高中新課程數(shù)學(xué)（新課標(biāo)人教b版）必修一《111 集合的概念》教案(文件)
【正文】 數(shù)集，用字母 N 來表示 .”學(xué)過集合那一章后，同學(xué)們應(yīng)該對這句話不會感到陌生 .但同學(xué)們在接受 這句話時根本無法想到當(dāng)年康托爾如此做時是在進行一項更新無窮觀念的工作 .在此以前數(shù)學(xué)家們只是把無限看作永遠(yuǎn)在延伸著的，一種變化著成長著的東西來解釋 .無限永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的，而不是實在 .這種關(guān)于無窮的觀念在數(shù)學(xué)上被稱為潛無限 .十八世紀(jì)數(shù)學(xué)王子高斯就持這種觀點 .用他的話說，就是“??我反對將無窮量作為一個實體，這在數(shù)學(xué)中是從來不允許的 .所謂無窮，只是一種說話的方式??”而當(dāng)康托爾把全體自然數(shù)看作一個集合時，他是把無限的整體作為了一個構(gòu)造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無窮，這種觀念在 數(shù)學(xué)上稱為實無限思想 .由于潛無限思想在微積分的基礎(chǔ)重建中已經(jīng)獲得了全面勝利，康托爾的實無限思想在當(dāng)時遭到一些數(shù) 學(xué)家的批評與攻擊是無足為怪的 .然而康托爾并未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續(xù)正面探討無窮 .他在實無限觀念基礎(chǔ)上進一步得出一系列結(jié)論，創(chuàng)立了令人振奮的、意義十分深遠(yuǎn)的理論 .這一理論使人們真正進入了一個難以捉摸的奇特的無限世界 . 最能顯示出他獨創(chuàng)性的是他對無窮集元素個數(shù)問題的研究 .他提出用一一對應(yīng)準(zhǔn)則來比較無窮集元素的個數(shù) .他把元素間能建立一一對應(yīng)的集合稱為個數(shù)相同，用他自己的概念是等勢 .由于一個 無窮集可以與它的真子集建立一一對應(yīng)――例如同學(xué)們很容易發(fā)現(xiàn)自然數(shù)集與正偶數(shù)集之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系――也就是說無窮集可以與它的真子集等勢，即具有相同的個數(shù) .這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾 .而康托爾認(rèn)為這恰恰是無窮集的特征 .在此意義上，自然數(shù)集與正偶數(shù)集具有了相同的個數(shù)，他將其稱為可數(shù)集 .又可容易地證明有理數(shù)集與自然數(shù)集等勢，因而有理數(shù)集也是可數(shù)集 .后來當(dāng)他又證明了代數(shù)數(shù) [注 ]集合也是可數(shù)集時，一個很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數(shù)集 .但出乎意料的是，他在 1873 年證明了實數(shù)集的勢大于自然數(shù)集 .這不但意味著無理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有理數(shù)，而且顯然龐大的代數(shù)數(shù)與超越數(shù)相比而言也只成了滄海一粟，如同有人描述的那樣：“點綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成 .”而當(dāng)他得出這一結(jié)論時，
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