復(fù)變函數(shù)與積分變換洛朗級數(shù)-全文預(yù)覽
【正文】 zz0)+...(m?1, cm?0),則稱孤立奇點 z0為函數(shù) f (z)的 m級極點 . 上式也可寫成 : 01( ) ( ) *( ) mf z g zzz? ， （ ） 其中 g (z) = cm+ cm+1(zz0) + cm+2(zz0)2 +..., 在 |zz0|d 內(nèi)是解析的函數(shù) , 且 g (z0) ? 0 . 反過來 , 當(dāng)任何一個函數(shù) f (z) 能表示為 (*)的形式 , 且 g (z0) ? 0 時 , 則 z0是 f (z)的 m級極點 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換如果 z0為 f(z)的極點 , 由 (*)式知 0l im ( ) .zz fz? ??310 zezz??思 考 ： 是 的 幾 級 極 點 ？ ( 展 洛 朗 級 數(shù) 判 )0 ()z f z m為 的 級 極 點0l im ( ) ( ) .zz fz?? ? ? ?， 不 存 在 但 為01( ) ( )( ) mf z g zzz??復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換3. 本性奇點 如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多 zz0的負(fù)冪項 ,則孤立奇點 z0稱為 f (z)的本性奇點 . 1112( ) 0 .1112 ! !znzf z e ze z z zn? ? ???? ? ? ? ? ?例 如 以 為 它 的 本 性 奇 點 因 為有 無 窮 多 負(fù) 冪 項 。 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換特別的，當(dāng)洛朗級數(shù)的系數(shù)公式 101 ( ) d . ( 0 , 1 , 2 , )2 π ()n nCfiz? ?? ?? ? ? ???1n ?? 時 ， 有 ???CdzzfiC )(2 11 ? 12)( ??? ? CidzzfC ?（即可利用 Laurent系數(shù)計算積分） 其中 C為圓環(huán)域 R1|zz0|R2內(nèi)的任何一條簡單閉曲線 ,f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)解析。 2)在 1|zi|2中的洛朗展開式 。 iii) 2|z| +? 內(nèi)是處處解析的 , 可把 f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù) . ? ? ? ? ? ?11 12? ??例 把 在 復(fù) 平 面 上 展 開 為 的 冪 級 數(shù) 。 10 0 1 00 1 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ,?????? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? nnnnnnnc z z c z z c z zc c z z c z z 現(xiàn)在反問 , 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成上述含正、負(fù)冪的冪級數(shù)呢 ?先看下例。復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換洛朗級數(shù) 一個以 z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù) f (z), 可以在該圓域內(nèi)展開成 zz0的冪級數(shù) . 如果 f (z)在 z0處不解析 , 則在 z0 的鄰域內(nèi)就不能用 zz0的冪級數(shù)來表示 . 但是這種情況在實際問題中卻經(jīng)常遇到 . 因此 , 在本節(jié)中將討論在以 z0 為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級數(shù)表示法 . 討論下列形式的級數(shù) : 10 0 1 00 1 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ,?????? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? nnnnnnnc z z c z z c z zc c z z c z z可將其分為兩部分考慮 : 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換0 0 1 0 0010 1 0 01( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )???? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???正 冪 項 部 分負(fù) 冪 項 部 分nnnnnnnn
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