【正文】 ????????? ??pxpxxxxutxuxxtxutxuxttxuiiiitt???R 證明 . 首先注意， u(x) 弱擬凹 (連續(xù) +擬凹 ? 弱擬凹 )。 增加 i 的消費(fèi)，減少 j 的消費(fèi)，方可提高效用。 ??????????????rxpxpxppxjippxuxujiji**22*11*),2,1,(*)(*)(?????????jijippxuxu)()( 增加 i 的消費(fèi)，減少 j 的消費(fèi)，方可提高效用。對(duì)任何價(jià)格向量 p 0、收入 r 及消費(fèi)向量 x*?X ? ， 若 x*?D( p, r)(即 x*是消費(fèi)者的均衡 )，則存在實(shí)數(shù) ? 0 使 u ?(x*) = ? p 且 p x* = r， 即 (x*, ?) 滿(mǎn)足邊際方程 ： (一 ) 一階必要條件 ?????????????rxpxpxppxipxuu iii**22*11*),2,1(*)(??????1. 必要條件的序數(shù)效用意義：替代法則 ? 邊際替代率 ：在消費(fèi)方案 x 處，商品 i 對(duì)商品 j 的邊際替代率是指當(dāng)商品 i 的消費(fèi)增加一單位時(shí) ， 在保持效用水平不變的情況下商品 j 的消費(fèi)減少量 。 而 x*?D( p, r)? X ? 又保證了 u?(x*) ? 0，這是因?yàn)閷?duì)任何 x?X，若 x x*， 則 px ? px* = r，從而 u(x) ? u(x*)。 邊際方程的重要作用在于它表達(dá)了消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)效用最大化的一階條件：不但是必要條件，而且是充分條件。利用效用函數(shù) u(x)，效用最大化問(wèn)題可表述為： max u(x) . px ? r。因此，也可以把馬歇爾需求向 量 x*?D( p, r) 叫做消費(fèi)者的 均衡向量 。鑒于這個(gè)原因，今后我們直接從效用最大化出發(fā)來(lái)研究消費(fèi)者需求。 ? 對(duì)偶定理 設(shè)消費(fèi)集合 X 是 的下有界非空凸閉子集， ? 是無(wú)滿(mǎn)足的連續(xù)凸偏好。 反向變動(dòng)性： 對(duì)任何 ( p, x), (q, x)??， ( p ? q)( h( p, x) ? h( q, x)) ? 0。 稱(chēng)這個(gè)映射 h: ?? X 為消費(fèi)者的 ?？怂剐枨笥成?。 z ? x , p z p y x?X p 偏好 ? 的連續(xù)性保證了在連接 w和 y 的線(xiàn)段上，存在一點(diǎn) z 使得 z ~ x且 p z p y。 ? 的連續(xù)性保證了在連接 w 和 y 的線(xiàn)段上存在 z 滿(mǎn)足： z ~ x 且 p z p y= p y?。 ? 唯一性 定理 設(shè) 消費(fèi)集合 X 是凸集，偏好 ? 連續(xù)且嚴(yán)格凸，則對(duì)于服從最低支出限制的任何價(jià)格向量 p 和消費(fèi)方案 x?X ， ?？怂剐枨蠹?H( p, x)中最多只有一種消費(fèi)方案。 注意，函數(shù) pz (z?X ) 在 E(x)上的最小值與在 B 上的最小值一致，且 pz為連續(xù)函數(shù)，而 連續(xù)函數(shù)在有界閉集上必有最小值。因此， 理性消費(fèi)者的?？怂剐枨蟊厝淮嬖?。 證明： 注意， x, y?E(z)。 )}(),(:{)( pIxpeXxpX ????x?yxy無(wú) 差 異 曲 線(xiàn) ?? ?? pypIpx )(),()(),( ypepIxpe ?? p ?? yx ?)),(),(()( ypexpeyx ???X 在既定的價(jià)格體系 p下，對(duì)于 x?X ， 支出集合 E(x) 中的最小支出點(diǎn) x* (即 x*?E(x) 且 px* = e( p, x)) 所代表的消費(fèi)方案，就叫做 價(jià)格體系 p 下方案 x 處的 ?？怂剐枨?(向量 )。在點(diǎn) x 處，本來(lái)x*是最優(yōu)選擇，但它位于消費(fèi)集合邊界，失去了 “ 最優(yōu) ” 意義：同 (二 ) 最低支出限制 樣支出下，還有更優(yōu)的消費(fèi)方案 y*。 ? 對(duì)任何 x?X ， e( p, x) 都是價(jià)格 p 的凹函數(shù) 。 (一 ) 支出函數(shù) ? 支出函數(shù) )}(:m i n {),(,),( xEzpzxpeXRxp ????? ???? 支出函數(shù) e( p, x)正表達(dá)了支出最小化的意義 ： 與 x 相比 ， 在不降低生活水平的條件下 ， 尋求支出最小化 。該集合 E(x) 就稱(chēng)為消費(fèi)者在方案 x 處的 支出集合 ，條件 “ y?E(x)” 叫做 x 處的 支出約束 。如果這樣的方案 y 存在，那么消費(fèi)者不會(huì)選擇 x。 一、支出約束 現(xiàn)在，我們按 照支出最小化的思路，來(lái)分析一下消費(fèi)者的最優(yōu)選擇。以貨幣換商品，相當(dāng)于以效用換效用。 2 支出最小 化 任何人都希望在保持生活水平不變的條件下最小化自己的支出而非最大，這也是經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)先驗(yàn)命題 。 ? 補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn) ：補(bǔ)貼后，要保證消費(fèi)者仍可以按照原來(lái)的方案進(jìn)行消費(fèi)，即補(bǔ)貼額 = q x? p x，也即 q x = s。這說(shuō)明： 雖然繳納的稅額相同 , 但征收所得稅要比征收銷(xiāo)售稅對(duì)居民更為有利些 。按稅率 t 征收銷(xiāo)售稅，相當(dāng)于價(jià)格從 p 上升到 p+ t，于是需求從 x?D( p, r) 變到 y?D( p+t, r)，所納的稅額為T(mén) = t y。一種辦法是控制價(jià)格，不許漲價(jià)，把價(jià)格補(bǔ)貼發(fā)給生產(chǎn)者。 ? 價(jià)格與收入決定消費(fèi)者的效用水平 ： 間接效用函數(shù) Ru ??:))),((),()(),(( rpurpurp ?????Ru ??:五、應(yīng)用事例 現(xiàn)在應(yīng)用效用最大化理論來(lái)分析兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題：所得稅與銷(xiāo)售稅的比較，價(jià)格補(bǔ)貼發(fā)放辦法比較。這就確定了一個(gè)定義在價(jià)格收入集合 ? 上的函數(shù) ： 這個(gè)函數(shù) 叫做消費(fèi)者的 間接效用函數(shù) ，其中 ? ( p, r) 為消費(fèi)者的需求映射。 三、需求映射與需求函數(shù) ? 定理 在假設(shè) HC和 HP下，需求映射 ? : ? ? X 具有下述性質(zhì)： (1) 效 用最大化：對(duì)任何 ( p, r)?? 及 x?X ，若 x ? ? ( p, r)， 則 p x r ； (2) 零階齊次性：對(duì)任何 ( p, r)??及實(shí)數(shù) t 0, 都有 ? (t p, t r) = ? ( p, r)； (3) 瓦爾拉定律：對(duì)任何 ( p, r)??，都有 p? ( p, r) = r。 這說(shuō)明，在假設(shè) HC和 HP下，馬歇爾需求集映 D : ??X 唯一地確定了一個(gè)映射 ? : ? ? X ：對(duì)任何 ( p, r)??， D( p, r)={? ( p, r)}。生產(chǎn)者方面的情況又怎樣呢？以 后要講述的生產(chǎn)者理論給出的回答是：所有商品價(jià)格 同比例上升并不影響生產(chǎn)選擇，產(chǎn)品供應(yīng)和要素需求不會(huì)變化，而生產(chǎn)者的利潤(rùn)要同比例提高。 ? 零階齊次性說(shuō)明，如果所有商品價(jià)格都與消費(fèi)者收入以同樣比例上升，那么消費(fèi)者需求不變，從而消費(fèi)者的滿(mǎn)足程度不變。則在連接 x 與 y 的直線(xiàn)段上必有一點(diǎn) z 滿(mǎn)足 p z = r，如右圖所示，故 z?? ( p, r)。 (四 ) 馬歇爾需求的瓦爾拉定律 ? 瓦爾拉定律 設(shè) ? 是 X 上無(wú)滿(mǎn)足的凸偏好，則對(duì)任何 ( p, r)?? 及 x?D( p, r)，都有 p x = r 。 瓦爾拉定律說(shuō)明， 要想實(shí)現(xiàn)效用最大化 ， 必須把錢(qián)花光 。 (1) 如果 X 是凸集， ? 是嚴(yán)格凸偏好，則 D( p, r)是單點(diǎn)集或空集。 ? 對(duì)任何價(jià)格收入組合 ( p, r)??，理性消費(fèi)者的馬歇爾需求都是存在的，即 D( p, r) ? ? ，從而馬歇爾需求確定了一個(gè)從價(jià)格收入集合到消費(fèi)集合的對(duì)應(yīng) (取值非空集合的集值映射 )D : ??X ， 稱(chēng)為需求對(duì)應(yīng) 或 需求集映 。 由此定理可知： (二 ) 馬歇爾需求的存在性 ? 定理 設(shè) X 為消費(fèi)集合 ， p 為價(jià)格體系 ， r 為收入， ? 為偏好 。 ?186。這些基本問(wèn)題是： ?消費(fèi)者需求是否存在？即 需求集合 D( p, r) 是否非空？ 如果需求集合是空集，那么效用最大化就是空談。既然 x 是 ? ( p, r)中最好的，而 y??( p, r)，因此 y ? x；同理， x ? y。馬歇爾從效用最大化出發(fā)，導(dǎo)出了消費(fèi)者需求，即預(yù)算集合中消費(fèi)者認(rèn)為最好的消費(fèi)方案，這個(gè)方案就是消費(fèi)者最終決定的消費(fèi)方案，稱(chēng)為 馬歇爾需求 (向量 )，簡(jiǎn)稱(chēng)為 需求 (向量 )。條件 r ? I( p) 就叫做 最低生活保障 或 最低收入條件 或 最低支出條件 。現(xiàn)在，我們先從預(yù)算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含義。對(duì)任何 x?? ( p, r)，既然 p?0且 x ? a ，我們有0 ? pi (xi – ai) ? p (x – a) ? r – p a，從而 pi xi ? r – p a+ pi ai ( i = 1,2,? ,? )。 (一 ) 預(yù)算集合 預(yù)算集合 是指由預(yù)算約束確定的消費(fèi)選擇范圍，是消費(fèi)集合 X 的子集 ? ( p, r)={x?X : p x ? r}。預(yù)算約束可表示為 ： 要求消費(fèi)選擇 行為 x 必須服從 條件 “ (x ?X )?( p x ? r)” 。經(jīng)濟(jì)條件限制可表示為 p x ? r。消費(fèi)者進(jìn)行選擇時(shí)，要受到兩方面條件限制：客觀條件與經(jīng)濟(jì)條件。人們受到的這些種種限制，雖然影響著人們的選擇，但這些限制卻使得效用最大化問(wèn)題有了解決途徑 ——服從約束條件的效用最大化。從重商主義、重農(nóng)主義、古典經(jīng)濟(jì)學(xué)、新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)到當(dāng)代主流經(jīng)濟(jì)學(xué)，無(wú)不接受、繼承和發(fā)展這一命題，效用最大化問(wèn)題得到了越來(lái)越深入的研究 。 1 效用最大化 任何人都希望最大化自己的效用而非最小，這是經(jīng)濟(jì)學(xué)的先驗(yàn)命題。比如，人們需要商品，但必須能夠賣(mài)得起。 一、預(yù)算約束 設(shè)消費(fèi)集合為 ，價(jià)格體系為 ，消費(fèi)者收入為 r。 經(jīng)濟(jì)條件限制 ：主要是價(jià)格與收入對(duì)消費(fèi)選擇的限制，消費(fèi)者必須在收入許可的范圍內(nèi)選擇。 預(yù)算約束： 是指 由 客觀條件限制 (x?X )與經(jīng)濟(jì)條件限制 ( p x ? r)給消費(fèi)選擇造成的制約條件 。這樣， ? ( p, r) 是有界閉集。令 bi = (r pa + pi ai) / pi ( i = 1,2,? ,? )。這項(xiàng)制度有利于社會(huì)穩(wěn)定，有利于促進(jìn)經(jīng)濟(jì)均衡。 最低生活保障制度 是 一種保證收入 r 不低于 I( p) 的制度 。 二、馬歇爾需求 效用最大化 是指 消費(fèi)者在預(yù)算約束下進(jìn)行最滿(mǎn)意的消費(fèi) 。 證明：任意給定 x, y?D( p, r)。 ),( rpDxy無(wú) 預(yù) 算 線(xiàn) 差 異 曲 線(xiàn) ? ( p, r) (一 ) 關(guān)于馬歇爾需求的基本問(wèn)題 回答這些問(wèn)題，涉及到關(guān)于價(jià)格收入組合的兩個(gè)重要集合： 雖然從效用最大化出發(fā)導(dǎo)出了消費(fèi)者需求，但有一些基本問(wèn)題必須回答。 ))}(()0(:),{())}(()0(:),{(pIrpRRrppIrpRRrp???????????????????集合 ? 叫做 價(jià)格收入集合 。具體證明留作練習(xí)。 (3) 如果 X 是非空下有界閉集， ? 是連續(xù)偏好， p 0 且 r ? I( p)， 則D( p, r)是非空的閉集。 (三 ) 馬歇爾需求的唯一性 ? 定理 設(shè) X 為消費(fèi)集合 ， p 為價(jià)格體系 ， r 為收入， ? 為偏好 。 (4) 如果 X 是非空下有界凸閉集 , ? 是連續(xù)的內(nèi)部嚴(yán)格凸偏好 , 則對(duì)任何 ( p, r)??， 只要 D( p, r)? X ?， D( p, r) 就是單點(diǎn)集 。當(dāng)把貨幣加入到所考慮的商品行列時(shí)，瓦爾拉定律說(shuō)的正是這種現(xiàn)象： 為了效用最大化，不要把錢(qián)花光 。用反證法，假如 p x r。 ? x y z 證明：這主要是因?yàn)? ? (t p, t r) = ? (p, r)。所有商品價(jià)格同比例上漲，意味著消費(fèi)者收入同比例上升。 (五 ) 馬歇爾需求的零階齊次性 ? 定理 對(duì)任何 ( p, r)??及任何正實(shí)數(shù) t， 都有 D(t p, t r) = D( p, r)。 ? 定理 在假設(shè) HC和 HP下， 對(duì)任何 ( p, r)??， D( p, r)都是單點(diǎn)集。需求向量是由 價(jià)格和收入決定的，因此價(jià)格與收入決定著消費(fèi)者的實(shí)際生活水平。因此，經(jīng)濟(jì)學(xué)中不是用名義收入而是用需求向量來(lái)代表消費(fèi)者的實(shí)際收入水平 (即實(shí)際生活水平 )。那么，哪一種征稅辦法對(duì)居民更為有利些 ? 問(wèn)題 2： 漲價(jià)補(bǔ)貼對(duì)消費(fèi)者是否有利 ？ 商品漲價(jià)，國(guó)家要發(fā)放價(jià)格補(bǔ)貼。 (一 ) 所得稅與消費(fèi)稅的比較 ? 征收銷(xiāo)售稅 ： 稅率向量為 t = ( t1, t2,? , t?)， ti為購(gòu)買(mǎi)一單位商品 i 的稅額。 x