希爾伯特空間中子空間的閉性與補(bǔ)性-全文預(yù)覽
【正文】 X f? ? ? ?? ?11 1 1 2, , , ,nnn n na x a x a x a a a R n N X??? ? ? ? ?, 則易證 M 是無限維內(nèi)積空間 X 的子空間 ,且 dim ( )rM? ? ??,下求 M?? : 對 ()g x M???有 ()f x M??, ( ( ), ( )) 0f x g x ? ， 11 取 2( ) , , , ,mf x x x x? ,()mN? ,則 2( ) ( ) ( ) 0b b b ma a ax g x d x x g x d x x g x d x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?()mN? , 方法 1 對 11 1 1() nnnnf x a x a x a x M??? ? ? ? ?,有 11( ( ) , ( ) ) ( ) ( )baf x x g x f x x g x d x??? 111( ) ( ) ( )b b bnnnna a aa x x g x d x a x x g x d x a x x g x d x??? ? ? ? ? ? ?? ? ? 1211( ) ( ) ( ) 0b b bnna a aa x g x d x a x g x d x a x g x d x? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?, ()xg x M??? ,又 0 (0) 0g ? , ()xg x M??, ()xg x M M ?? ? ?, 由引理 8,知 ? ?0MM???, ( ) 0xg x??, ( ) 0gx??, ? ?0M???, ? ?0M X M???? ? ? ?, MM????,由引理 9,易證 X M M??? 不成立 . 方法 2 ( ) [ ]g x M R x???,設(shè) 11 1 0() kkkkg x b x b x b x b??? ? ? ?()kN? ,則 2( ) ( ) ( ) 0b b b ma a ax g x d x x g x d x x g x d x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?()mN?, 易知 : 1( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 0b b b ka a ax g x d x x x g x d x x x g x d x?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?, 由引理 12,可知 ()xgx? 在 (a,b)上可找到 2k? 個互不相同的零點(diǎn) , ? ()gx在 (a,b)上可找到 1k? 個互不相同的零點(diǎn) , ()gx的次數(shù)為 k 1k? , ( ) 0gx??, ? ?0M???, MM????, 由引理 9,易證 X M M??? 不成立 . 注 3 由定理 6 可得到本文的主要結(jié)論 : 若 X 是內(nèi)積空間 ,M 是 X 中的有限維子空間 ,則 X M M??? 與 MM??? 成 立 。1 , 39。 22( ) ( ) 0Ff????,證畢 . 引理 12 設(shè) ? ?( ) ,f x C a b? 且 ( ) ( ) ( ) 0b b b na a af x d x x f x d x x f x d x? ? ? ?? ? ? ()nR? ,則 ? 互不相同的 1 2 1, , ( , )n ab? ? ? ? ? ,有 1 2 1( ) ( ) ( ) 0nf f f? ? ? ?? ? ?. 證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明 (1) 當(dāng) 1n? 時由引理 11 可知命題成立 。另 外 12X M M??表示 X 等于 1M 與 2M 的直和 [3] ,即 xX?? , 1yM?? 2, zM?? 使 x y z??. 本文還類似文獻(xiàn) [3,7]在內(nèi)積空間中引入了正交補(bǔ)概念 :設(shè) 1M , 2M 是內(nèi)積空間 X 的子空間 ,若 12(1)MM? , 12(2)X M M??,就稱 2M 是 1M 的正交補(bǔ)．在文獻(xiàn) [5]中討論了無限維歐式空間中子空間直交補(bǔ) (即為文獻(xiàn) [5]中的正交子空間 )與正交補(bǔ)等價的條件 ,并且發(fā)現(xiàn)直交補(bǔ)與正交補(bǔ)是否相同是由歐式空間的完備特性所決定的 。若內(nèi)積空間 X 是實的內(nèi)積空間時 ,? 是實數(shù)域 R 。 spanM 是閉包的線性包 。 1 , , ( 1 , 2 , , 。文獻(xiàn) [8]研究了模糊內(nèi)積空間中的投影定理 ,本文將探討一般內(nèi)積空間中投影定理成立的條件 ,并試圖減弱文獻(xiàn) [2]中的投影定理的條件 . 本文中 ,用 (, )xy 表示 x 與 y 的內(nèi)積 。 Supposes X is the infinite Uygurinner product space, M is X center infinite Uygur sub space, then MM??? not necessarily had been established. KeyWord: Inner product space。設(shè) X 是無限維內(nèi)積空間 ,M 是 X 中的無限維子空間 ,則 MM??? 不一定成立． 關(guān)鍵詞 ： 內(nèi)積空間；直交補(bǔ)；子空間；閉集 . Hilbert space neutron closed space with the plementary nature Huang xuemei (031114112,Department of Mathematics,Xiaogan University) Abstract: This article mainly discussed the inner product space X neutron spaceM to satisfy the condition which MM??? needed, and has proven below the main result: (1)supposes X is the inner product space, M is X center sub space, then MM??? when also only when has X sub spaceW , causes MW?? . (2)ifX is the inner product space, M is X center finiteDimensional the sub space, then MM??? establishment。 Closedset. 0 問題的提出 2 在文獻(xiàn) [1]中提出了如下問題：“ Let X be a space, M is a subset of X ,then ?M is a closed the ?M is closed,every vector z in X can be deposed into z x y?? ,where X is in ?M .If M is also a subspace， can
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