【正文】 抽樣法 . 4．某校有學(xué)生 2020人，其中高三學(xué)生 500人．為了解學(xué)生身體情況，采用按年級分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取一個 200人的樣本，則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為 50 1000 名學(xué)生編號如下： 0001， 0002， 0003，?， 1000，打算從中抽取一個容量為50的樣本，按系統(tǒng)抽樣的方法分成 50個部分，如果第一部分編號為 0001， 0002， 0003，?， 0020，第一部分隨機(jī)抽取一個號碼為 0015，則抽取的第 40 個號碼為 0795 ． 【范例解析】 例 1：某車間工人加工一種軸 100件，為了了解這種軸的直徑，要從中抽取 10件軸在同一條件下測量，如何采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本？ 分析 簡單隨機(jī)抽樣一般采用兩種方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法 . 解法 1：（抽簽法）將 100件軸編號為 1， 2，?， 100，并做好大小、形狀相同的號簽，分別寫上這 100個數(shù)，將這些號簽放在一起，進(jìn)行均勻攪拌，接著連續(xù)抽取 10個號簽，然后測量這個 10個號簽對應(yīng)的軸的直徑 . 解法 2：（隨機(jī)數(shù)表法）將 100件軸編號為 00， 01，? 99，在隨機(jī)數(shù)表中選定一個起始位置，如 取第 21行第 1個數(shù)開始，選取 10個為 68， 34， 30， 13， 70， 55， 74， 77， 40， 44，這 10件即為所要抽取的樣本 . 點(diǎn)評 從以上兩種方法可以看出，當(dāng)總體個數(shù)較少時用兩種方法都可以，當(dāng)樣本總數(shù)較多時，方法 2優(yōu)于方法 1. 例 某校高中三年級的 295名學(xué)生已經(jīng)編號為 1， 2，??， 295，為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，要按 1：5的比例抽取一個樣本，用系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽取，并寫出過程 . 分析 按 1： 5分段，每段 5人，共分 59段，每段抽取一人，關(guān)鍵是確定第 1段的編號 . 解 ：按照 1： 5的比例，應(yīng)該抽取的樣本 容量為 295247。 ? ?20,30 , 3 。 ? ?60,70 , 2 .則樣 本在區(qū)間 ? ?,50?? 上的頻率為 __ ___ 8．觀察新生嬰兒的體重，其頻率分布直方圖如圖所示，則新生嬰兒體重在 (2700,3000] 的頻率 為 9． 某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了 50 名學(xué)生，得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用右 上面 的條形圖表示． 根據(jù)條形圖可得這 50 名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時間為 小時 、乙兩臺機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取 15 個進(jìn)行檢驗(yàn)，相關(guān)指標(biāo)的檢驗(yàn)結(jié)果為： 甲： 534， 517， 528， 522， 513， 516， 527， 526， 520， 508， 533， 524， 518， 522， 512； 乙： 512， 520， 523， 516， 530， 510， 518， 521， 528， 532， 507， 516， 524， 526， 514. (1).畫出上述數(shù)據(jù)莖葉圖； (2).試比較分析甲、乙兩臺機(jī)器生產(chǎn)零件的情況 . 解（ 1）用指標(biāo)的兩位數(shù)作莖，然后作莖葉圖： （ 2）從圖中可以看出，甲機(jī)器生產(chǎn)零件的指標(biāo) 分布大致對稱，指標(biāo)平均在 520 左右，中位數(shù) 和眾數(shù)均為 522；乙機(jī)器生產(chǎn)零件的指標(biāo)分布為 大致對稱，指標(biāo)平均在 520 左右，中位數(shù)和眾數(shù) 分別為 520 和 516，總的來看，甲機(jī)器生產(chǎn)的零 件的指標(biāo)略大些 .. 點(diǎn)評 注意作莖葉圖時，莖可以放兩位數(shù) . 第 3 課 總體特征數(shù)的估計 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 理解樣本數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義并且會計算數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差，使學(xué)生掌握通過合理抽樣對總體穩(wěn)定性作出科學(xué)的估計的思想 . 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．已知數(shù)據(jù)12 nx x x， ， ，的平均數(shù)為 5x? ，則數(shù)據(jù)137x?，237x?，?， 37nx?的平均數(shù)為 22 . 2． 若 M 個數(shù)的平均數(shù)是 X, N 個數(shù)的平均數(shù)是 Y,則這 M+N個數(shù)的平均數(shù)是 MX NYMN?? 3．?dāng)?shù)據(jù) a1， a2， a3，?， an的方差為 σ 2，則數(shù)據(jù) 2a1， 2a2， 2a3，?， 2an的方差為 4σ 2 . 4． 已知同一總體的兩個樣本，甲的樣本方差為 121?，乙的樣本方差為 32? ，則下列說法正確的是 ④ . ① 甲的樣本容量小 ② 乙的樣本容量小 ③ 甲的波動較小 ④ 乙的波動較小 8 87632 87642200 43 50 51 52 53 7 024668 013468 02 【范例解析】 例 ，分別計算男生和女生的成績平均值、中位數(shù)以及眾數(shù) .試分析一下該班級學(xué)習(xí)情況 . 男生： 55， 55， 61， 65， 68， 68， 71， 72， 73， 74， 75， 78， 80， 81， 82， 87， 94； 女生： 53， 66， 70， 71， 73， 73， 75， 80， 80， 82， 82， 83， 84， 85， 87， 88， 90， 93， 94， 97. 解 ： 17名男生成績的平均值是 ，中位數(shù)是 73分，眾數(shù)為 55 和 68. 20名女生成績的平均值是 ，中位數(shù)是 82分，眾數(shù)為 73， 80 和 82. 從上述情況來看，這個班女生成績明顯好于男生成績 . 例 ，乙兩位射擊運(yùn)動員的成績，在相同的條件下對他們進(jìn)行了 10 次測驗(yàn)，測得他們的環(huán)數(shù)如下： 環(huán)數(shù) 10 9 8 7 6 5 甲（次） 3 2 1 2 0 2 乙（次） 2 2 2 2 2 0 試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷他們誰更優(yōu)秀 . 解： 甲x =8,乙x =8, 2甲S =, 2乙S =2, 所以乙更優(yōu)秀 例 3． 某化肥廠甲、乙兩個車間包裝肥料，在自動包裝傳送帶上每隔 30 分鐘抽取一包產(chǎn)品， 稱其重量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下： 甲： 102， 101， 99， 98， 103， 98， 99； 乙： 110， 115， 90， 85， 75， 115， 110． （ 1） 這種抽樣方法是哪一種 方法 ？ （ 2） 計 算 甲、乙兩個車間產(chǎn)品的平均數(shù)與方差，并說明哪個車間產(chǎn)品較穩(wěn)定？ 解 ：（ 1）采用的方法是：系統(tǒng)抽樣； （ 2） 1 1 0 2 1 0 1 9 9 9 8 1 0 3 9 8 9 9 1 0 07x ? ? ? ? ? ? ? ?甲 （ ）； 1 1 1 0 1 1 5 9 0 8 5 7 5 1 1 5 1 1 0 1 0 07x ? ? ? ? ? ? ? ?乙 （ ）； 2 1 4 1 1 4 9 4 1 3 . 4 2 8 5 77S ? ? ? ? ? ? ? ?甲 （ ）； 2 1 1 0 0 2 2 5 1 0 0 2 2 5 6 2 5 2 2 5 1 0 0 2 2 8 . 5 77S ? ? ? ? ? ? ? ?乙 （ ） ∴ 22SS? 乙甲 故甲車間產(chǎn)品比較穩(wěn)定． 點(diǎn)評 以樣本估計總體，在生產(chǎn)生活經(jīng)常用到，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，從而更好地指導(dǎo)實(shí)踐 . 【反饋演練】 1. 下列說法中，正確的是 ④ . ① 頻率分布直方圖中各小長方形的面積不等于相應(yīng)各組的頻率 ② 一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是這組數(shù)據(jù)的方差的平方 ③ 數(shù)據(jù) 2， 3， 4， 5 的方差是數(shù)據(jù) 4， 6， 8， 10 的方差的一半 ④ 一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大 2．從甲、乙兩班分別任意抽出 10 名學(xué)生進(jìn)行 英語口語測驗(yàn)，其測驗(yàn)成績的方差分別為 S12= ，S22=26． 26，則 ① . ①甲班 10名學(xué)生的成績比乙班 10 名學(xué)生的成績整齊 ②乙班 10名學(xué)生的成績比甲班 10 名學(xué)生的成績整齊 ③甲、乙兩班 10名學(xué)生的成績一樣整齊 ④不能比較甲、乙兩班 10名學(xué)生成績的整齊程度 3 ．已知樣本為 101 ,98, 102, 100, 99，則 樣本 標(biāo)準(zhǔn)差為 2 4 .某班 45 人，一次數(shù)學(xué)考試，班級均分 72 分 .已知不及格人數(shù)為 5 人，他們的平均成績是 52 分，則及格學(xué)生的平均分為 74 .5 分 . 5．高三年級 1000名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)其中測試 .高三年級組隨機(jī)調(diào)閱了 100名學(xué)生的試卷（滿分為 150分），成績記錄如下： 成績（分） 3 4 5 6 7 8 9 10 人數(shù) 6 8 10 15 15 35 8 3 求樣本平均數(shù)和樣本方差． 解： 6 3 8 4 1 0 5 1 5 6 1 5 7 3 5 8 8 9 3 1 0100x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? = 2 2 2 2 21 [ 6 ( 3 ) 8 ( 4 ) 1 0 ( 5 ) 1 5 ( 6 )60s x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 21 5 (7 ) 3 5 ( 8 ) 8 ( 9 ) 3 ( 1 0 ) ]x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 6．兩臺機(jī)床同時生產(chǎn)直徑為 10 的零件，為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)量質(zhì)檢員從兩臺機(jī)床的產(chǎn)品中各抽取 4件進(jìn)行測量，結(jié)果如下： 機(jī)床甲 10 10 機(jī)床乙 10 10 如果你是質(zhì)量檢測員，在收集到上述數(shù) 據(jù)后，你將通過怎樣的運(yùn)算來判斷哪臺機(jī)床生產(chǎn)的零件質(zhì)量更符合要求 . 解：先考慮各自的平均數(shù)：設(shè)機(jī)床甲的平均數(shù)、方差分別為 211xs、 ；機(jī)床乙的平均數(shù)、方差分別為 222xs、 . 1 10 10 104x ? ? ???，2 10 .1 10 9. 9 10 104x ? ? ??? ∴兩者平均數(shù)相同，再考慮各自的方差： 2 2 2 2 21 1 [ ( 1 0 1 0 ) ( 9 .8 1 0 ) ( 1 0 1 0 ) ( 1 0 .2 1 0 ) ] 0 .0 24s ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 22 1 [ ( 10 10 ) ( 10 .1 10 ) ( 10 10 ) ( 9. 9 10 ) ] 0. 00 54s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∵ 2212ss? ，∴機(jī)床乙的零件質(zhì)量更符合要求 . 第 4 課 案例分析 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 ，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系 . ，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程 . 、方法及其初步應(yīng)用，了解回歸與分析的基本思想、 方法及其初步應(yīng)用 . 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)：可求出與的線性回歸方程是 ? ?? 2．線性回歸方程 ?y bx a??表示的直線必經(jīng)過的一個定點(diǎn)是 (,y)x 3． 設(shè)有一個直線回歸方程為 2 ?? ,則變量 x 增加一個單位時 ③ . ① y 平均增加 個單位 ② y 平均增加 2 個單位 ③ y 平均減少 個單位 ④ y 平均減少 2 個單位 4．對于給定的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，下列說法正確的是 ③ . ①都可以分析出兩個變量的關(guān)系 ②都可以用一條直線近似地表示兩者的關(guān)系 ③都可以作出散點(diǎn)圖 ④都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系 5．對于兩個變量之間的相關(guān)系數(shù)，下列說法中正確的是 ③ . ① |r|越大，相關(guān)程度越大 ② |r| ? ?0,? ?? ， |r|越大，相關(guān)程度越小， |r|越小，相關(guān)程度越大 ③ |r|? 1且 |r|越接近于 1，相關(guān)程度越大； |r|越接近于 0，相關(guān)程度越小 【范例解析】 例 1． 在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了 124 人，其中女性 70 人，男性 54 人 ． 女性中有 43 人主要的休閑方式是看電視，另外 27 人主要的休閑方式是運(yùn)動；男性中有 21 人主要的休閑方式是看電視，另外 33 人主要的休閑方式是運(yùn)動 ． （ 1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個 22 的列聯(lián)表；（ 2）判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系 ． 解 ：（ 1） 22 的列聯(lián)表 性別 休閑方式 看電視 運(yùn)動 總計 女 43 27 70 男 21 33 54 總計 64 60 124 （ 2）假設(shè) “ 休閑方式與性別無關(guān) ” 計算 22 1 2 4 ( 4 3 3 3 2 7 2 1 ) 6 . 2 0 17 0 5 4 6 4 6 0? ? ? ? ???? ? ? 因?yàn)?2 ? ? ，所以有理由認(rèn)為假設(shè) “休閑方式與性別無關(guān) ”是不合理的， 即有 %的 把握認(rèn)為 “ 休閑方式與性別有關(guān) ” . 點(diǎn)評 對兩個變量相關(guān)性的研究，可先計算 2? 的值，并根據(jù)臨界表進(jìn)行估計與判斷 . 例 3. 一個車間為了為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時間，為此進(jìn)行了 10 次實(shí)驗(yàn)，測得如下數(shù)據(jù)： 零件數(shù) x (個 ) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時間 y(分 ) 62 68 75 81 89 95 102 108