【正文】 )]()([ 1?? ii tXtXD })]()({[ 21??? ii tXtXE)]()()(2)([ 1212 ?? ??? iiii tXtXtXtXE)]([)]()([2)]([ 1212 ?? ??? iiii tXEtXtXEtXEit2?? 122 ?? it? 12 ?? it?ii tt ??1)( 12 ??? ii tt?首頁 4． 具有馬氏性 證 因此 所以 因 )( tX 是維納過程增量 )()( sXstX ?? 與時刻 s 以前的狀態(tài))( ?X ( s?? ?0 ) 獨立，xsXastXP ??? )(|)({ ， )( ?X ， s?? ?0 }xsXxasXstXP ?????? )(|)()({ ， )( ?X ，s?? ?0 }xsXxasXstXP ?????? )(|)()({ }xsXastXP ???? )(|)({ }所以維納過程是馬氏過程。)( tX 服從生起率為 6/115/110/1 ???? 的泊松過程。對 1?n 和 0121 ??nssst ， ?},|{ 112211 ?? ???? nnn sTsTsTtTP ?內(nèi)沒有事件發(fā)生在 ],({ 1111 tssssP nn ?????? ?? ??},| 112211 ?? ??? nn sTsTsT ?內(nèi)沒有事件發(fā)生在 ],({ 1111 tssssP nn ?????? ?? ??}0)()({ 1111 ???????? ?? nn sstssXP X ??}0)0()({ ??? XtXP tetXP ????? }0)({首頁 這就證明了到達時間間隔序列 是相互獨立同分布的隨機變量序列 ， 且都具有相同均值為 的指數(shù)分布 。 設隨機過程 { )( tX ， 0?t } 是一個計數(shù)過程，（ 1 ） 0)0( ?X（ 2 ） )( tX 是獨立增量過程首頁 則稱 注意 （ 3 ）對任一長度為 t 的區(qū)間中事件的個數(shù)服從均值為 t? （ 0?? ）的泊松分布，即對一切 0, ?ts ，有})()({ ksXstXP ??? tkekt ?? ?? !)(?,2,1,0?k)( tX 為具有參數(shù) ? 的泊松過程從條件（ 3）可知泊松過程有平穩(wěn)增量，且 ttXE ??)]([ 并稱 ? 為此過程的生起率或強度 （單位時間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個數(shù)） 首頁 說明 要確定計數(shù)過程是泊松過程，必須證明它滿足三個條件： 為此給出一個與泊松過程等價的定義 滿足 設隨機過程 { )( tX ， 0?t } 是一個計數(shù)過程，條件 （ 1 ）只是說明事件的計數(shù)是從時刻 0?t 開始條件 （ 2 ）通?？蓮膶^程的了解的情況去直接驗證然而全然不清楚如何去確定條件 （ 3 ）是否滿足參數(shù)為 ? （ 0?? ），首頁 則稱 )( tX 為具有參數(shù) ? 的泊松過程（ 3 ） )(}1)({ hhhXP ?? ???（ 4 ） )(}2)({ hhXP ???其中 )( h? 表示當 0?h 時對 h 的高階無窮小，（ 1 ） 0)0( ?X（ 2 ）過程有平穩(wěn)與獨立增量首頁 例 2 顧客到達某商店服從參數(shù) 4?? 人 /小時的泊松過程，已知商店上午 9： 00開門，試求到 9： 30時僅到一位顧客，而到 11： 30時總計已達 5位顧客的概率。解 ][)]([ tieEtZE ??? 0][ ?? ?? Ee ti),( 21 ttR ][ 21 titi eeE ?? ?? ??][ 2)( 21 ?? Ee tti ?? )( 21 ttie ?? ?][ 21 titi eeE ?? ?? ???返回 首頁 第四節(jié) 幾種重要的隨機過程簡介 一、獨立增量過程 1． 定義 隨機變量的增量 是相互獨立的 設 { )( tX , Tt ? } 是一隨機過程，若對任意正整數(shù) n 及 Ttt n ?,1 ?， ，nn tttt ???? ? 121 ?)()( 12 tXtX ? , )()( 23 tXtX ? ,? , )()( 1?? nn tXtX則稱 )( tX 為獨立增量的過程首頁 2． 齊次性 或稱時齊的 注 若對任意的 t ， Tt ?? ? ，增量 )()( tXtX ?? ? 的概率分布只依賴于 ? 而與 t 無關，則稱隨機過程 )( tX 為齊次的，若 )( tX 是齊次的，所以只要時間間隔 ? 相同那么增量服從的分布也相同，具有平穩(wěn)性增量所服從的分布與時間起點無關首頁 例 1 證 設 { )( nX ， ?,2,1,0?n } 是相互獨立的隨機變量序列，令 )()(0nXiYin???則 { )( iY ， ?,2,1,0?i } 是一個獨立增量過程。 設隨機過程 tUtX 2c o s)( ? ，其中 U 是隨機變量且 5)( ?UE ， 6)( ?UD（ 1） )(tm ]2c o s[)]([ tUEtXE ??][2c o s UtE? t2c o s5?（ 2） ),( 21 ttK )]()()(()([( 2211 tmtXtmtXE ???]2c o s)5(2c o s)5[( 21 tUtUE ????])5[(2c o s2c o s 221 ?? UEtt][2c o s2c o s 21 UDtt? 21 2c o s2c o s6 tt?（ 3） 令 ttt ?? 21得 ttXD 2c o s6)]([ 2?首頁 例 3 解 試求它們的互協(xié)方差函數(shù) 。 返回 首頁 第二節(jié) 隨機過程的分布及其數(shù)字特征 一、隨機過程的分布函數(shù) 一維分布函數(shù) 其分布函數(shù)為 設 { )( tX ， Tt ? } 是一個隨機過程，對于固定的 Tt ?1 ， )( 1tX 是一個隨機變量， })({)( 1111 xtXPxtF ??； ， Tt ?1稱 )( 11 xtF ； 為隨機過程 )( tX 的一維分布函數(shù)。首頁 （ 3）馬爾可夫過程 簡稱馬氏過程。 { 0121 或；，； ?? nn xnx ? }首頁 設 P { 1?nx } = p （第 n 次拋擲出現(xiàn)正面的概率） P { 0?nx } = q = 1 ? p （第 n 次拋擲出現(xiàn)反面的概率）其中 P { 1?nx } = p 與 n 無關，且 ix 、 kx ( ki ? 時 ) 是相互獨立的隨機變量。首頁 2．貝努利過程 設每隔單位時間擲一次硬幣，觀察它出現(xiàn)的結果。它雖然不能用一個確定的函數(shù)來描述，但也是有規(guī)律的。 例 2 研究某一商品的銷售量 一般情況下它是一個隨機變數(shù) X ，并且依賴時間 t，即隨機變數(shù) X（ t）， t=1， 2， … 首頁 例 3 國民收入問題 表示依賴于一個變動參量的一族隨機變量。 首頁 說明 2 因為 隨機過程 { )( tX ， Tt ? } 是一個二元函數(shù)對于每一個固定的時刻 Tt ?0 ，)( 0tX是一個隨機變量， 并稱作隨機過程 )( tX 在 0tt ? 時的一個狀態(tài)，它反映了 )( tX 的 “隨機”性；對于每一個 ??0? ，)( tX 是一個確定的樣本函數(shù)，它反映了 )( tX 的變化 “過程”。 每次拋擲的結果與先后各次拋擲的結果是相互獨立的，并且出現(xiàn) 1或 0的概率與拋擲的時間 n無關。 設 { )( tX ， Tt ? } 對任意 n 個不同的 1t ， 2t ，?， Tt n ? )( 1tX ， )( 2tX ，?， )( ntX 是相互獨立的則稱 )( tX 為具有獨立隨機變量的隨機過程，首頁 （ 2）獨立增量隨機過程 是相互獨立的， 設 { )( tX ， Tt ? } 對任意 n 個不同的 1t ， 2t ，?， Tt n ? 且 nn tttt ???? ? 121 ?)()( 12 tXtX ? ， )()( 23 tXtX ? ，?， )()( 1?? nn tXtX則稱 )( tX 為具有獨立增量的隨機過程。 當隨機過程在時刻 1?nt 的狀態(tài)已知的條件下，它在時刻 nt （ 1?? nn tt ）所處的狀態(tài)僅與時刻 1?nt 的狀態(tài)有關，而與過程在時刻 1?nt 以前的狀態(tài)無關首頁 （ 4）平穩(wěn)隨機過程 平穩(wěn)過程的統(tǒng)計特性與馬氏過程不同，它不隨時間的推移而變化，過程的“過去”可以對“未來”有不可忽視的影響。 分析 先求概率密度 首頁 所以 解 對每一個確定的時刻 t， )( tX 的概率密度為3tte)(tX3231P )(11xtF ； ))((11xtXP ?? ??????????????ttexexttx，13,323,011 首頁 二、隨機過程的數(shù)字特征 1．均值函數(shù) 或稱為數(shù)學期望 說明 設隨機過程 { )( tX ， Tt ? } ，則 )]([)( tXEtm ? ， Tt ? ，稱為隨機過程 )( tX 的均值函數(shù))( tm 是 )( tX 的所有樣本函數(shù)在時刻 t 的函數(shù)值的平均它表示隨機過程 )( tX 在時刻 t 的擺動中心首頁 2．方差函數(shù) 說明 隨機過程 { )( tX ， Tt ? } 的二階中心矩]))()([()]([)( 2tmtXEtXDtD ???稱為隨機過程 )( tX 的方差函數(shù))( tD 的平方根 ?)( t? )( tD均方差函數(shù) 它表示 )( tX 在各個時刻 t 對于 )( tm 的偏離程度首頁 3．協(xié)方差函數(shù) 二階中心混合矩 簡稱協(xié)方差函數(shù) 隨機過程 )( tX 在 Ttt ?21 , 的狀態(tài) )( 1tX 和 )( 2tX ),( 21 ttK ) ) ]()() ) (()([( 2211 tmtXtmtXE ???稱為隨機過程 )( tX 的自協(xié)方差函數(shù) 當 Tttt ??? 21 ，有注 ),()( ttKtD ? ]))()([( 2tmtXE ??首頁 4．互協(xié)方差函數(shù) 其中 設 )( tX 和 )( tY 是兩個隨機過程對任意 Ttt ?21 , ，則),( 21 ttK XY )]()()][()([ 2211 tmtYtmtXE YX ???稱為隨機過程 )( tX 與 )( tY 的互協(xié)方差函數(shù))]([)( 11 tXEtm X ?)]([)( 22 tYEtm Y ?首頁 5．相關函數(shù) 簡稱相關函數(shù) 注 對任意 Ttt ?21 ,)( 1tX 和 )( 2tX 的二階原點混合矩 ),( 21 ttR )]()([ 21 tXtXE?稱為隨機過程 )( tX 的自相關函數(shù)，當 0)( ?tm 時，有 ),( 21 ttR = ),( 21 ttK首頁 6．互相關函數(shù) 注 對任意 Ttt ?21 ,設 )( tX 和 )( tY 是兩個隨機過程 ),( 21 ttR XY )]()([ 21 tYtXE?稱為隨機過程 )( tX 與 )( tY 的互相關函數(shù) ),( 21 ttK XY = ),( 21 ttR XY )()( 21 tmtm YX?則 首頁 7．互不相關 注 對任意 Ttt ?21 ,設 )( tX 和 )( tY 是兩個隨機過程 ),( 21 ttK XY =0則稱隨機過程 )( tX 與 )( tY 互不相關有 若隨機過程 )( tX 與 )( tY 互不相關則 ),(21 ttR XY )()( 21 tmtm YX?即 )]([)]([)]()([2121 tYEtXEtYtXE ?若 首頁 例 2 解 求： （ 1） 均值函數(shù)； （ 2） 協(xié)方差函數(shù)； （ 3） 方差函數(shù) 。])()([E),( 22112121 tZtZttR ZZ ?首頁 自相關 關系 )()()( tiYtXtZ ?? 的自相關函數(shù)可有 )( tX 和 )( tY 的自相關函數(shù)和互相關函數(shù)表示即 ])()([E),( 2121 tZtZttR Z ?)],(),([),(),( 21212121 ttRttRittRttR XYYXYX ????類似地 ])()([E),( 22112121 tZtZttR ZZ ?),(),( 2121 2121 ttRttR YYXX ??)],(),([ 2121 2112 ttRttRi YXXY ??互相關 關系 首頁 例 1 已知復隨機過程