【正文】 定律 ： )( )()()( BP APABPBAP ? 這里 BA, 為任意兩個事件， )( BAP 為條件概率，即事件 B 發(fā)生的情況下事件 A 發(fā)生的概率。從而偏好 滿足獨立性公理）。這個賭博可表示為 ),( cAwAbg ? ，即 Sg ??: ，當 A?? 時， bg ?)(? ；當 cA??時， wg ?)(? 。 一切可能的賭博所構成的集合 X 可表示為： ]}1,0[:)1({ ???? pwppbX ，其中wppb )1?? 是說，獲得收入 b 的概率為 p ，獲得收入 w 的概率為 p?1 。 例 1. 主觀概率的測定 我們以賭博為例，簡要說明一下如何測定主觀概率的問題。 薩維奇定理指出了保證主觀概率和 VNM 效用函數(shù)唯一存在的不確定性經濟行為公理。 三、薩維奇定理 函數(shù) RP ??? )(: 叫做狀態(tài)空間 ? 上的 有限可加概率測度 ，是指 P 具有以下三條性質：(1) 對任何 )(???F ，都有 1)(0 ?? FP ， (2) 1)( ??P ， (3) 對于任何有限個兩兩不交的集合 )(, 21 ???mFFF ? ，都有 ? ?? ?? mi iimi FPFP 11 )()( 。 無原子公理 ． 對于任何 X???? , ，如果 ??? ，則存在 ? 的分劃 ? ?mFFFF , 21 ?? ，使得 ),( ici FF ??? ? 和 ??? ?),( ici FF 對一切 mi ,2,1 ?? 成立 。 同時這條公理也表明，如果兩種不確定行為僅僅在一種自然狀態(tài)下的選擇結果不同，那么著兩種不同選擇結果之間的優(yōu)劣比較決定了這兩種行為之間的優(yōu)劣比較。也就是說，與行為X?? 相比，決策者是否更偏好于行為 ? ，取決于區(qū)別集合 )}()(:{ ????? ??? ，而與具有相同選擇結果的集合 )}()(:{ ????? ??? 無關。 二、主觀概率公理體系 薩維奇對 X 上的偏好關系 提出了以下六條公理。 (四 ) 零事件 設 )(???F 。 (三 ) 條件偏好 設 )(???F （即 F 為一事件）， )(, SXX ???? 為任意兩個不確定性行為， 為 X 上的一個偏好關系。它是說：如果事件 1F 發(fā)生，則按照計劃 1? 進行不確定性的選擇；如果事件 2F 發(fā)生，則按照計劃 2? 進行不確定性的 選擇；如此等等，如果事件 mF 發(fā)生，則按照計劃 m? 進行不確定性的選擇。我們可以把這 m 個行為復合在一起，構成一種新的不確定性行為 ? ：對于每個 imi F1?????? ，當 iF?? 時， )()( ???? i? ),2,1( mi ?? 。 (一 ) 狀態(tài)分劃 為了研究不確定性，人們往往會依據(jù)某種原則對影響人們選擇的各種可能的不確定性因素 (即自然狀態(tài) )進行分門別類。也就是說，我們認為 XS? 。對于不確定性行為 X?? ，集合 }:)({][ ???? ???? 稱為 ? 的 結果集合 。 決策者的行為可用一個映射 S??:? 表示，其意義是說決策者的選擇依賴于出現(xiàn)哪種自然狀態(tài)： 如果狀態(tài) ??? 出現(xiàn)，那么他就選擇 )(?? 。用 )(?? 表示 ? 的冪集，即 ? 的所有子集之集族，也 可簡記為 ? ，即 )(???? 。下面，我們對薩維奇的主觀概率公理體系作一概要介紹。事實上，在實際經濟決策活動中，決策者涉及的的一般都是主觀概率與客觀概率的混合。直接的解釋可以說它們是客觀存在的，即“客觀概率”，比如是在對頻率觀察的基礎上計算出來的概率。 特別地，當概率空間和偏好關系 滿足積分表示定理的條件且 ?RS??? 時，存在 的 VNM效用函數(shù) RRU ??: ，從而存在通常意義下的預期效用 EU ：對于任何 )(SDf? ， ? ???? ????? ),(),()( 2121 ?? ??? xxxdfxxxUfEUEU 一般情況下，如果我們只知道風險選擇集合 )(SD 上的某個偏好 關系 的預期效用函數(shù)RSDu ?)(: ，而不知道 的 VNM效用函數(shù)是否存在，那么由于 u 具有預期效用性質，我們可以直接認為 )(fu 就是隨機選擇行動 )(SDf? 的效用的預期值 )(fEU 。則 存在一個有界可測實值函數(shù) RSU ?: 使得對一切 )(, SDgf ? ，都有 f( ?)g ?????? ? ?? SS xdgxUxdfxU )()()()( 而且這個函數(shù) U 在仿射變換下是唯一的 。條件 1),(2121 ?? ?? ?? dxdxxdxxxA ?是說，隨機選擇行為 f 的選擇結果幾乎總是出現(xiàn)在集合 A 中，即幾乎總是選擇 A 中的商品向量。 定義 (可測的偏好 )． )(SD 上的偏好關系 叫做是可測的，是指對于任何的 Sx? ，集合ySy :{ ? }x 和 ySy :{ ? }x 都是 ? 的元素 。另外，我們要求 S 的每個單點子集 )(}{ Sxx ? 都是 ? 的元素。 （二）預期效用的積分形式 設概率空間 ),( P?? 中的自然狀態(tài)集合 ? 就是確定性條件下消費者的選擇集合 S ，即?RS??? 。 本定理的證明過于復雜，這里省去。因此，阿基米德公理是關于偏好序 連續(xù)性的最弱要求。 獨立性公理的經濟含義是，如果隨機行為 f 不優(yōu)于 g ，那么對于任何第三種隨機行為 h 來說， f 與 h 的任何復合行為 hppfa )1( ??? 必然也不優(yōu)于 g 與 h 的相應的復 合行為hppgb )1( ??? 。 阿基米德公理 ． 對于任何的 )(, SDhgf ? ， 如果 hgf ?? ，則存在 )1,0(, ?qp 使得hqqfghppf )1()1( ???? ?? 。具有預期效用表示的偏好關系，也就叫做 預期偏好 。 如果直接采用隨機向量集合 )(SX 表示風險選擇集合，那么預期效用性質的表達方式變成為： 任何 )(, SX??? 及任何實數(shù) ]1,0[?p ，都有 )()1()())1(( ???? uppuppu ????? 。確定性效用函數(shù)引導的預期效用函數(shù) EU ，既具有預期效用性質，又誘導出了風險選擇集合 )(SD 上的一個偏好關系 U ：對于任何 )(, SDgf ? ， f gU 當且僅當 )()( gEUfEU ? 。 因此，預期效用函數(shù) EU 是原來確定性的效用函數(shù) U 的擴充。為了說明這一點，設 U 是消費者在確定性環(huán)境下的效用函數(shù)，并假定 U 定義在整個商品空間?R 上。設 iU 為抽彩人獲得第 i 種獎品時獲得的效用量),2,1( ni ?? 。稱此密度函數(shù)為按概率 p (和 p?1 )進行的 復合密度函數(shù) 。注意，隨機向量的復合不要求確定性選擇集合 S 的凸性。稱 ?? )1( pp ?? 為隨機選擇? 和 ? 的 復合選擇 ，或者稱為隨機向量 ? 和 ? 的 復合隨機向量 。設 X???, 為兩種隨機行為， )(, SDgf ? 分別為 ??, 的分布函數(shù)， ??, 分別為 gf, 的密度函數(shù)， ]1,0[?p 為一事件 ??A 發(fā)生的概率。所謂 f 是 ? 維隨機向量 X?? 的 分布函數(shù) ，是指 f 是一個 ? 元實值函數(shù)，且對于任何 ??? Rxxxx ?? ),( 21 ，})(,)(,)({})({)( 2211 ??? xxxPxPxf ??????? ???????? 。因此，一般情況下都要假定確定性選擇集合 S 是空間?R 的凸閉子集。更一般地，如果隨機向量 ? 的取值幾乎處處相等，即幾乎處處等于某個 Sx? （也即 1})({ ??xP ?? ），則可把這個隨機向量看成是確定性的向量 x ，也就是說，可認為 x??? 。這么一來，在帶有不確定性的情況下，? 上的 ? 維隨機向量 S??:? 的全體便代表了這個人所有可能的風險選擇行為。從這個概率空間出發(fā)，一種風險選擇就是一種隨機行為，表現(xiàn)為 ? 上的一個隨機向量 ? (即 ? 是從 ? 到 S 的一個映射）。而天是否下雨，則不確定，但我們能根據(jù)氣象臺的天氣預報說出下雨的概率。 抽彩行為的這種描述方式還可以一般化。注意， X 是歐氏空間 nR 的有界閉凸子集。這樣一來，每一種彩票都可用購買它的獲獎概率分布 ),( 21 nppp ? 來表示。下面就來建立預期效用理論，回答這個問題。 第二 節(jié) 預期效用 本節(jié)討論消費者在不確定環(huán)境中進行選擇所依據(jù)的行為準則和目標。如果他喜歡冒險，認為不冒險就發(fā)不了財，他就會選擇第二種工作。 U U U EU EU )(ERU EU )(ERU )(ERU W W W 1W ER 2W 1W ER 2W 1W ER 2W (a) 風險愛好者 (b) 風險規(guī)避者 (c) 風險中立者 圖 51 對待風險的態(tài)度與效用函數(shù)性態(tài) 第五章 不確定條件下的選擇 89 計算一下這兩種工作的預期月收入 1ER 和 2ER ： ?????ER （元） ?????ER （元） 可見，月收入的期望值都為 1500元。假定他掙得 2020 元和掙得 1000 元的概率各為 1/2。 以上對于賭博的分析，可用下表加以總結。風險規(guī)避者及風險中立者認為 )(ERUEU? ，故 )(WUEU? ，因此他們肯定不參加賭博；但風險愛好者認為)(ERUEU? ，因此， EU 與 )(WU 哪個更大不得肯定。不公平賭博有兩種：一種是預期收入大于不賭的收入，稱為 盈賭 ；另一種是預期收入小于不賭的收入，稱為 虧 賭 。 (2) 風險規(guī)避者的效用函數(shù) U 是凹函數(shù)，即對任何兩種收入 1W 和 2W ，及任何實數(shù) )1,0(?p ，都有 )()1()())1(( 2121 WUpWpUWppWU ????? 。 當 WER? 時，即當賭博的預期收入等于不賭的收入時，稱這種賭博是 公平賭博 。某人現(xiàn)有貨幣收入 W 元且 1wW? ，因而具有參加賭博的資金條件。也正是這種風險，讓不少賭徒傾家蕩產。否則，就有一方不愿意打賭。甲根據(jù)自己的概率判斷，計算出賭博的預期效用為 )0()1()100( uppuEU ??? ；乙也根據(jù)自己的概率判斷，計算出賭博的預期效用為 )1 0 0()1()0( vqqvEV ??? 。乙說法國隊贏球，是因為乙認為法國隊贏球的概率大于巴西隊。如果賭，賭贏者可得 50元（收入變?yōu)?100元），賭不贏就要付出 50 元 (收入變?yōu)?0 元 )。 表 51 彩票抽彩 獎勵等級 1等獎 2等獎 ? 1?n 等獎 n 等獎 中獎概率 1p 2p ? 1?np np 中獎效用 1U 2U ? 1?nU nU 預期效用 nnUpUpUpEU ???? ?2211 例 2. 賭博 (gamble) 賭博是典型的依靠隨機因素來決定收入的現(xiàn)象，用它可來區(qū)別一個人是冒險者還是避險者。這個彩票可用它的中獎概率分布),( 21 nppp ? 來表示。當 21 EUEU ? 時，兩種彩票的效用期望相同，因而對抽彩人來說無差異。問抽彩人喜歡抽哪一種彩票？ 要回答這個問題，需要計算這兩種彩票的預期效用（即效用的期望值）。 例 1. 抽彩 (lottery) 設有兩種獎品通過抽彩才能獲得。 風險 (risk)是指人們雖然不能確定某種經濟行為一定會發(fā)生某種結果，但能夠確定其發(fā)生的可能性大小，或者說，經濟行為產生某種結果的可能性大小是客觀存在，由客觀條件決定。 第一節(jié) 不確定性選擇事例 通常的“不確定”一詞，是說人們不能確定某種行為一定會發(fā)生某種結果。如果未來收益很低，那么當前的超支在未來就無能力償付。然而實際消費選擇并非總是在這種確定性環(huán)境中進行的，比如人們可以借款進行超支消費，如借款購房或貸款進大學接受高等教育，這種超支消費同人們未來收入有關，然而未來是不確定的，一個人的未來收入可能提高，也可能降低，也可能失業(yè)而只能享受社會救濟。本章討論這種不確定條件下的消費選擇問題。出現(xiàn)不肯定性的原因可能是人們行為本身就具有不確定性因素，或者是人們行為不完全獨立，或者是人們缺乏必要的信息等等。 下面來 看不確定性條件下選擇的幾個事例。抽彩人得到獎品 1后，能獲得 1U 個單位的效 用；獲得獎品 2 后，能獲得 2U 個單位的效用。同理，當 21 EUEU ? 時，抽彩人會選擇第二種彩票。獲得 i 等獎的概率為 ip （ ni ,2,1 ?? )， 121 ???? nppp ? ?？傊?，彩票抽彩可用下表加以表示。如果不賭，甲和乙誰都不會贏得 50元，當然也不會付出 50元，雙方收入 50元不變。甲說巴西