三級(jí)方陣的平方根問(wèn)題-全文預(yù)覽
【正文】 [1]， 研究了 2?2 矩陣平方根的存在性問(wèn)題及一般求法 [2]，比較完整地解決了一般 2 2 矩陣的平方根問(wèn)題，有關(guān)詳細(xì)結(jié)果可參見(jiàn)文獻(xiàn) [2]或其譯文 [3]；朱德高就含有 1 個(gè)和2 個(gè) Jordan 塊的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的平方根問(wèn)題進(jìn)行了研究 ［ 4－ 5］ ；吳小明就一般情形下 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的平方根的某些 問(wèn)題進(jìn)行了討論 [6]。1 三級(jí)方陣的平方根問(wèn)題 摘要 ： 本文研究了三級(jí)方陣的平方根問(wèn)題，指出了并修正了現(xiàn)行一些文獻(xiàn)中的錯(cuò)誤，尋求一種新的研究方法，本方法對(duì)一般的 n 級(jí)方陣的平方根研究有著某些啟發(fā)作用。Jordan standards . １ 引言及定義 矩陣方程是矩陣研究領(lǐng)域的一個(gè)重要方向。另外文獻(xiàn) [9]討論了三角平方根問(wèn)題，得到了一個(gè)一般性結(jié)論，經(jīng)過(guò)分析，我們發(fā)現(xiàn)其結(jié)論是錯(cuò)誤的，實(shí)際上 [7]、 [8]等文獻(xiàn)中的結(jié)論也是錯(cuò)誤的，下文中我們將構(gòu)造反例否定其結(jié)論。 2 定理與證明 下面引理將指出，對(duì)任一方陣的平方根的討論都可以轉(zhuǎn)化為 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的討論。 證明 設(shè) 33()ijAa?? ， J? 000100100?????????（ 0? 0? ），使得 2AJ? ，記 0 1 00 0 1000F??????? 則 0J E F???， 于是，由 2AJ? ，得 22AJ A A A A JA? ? ? ? ?，即得 00( ) ( )A E F E F A??? ? ?? AF FA? ，比較兩矩陣的對(duì)應(yīng)元素，得 000a b cA a ba??????? （ ? ） 4 于是， 2A?2222220200a ab ac ba aba????????000100100?????????，故有 220 , 2 1 , 2 0a ab ac b?? ? ? ? 解之得： 20 30 2011, 228ba b c a? ??? ? ? ? ? ?或 0,a ??? 230 2011, 228bbc a??? ? ? ? ? 代入 （ ? ）式一定有平方根 ，且僅有兩個(gè)平方根。 證明 設(shè) B 可 對(duì)角化，則存在可逆矩陣 P 使得 1 12{ , , }nP B P D d iag d d d? ?? 令 1 1 2{ , , , }nD d ia g d d d? 則 21DD? ，再令 11C PDP?? ，從而 2CB? ，即 B有平方根 2C 。由引理 1 知，對(duì)5 任一 33? 矩陣 B 的平方根的討論，可以轉(zhuǎn)化為對(duì)所有三級(jí) Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的平方根的討論，除上述幾種存在平方根 的情形外，其余三級(jí) Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的可能形式有 （ 1） 0 1 00 0 1000?????? （ 2） 0 1 0000000?????? （ 3） 0 1 00 0 000??????? （ 0?? ） （ 4） 0 0 00100???????? （ 0?? ） 下面我們分別討論（ 1）－（ 4）是否存在平方根： （ 1） 設(shè) F? 0 1 00 0 1000?????? 若有 2A? F 其中 A? 33()ija ? 則 22AF A A A A FA? ? ? ? ? 即 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 30 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1
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