蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1第二章《圓錐曲線與方程》章末總結(jié)(文件)
【正文】 例 6 已知 F F2為橢圓 x2＋ y22＝ 1的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)， AB是過(guò)焦點(diǎn) F1的一條動(dòng)弦，求 △ABF 2面積的最大值． 章末總結(jié) 重點(diǎn)解讀 例 1 解 如圖所示，設(shè)雙曲線方程為 x2a2－y2b2＝ 1 (a0， b0)． ∵ e＝ ca＝ 2， ∴ c＝ 2a. 由雙曲線的定義， 得 |PF1－ PF2|＝ 2a＝ c， 在 △ PF1F2中，由余弦定理，得： F1F22＝ PF21＋ PF22－ 2PF1178。 PF2cos 60176。 PF2.① 又 S△ PF1F2＝ 12 3， ∴ 12PF1178。 y22＝ 4x1178。 x2＋ y1178。1 時(shí)，易求得直線 AB 的方程為 x＝ 4p. 故此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (4p,0)，也在 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x≠0) 上． ∴ 點(diǎn) M的軌跡方程為 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x≠0) ， ∴ 其軌跡是以 (2p,0)為圓心，半徑為 2p的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)． 例 4 證明 設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)， 聯(lián)立????? y＝ kx＋ m，x24＋y23＝ 1， 得 (3＋ 4k2)x2＋ 8mkx＋ 4(m2－ 3)＝ 0， 則????? Δ ＝ 64m2k2－ ＋ 4k2 m2－ ，x1＋ x2＝－ 8mk3＋ 4k2，x1x2＝ m2－3＋ 4k2 . 即????? 3＋ 4k2－ m20，x1＋ x2＝－ 8mk3＋ 4k2，x1x2＝ m2－3＋ 4k2 . 又 y1y2＝ (kx1＋ m)(kx2＋ m) ＝ k2x1x2＋ mk(x1＋ x2)＋ m2 ＝ m2－ 4k23＋ 4k2 . ∵ 橢圓的右頂點(diǎn)為 A2(2,0)， AA2⊥ BA2， ∴ (x1－ 2)(x2－ 2)＋ y1y2＝ 0. ∴ y1y2＋ x1x2－ 2(x1＋ x2)＋ 4＝ 0. ∴ m2－ 4k23＋ 4k2 ＋m2－3＋ 4k2 ＋16mk3＋ 4k2＋ 4＝ 0. ∴ 7m2＋ 16km＋ 4k2＝ 0， 解得 m1＝－ 2k， m2＝－ 2k7 ，且均滿足 3＋ 4k2－ m20. 當(dāng) m1＝－ 2k時(shí)， l的方程為 y＝ k(x－ 2)， 直線過(guò)定點(diǎn) (2,0)，與已知矛盾． 當(dāng) m2＝－ 2k7 時(shí)， l的方程為 y＝ k??? ???x－ 27 ，直線過(guò)定點(diǎn) ??? ???27， 0 ， ∴ 直線 l過(guò)定點(diǎn)． 例 5 解 因?yàn)?A(4,0)是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè) A′ 為橢圓的左 焦點(diǎn)，則 A′( － 4,0)，由橢圓定義知 MA＋ MA′ ＝ 10. 如圖所示，則 MA＋ MB＝ MA＋ MA′ ＋ MB－ MA′ ＝ 10＋ MB－ MA′≤10 ＋ A′ B. 當(dāng)點(diǎn) M在 BA′ 的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào)． 所以當(dāng) M為射線 BA′ 與橢圓的交點(diǎn)時(shí)， (MA＋ MB)max＝ 10＋ A′ B＝ 10＋ 2 10. 又如圖所示， MA＋ MB＝ MA＋ MA′ － MA′ ＋ MB ＝ 10－ (MA′ － MB) ≥10 － A′ B， 當(dāng) M在 A′ B的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào)． 所以當(dāng) M為射線 A′ B與橢圓的交點(diǎn)時(shí)， (MA＋ MB)min＝ 10－ A′ B＝ 10－ 2 10. 例 6 解 由題意， F1F2＝ 2. 設(shè)直線 AB方程為 y＝ kx＋ 1， 代入橢圓方程 2x2＋ y2＝ 2， 得 (k2＋ 2)x2＋ 2kx－ 1＝ 0， 則 xA＋ xB＝－ 2kk2＋ 2， xA178。 1k2＋ 1＋ 1k2＋ 1≤2 2179。 ＝ (PF1－ PF2)2＋ 2PF1178。 PF2sin 60176。 x2＝ 16， 而 y1178。 y2＝ 4－ 4＝ 0. ∴ OM→ ⊥ ON→ ，即 OM⊥ ON. 例 3 解 設(shè)直線 OA 的方程為 y＝ kx (k≠177。 xB＝－ 1k2＋ 2， ∴ |xA－ xB|＝ k2＋k2＋ 2 . S△ ABF2＝ 12F1F2
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