shù)的上界 . 7分 設(shè) 0,x? 則 0x??，由（ 1）知，對 (0, )x? ? ?? ，都有 ( ) 32fx? ， ∴ ( ) 32fx?? ， ∵ 函數(shù) 3 48()f x x x??為奇函數(shù)， ∴ ( ) ( )f x f x? ?? ∴ ( ) 32fx??， ∴ ( ) 32fx?? 即存在常數(shù) B=－ 32，對 ? ( ,0)x??? ，都有 ()f x B? , ∴ 函數(shù) 3 48()f x x x??在（－ ? ， 0）上有上界 . 9分 （ 3） ∵ 22( ) 3 bf x ax x? ??， 由 ( ) 0fx? ? 得 2230bax x??， ∵ 0, 0ab?? ∴ 4 ,3bx a? ∵ [ , ] (0, )mn ? ??， ∴ 43bx a?， 10分 ∵ 當(dāng) 403bx a??時(shí)， 39。222 af x x xx? ? ? 若函數(shù)為 [1, )?? 上單調(diào)增函數(shù)，則 ? ?39。0)(,。???????xxxxxxxf? 由 0)(39。( ) 3 2 0f x x ax b? ? ? ?的根， 故有12 23axx? ??，123bxx?， 且 △ 2(2 ) 12 0ab? ? ?，得 3b? ． 由 221 2 1 2 1 2 2 3 2 3| | ( ) 4 33a b bx x x x x x ??? ? ? ? ? ? 233 b? 23? ； 得， 2b? ， 2 2 3 7ab? ? ? ． 由（ Ⅰ ）知 1 1 ( 1) 0t t a? ? ? ? ? ? ?，故 1a?? ， ∴ 7a?? ， ( 1) 7 3c a b? ? ? ? ? ? ∴ 32( ) 7 2 7 3f x x x x? ? ? ? ?． ② 12| | | ( ) ( ) |M N f x f x? ? ? 3 3 2 21 2 1 2 1 2| ( ) ( ) ( ) |x x a x x b x x? ? ? ? ? ? 21 2 1 2 1 2 1 2| | | ( ) ( ) |x x x x x x a x x b? ? ? ? ? ? ? ? 22 3 2 2| ( ) ( ) |3 3 3 3b a b aab?? ? ? ? ? ? ? 324 (3 )27 b??（或 32 249()27 2a? ）． 由（ Ⅰ ） 2 2 2( 1 ) ( 1 1 ) 2 2 1a t t t? ? ? ? ? ? ? ? ∵ 01t?? ， ∴ 22 ( 1) 4a? ? ? ， 又 1a?? ， ∴ 2 1 2a? ? ? ? ?， 3 2 1a? ? ? ? ?， 23 2 2 9a? ? ?（或 23b?? ） ∴ 3240 | | ( 3 2 )27MN? ? ? ?． . 14. 200８年天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)學(xué)校高三畢業(yè)班聯(lián)考（一） 已知函數(shù)bx axxf ?? 2)(，在 1?x 處取得 極值為 2。( ) 0,hx? 得 0, 1, x x? ? ? ?列表如下（略） ?當(dāng) ? ?1,1x?? 時(shí)， max( ) 0,hx ? 2 2 3 0m bm? ? ? ?。 （ 2）原不等式等價(jià)于 2 2 21 ( ) 2 32 x f x m b m? ? ? ?。 解： （ 1 ） 由 題 設(shè) 得 ? ? ln( 1)f x x??， 令 22( ) ( ) l n ( 1 ) ,22xxg x f x xxx? ? ? ? ???則239。 只需證： 2 12xxae x e x? ? ?即需證： 2 11 2xaxx e??? ① 令 2 1() 2xaxy x x e???，求導(dǎo)數(shù)21 ( 1 )() ()xxxxe x e xy x a x a xee? ? ? ?? ? ? ? ? ∴21( ) ( )y x x a e? ??，又 1a? ，求 0x? ，故 ( ) 0yx? ? ∴ ()yx 為增函數(shù)，故 ( ) (0) 1y x y??，從而 ① 式得證 （ Ⅱ ）在 0x? 時(shí)，要使 21 2 xx xe x a e? ? ? 成立。 解：（ 1）即證 422 1 0x ax? ? ?的實(shí)根。 （ 2）當(dāng) )。 令 2121)1ln ()( 22 ???? xxxG ， 則1 )1)(1(1212)( 22 32 ? ????? ??????? x xxxx xxxxx xxG。 解 .(Ⅰ ) F 0(ln)()()( ????? xxaxxgxfx )0(1)(39。 解： ① 函數(shù) ()fx的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 ?對任意實(shí)數(shù) x ，有 ( ) ( )f x f x? ?? ? 3 2 3 22 4 2 4a x b x c x d a x b x c x d? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 2 20bx d??恒成立 ? 0, 0bd?? 32( ) , ( ) 3f x a x c x f x a x c?? ? ? ? ? 1x? 時(shí)， ()fx取極小值 23? ， 30ac? ? ? 且 23ac?? 1 ,13ac? ? ?? ② 當(dāng) ? ?1,1x??