【正文】 方差函數(shù) 6． 互相關(guān)函數(shù) 設(shè) )(1 tZ ， )(2 tZ 是兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程對固定的 Ttt ?21 ,?),( 2121 ttK ZZ ]})()()][()({[ 22211121 tmtZtmtZE ZZ ??稱為 )(1 tZ 與 )(2 tZ 的互協(xié)方差函數(shù)。 設(shè)隨機(jī)過程 tUtX 2c o s)( ? ，其中 U 是隨機(jī)變量且 5)( ?UE ， 6)( ?UD（ 1） )(tm ]2c o s[)]([ tUEtXE ??][2c o s UtE? t2c o s5?（ 2） ),( 21 ttK )]()()(()([( 2211 tmtXtmtXE ???]2c o s)5(2c o s)5[( 21 tUtUE ????])5[(2c o s2c o s 221 ?? UEtt][2c o s2c o s 21 UDtt? 21 2c o s2c o s6 tt?（ 3） 令 ttt ?? 21得 ttXD 2c o s6)]([ 2?首頁 例 3 解 試求它們的互協(xié)方差函數(shù) 。 首頁 聯(lián)合分布函數(shù) n + m維隨機(jī)向量 分布函數(shù) 設(shè) )( tX 和 )( tY ， nttt , 21 ? ， Tttt m ???? , 21 ?{ )( 1tX , )( 2tX ,? , )( ntX ， )( 1tY ? , )( 2tY ? ,? , )( mtY ? }nXY ttF ,( 1 ? ； mtt ?? ,1 ? ； nxx ,1 ? ； myy ,1 ? ）；nn xtXxtXP ??? )(,)({ 11 ?mm ytYytY ???? ）（）（ ,11 ? }稱為隨機(jī)過程和的 n + m維聯(lián)合分布函數(shù) 首頁 相互獨(dú)立 n + m維隨機(jī)向量 分布函數(shù) 設(shè) )( tX 和 )( tY ， nttt , 21 ? ， Tttt m ???? , 21 ?nXY ttF ,( 1 ? ； mtt ?? ,1 ? ； nxx ,1 ? ； myy ,1 ? ）則稱隨機(jī)過程 相互獨(dú)立 ；nX ttF ,( 1 ?? nxx ,1 ? ） (YF mtt ?? ,1 ? ； myy ,1 ? ）)( tX 和 )( tY首頁 例 1 袋中放有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球，每隔單位時(shí)間從袋中任取一球，取后放回，對每一個(gè)確定的 t對應(yīng)隨機(jī)變量 ??????時(shí)取得白球如果時(shí)取得紅球如果tttettX,3)(試求這個(gè)隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)族。 返回 首頁 第二節(jié) 隨機(jī)過程的分布及其數(shù)字特征 一、隨機(jī)過程的分布函數(shù) 一維分布函數(shù) 其分布函數(shù)為 設(shè) { )( tX ， Tt ? } 是一個(gè)隨機(jī)過程，對于固定的 Tt ?1 ， )( 1tX 是一個(gè)隨機(jī)變量， })({)( 1111 xtXPxtF ??； ， Tt ?1稱 )( 11 xtF ； 為隨機(jī)過程 )( tX 的一維分布函數(shù)。 稱這個(gè)特性為馬爾可夫性，簡稱馬氏性。首頁 （ 3）馬爾可夫過程 簡稱馬氏過程。 注 如果固定觀測時(shí)刻 t，則它的試驗(yàn)結(jié)果是屬于兩個(gè)樣本點(diǎn)（ 0， 1）所組成的樣本空間 如果在二個(gè)不同時(shí)刻 1t ， 2t 觀測試驗(yàn)結(jié)果則樣本空間出現(xiàn)的值為（ 0,0） ,（ 0,1） ,（ 1,0） ,（ 1,1） 則 { 21 , xx } 是一個(gè)二維隨機(jī)變量首頁 三、隨機(jī)過程的分類 按參數(shù)集和狀態(tài)分類 參數(shù)集 T的是一個(gè)可列集 T={0， 1， 2， …} 離散參數(shù) 連續(xù)參數(shù) 參數(shù)分類 參數(shù)集 T的是一個(gè)不可列集 }0|{ ?? ttT狀態(tài)分類 離散狀態(tài) 連續(xù)狀態(tài) )(tX取值是離散的 取值是連續(xù)的 首頁 T離散、 I離散 T離散、 I非離散（連續(xù)） 參數(shù) T狀態(tài) I分類 概率結(jié)構(gòu)分類 2．按過程的概率結(jié)構(gòu)分類 T非離散（連續(xù)） 、 I離散 T非離散（連續(xù)） 、 I非離散（連續(xù)） 獨(dú)立隨機(jī)過程 獨(dú)立增量隨機(jī)過程 馬爾可夫過程 平穩(wěn)隨機(jī)過程 首頁 （ 1）獨(dú)立隨機(jī)過程 簡稱獨(dú)立隨機(jī)過程。 { 0121 或；，； ?? nn xnx ? }首頁 設(shè) P { 1?nx } = p （第 n 次拋擲出現(xiàn)正面的概率） P { 0?nx } = q = 1 ? p （第 n 次拋擲出現(xiàn)反面的概率）其中 P { 1?nx } = p 與 n 無關(guān)，且 ix 、 kx ( ki ? 時(shí) ) 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。一直拋擲下去，便可得到一無窮序列 因?yàn)槊看螔仈S的結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量（ 1或 0），所以無窮次拋擲的結(jié)果是一隨機(jī)變量的無窮序列，稱為隨機(jī)序列，也可稱為隨機(jī)過程。首頁 2．貝努利過程 設(shè)每隔單位時(shí)間擲一次硬幣，觀察它出現(xiàn)的結(jié)果。說明 1 參數(shù)集 T在實(shí)際問題中，常常指的是時(shí)間參數(shù)，但有時(shí)也用其它物理量作為參數(shù)集。它雖然不能用一個(gè)確定的函數(shù)來描述，但也是有規(guī)律的。 第二章 隨機(jī)過程的基本概念 第一節(jié) 隨機(jī)過程的定義及其分類 第二節(jié) 隨機(jī)過程的分布及其數(shù)字特征 第三節(jié) 復(fù)隨機(jī)過程 第四節(jié) 幾種重要的隨機(jī)過程簡介 第一節(jié) 隨機(jī)過程的定義及其分類 一、直觀背景及例 電話站在時(shí)刻 t時(shí)以前接到的呼叫次數(shù) 例 1 一般情況下它是一個(gè)隨機(jī)變數(shù) X ，并且依賴時(shí)間 t，即隨機(jī)變數(shù) X（ t）， t?[0， 24]。 例 2 研究某一商品的銷售量 一般情況下它是一個(gè)隨機(jī)變數(shù) X ，并且依賴時(shí)間 t，即隨機(jī)變數(shù) X（ t）， t=1， 2， … 首頁 例 3 國民收入問題 表示依賴于一個(gè)變動(dòng)參量的一族隨機(jī)變量。 隨著各種隨機(jī)因素的影響而隨機(jī)變化， 一般地有 其中 C（ t）、 I（ t）分別表示 t年的消費(fèi)和積累 隨機(jī)過程 )()()( tItCtY ??首頁 二、隨機(jī)過程的定義 1．隨機(jī) 過程 設(shè) E是隨機(jī)試驗(yàn)， ? ?{?}是它的的樣本空間， T是一個(gè)參數(shù)集，若對于每一個(gè) 都有隨機(jī)變量 ，與之對應(yīng)， 則稱依賴于 t的隨機(jī)變量 為隨機(jī)過程，或稱為隨機(jī)函數(shù)， 通常記作 Tt?),( ?tX),( ?tX{ )( tX ， Tt ? } 或 )( tX 。 首頁 說明 2 因?yàn)? 隨機(jī)過程 { )( tX ， Tt ? } 是一個(gè)二元函數(shù)對于每一個(gè)固定的時(shí)刻 Tt ?0 ，)( 0tX是一個(gè)隨機(jī)變量， 并稱作隨機(jī)過程 )( tX 在 0tt ? 時(shí)的一個(gè)狀態(tài)，它反映了 )( tX 的 “隨機(jī)”性；對于每一個(gè) ??0? ，)( tX 是一個(gè)確定的樣本函數(shù)，它反映了 )( tX 的變化 “過程”。如果出現(xiàn)正面，記其結(jié)果為 1；如果出現(xiàn)反面，記其結(jié)果為 0。 每次拋擲的結(jié)果與先后各次拋擲的結(jié)果是相互獨(dú)立的，并且出現(xiàn) 1或 0的概率與拋擲的時(shí)間 n無關(guān)。稱具有這種特性的隨機(jī)過程為 貝努利型隨機(jī)過程 。 設(shè) { )( tX ， Tt ? } 對任意 n 個(gè)不同的 1t ， 2t ，?， Tt n ? )( 1tX ， )( 2tX ，?， )( ntX 是相互獨(dú)立的則稱 )( tX 為具有獨(dú)立隨機(jī)變量的隨機(jī)過程，首頁 （ 2）獨(dú)立增量隨機(jī)過程 是相互獨(dú)立的， 設(shè) { )( tX ， Tt ? } 對任意 n 個(gè)不同的 1t ， 2t ，?， Tt n ? 且 nn tttt ???? ? 121 ?)()( 12 tXtX ? ， )()( 23 tXtX ? ，?， )()( 1?? nn tXtX則稱 )( tX 為具有獨(dú)立增量的隨機(jī)過程。 設(shè) { )( tX ， Tt ? } 對任意 n 個(gè)不同的 1t ， 2t ，?， Tt n ? 且 nn tttt ???? ? 121 ?|)(( nn xtXP ? 11 )( ?? ? nn xtX ，?， ))( 11 xtX ?= |)(( nn xtXP ? 11 )( ?? ? nn xtX ），則稱 )( tX 為馬爾可夫過程首頁 馬氏過程的特點(diǎn) 馬氏性實(shí)質(zhì)上是無后效性 ， 所以也稱馬氏過程為 無后效過程 。 當(dāng)隨機(jī)過程在時(shí)刻 1?nt 的狀態(tài)已知的條件下，它在時(shí)刻 nt （ 1?? nn tt ）所處的狀態(tài)僅與時(shí)刻 1?nt 的狀態(tài)有關(guān)，而與過程在時(shí)刻 1?nt 以前的狀態(tài)無關(guān)首頁 （ 4）平穩(wěn)隨機(jī)過程 平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特性與馬氏過程不同，它不隨時(shí)間的推移而變化，過程的“過去”可以對“未來”有不可忽視的影響。一維概率密度 若存在二元非負(fù)函數(shù) )( 11 xtf ； ，使11111 )()(1 dyytfxtF x ；； ????則稱 )( 11 xtf ； 為隨機(jī)過程 )( tX 的一維概率密度首頁 二維分布函數(shù) 聯(lián)合分布函數(shù) 二維概率密度 二維隨機(jī)向量 （ )( 1tX ， )( 2tX ） Ttt ?),( 21})(,)({),( 22112121 xtXxtXPxxttF ???； ，稱為隨機(jī)過程 )( tX 的二維分布函數(shù)若存在非負(fù)函數(shù) ),( 2121 xxttf ；),( 2121 xxttF ； = 212121 ),(1 2 dydyyyttfx x ；? ??? ??則稱 ),( 2121 xxttf ； 為 )( tX 的二維概率密度首頁 n 維分布函數(shù) 聯(lián)合分布函數(shù) n維概率密度 n 維隨機(jī)向量 （ )( 1tX ， )( 2tX ，?， )( ntX ）),( 2121 nn xxxtttF ?? ；})(,)(,)({ 2211 nn xtXxtXxtXP ???? ，?若存在非負(fù)函數(shù) ),( 2121 nn xxxtttf ?? ；),( 2121 nn xxxtttF ?? ；= nnnx x x dydydyyyytttfn ???? 212121 ),(1 2 ；? ? ??? ?? ??首頁 有限維分布族 一維，二維， … ， n維分布函數(shù)的全體： 易知 }1,),({ 212121 ?? nTtttxxxtttF nnn ??? ；它不僅刻劃了每一時(shí)刻 Tt ?1 隨機(jī)過程 )( tX 的狀態(tài))( 1tX 的分布規(guī)律，而且也刻劃了任意時(shí)刻Tttt n ?, 21 ? 隨機(jī)過程 )( tX 的狀態(tài))( 1tX ， )( 2tX ，?， )( ntX 之間的關(guān)系 因此 ， 一個(gè)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性可由其有限維分布函數(shù)族表達(dá)出來 。 分析 先求概率密度 首頁 所以 解 對每一個(gè)確定的時(shí)刻 t， )( tX 的概率密度為3tte)(tX3231P )(11xtF ； ))((11xtXP ?? ??????????????ttexexttx，13,323,011 首頁 二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征 1．均值函數(shù) 或稱為數(shù)學(xué)期望 說明 設(shè)隨機(jī)過程 { )( tX ， Tt ? } ，則 )]([)( tXEtm ? ， Tt ? ，稱為隨機(jī)過程 )( tX 的均值函數(shù))( tm 是 )( tX 的所有樣本函數(shù)在時(shí)刻 t 的函數(shù)值的平均它表示隨機(jī)過程 )( tX 在時(shí)刻 t 的擺動(dòng)中心首頁 2．方差函數(shù) 說明 隨機(jī)過程 { )( tX ， Tt ? } 的二階中心矩]))()([()]([)( 2tmtXEtXDtD ???稱為隨機(jī)過程 )( tX 的方差函數(shù))( tD 的平方根 ?)( t? )( tD均方差函數(shù) 它表示 )( tX 在各個(gè)時(shí)刻 t 對于 )( tm 的偏離程度首頁 3．協(xié)方差函數(shù) 二階中心混合矩 簡稱協(xié)方差函數(shù) 隨機(jī)過程 )( tX 在 Ttt ?21 , 的狀態(tài) )( 1tX 和 )( 2tX ),( 21 ttK ) ) ]()() ) (()([( 2211 tmtXtmtXE ???稱為隨機(jī)過程 )( tX 的自協(xié)方差函數(shù) 當(dāng) Tttt ??? 21 ，有注 ),()( ttKtD ? ]))()([( 2tmtXE ??首頁 4．互協(xié)方差函數(shù) 其中 設(shè) )( tX 和 )( tY 是兩個(gè)隨機(jī)過程對任意 Ttt ?21 , ，則),( 21 ttK XY )]()()][()([ 2211 tmtYtmtXE YX ???稱為隨機(jī)過程