【正文】 晉中學院數(shù)學學院 2021屆本科生畢業(yè)論文 (設計 ) 參考文獻 [1] 王光明，曾崢．數(shù)學教與學基本理論及其發(fā)展［ M］ .北京：中國工人出版社， 2021. [2] 任樟輝．數(shù)學思維論［ M］ .桂林：廣西教育出版社， 2021. [3] 張奠 宙，唐瑞芬，劉鴻坤．數(shù)學教育學［ M］ .鄭州：鄭州大學出版社， 2021. [4] 陳英和．認知發(fā)展心理學［ M］ .杭州：浙江人民出版社， 1996. [5] 沈文選．中學數(shù)學思想方法［ M］ .長沙：湖南師范大學出版社， 1999. [6] 吳立崗．教學的原理、模式和活動［ M］ .南寧：廣西教育出版社， 1998. [7] 曹才翰，章建躍．數(shù)學教育心理學 [J]．北京師范大學出版社， 2021（ 02） . [8] 曲一線． 5 年中考真題祥解（數(shù)學） [M]．首都師范大學出版社， 2021（ 07） . [9] 孫朝仁．初中數(shù)學思想方 法教學的基本途徑《中學數(shù)學教學參考》． 1998年第 11期 . [10] 王光明，張文貴．中學數(shù)學思想方法及其教學《數(shù)學教學研究》． 2021年第 1期 . [11] 錢佩玲，邵光華．《數(shù)學思想方法與中學數(shù)學》，北京師范大學出版社． 1999. 畢業(yè)論文撰寫規(guī)范 一、論文文本構(gòu)成 畢業(yè)論文文本構(gòu)成包括前置部分、正文部分、附錄部分。具體而言 ，數(shù)學概念形成一般要經(jīng)歷“具體 抽象 具體”的過程，即先給出問題、給出基本事實、實際背景，引導學生從問題出發(fā)，分析、抽象、概括出數(shù)學概念，為了進一步理解概念的內(nèi)涵和明確概念的外延，要舉出概念的肯定例證和否定例證 .這個過程是從 特殊到一般，再由一般到特殊，因此是一個先歸納再演繹的 晉中學院數(shù)學學院 2021屆本科生畢業(yè)論文 (設計 ) 推理過程 .教師要抓住教學時機，介紹歸納、演繹推理方法，特別是歸納法 .另外我們有時要借助符號、圖形、圖像的直觀形象性，幫助學生形成概念，這一過程也是對數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透 .以概念同化方式學習數(shù)學概念，往往伴隨著某些數(shù)學思想方法的運用，如由等差數(shù)列的定義類比出等比數(shù)列的定義 。而且上一節(jié)課中涉及到的數(shù)學思想方法下一節(jié)課不一定有，這樣就不可能使?jié)B透過程深入和系統(tǒng)化，不便于學生形成完整的認知結(jié)構(gòu)，所以隨 著知識的深化和系統(tǒng)化，要適時地把體現(xiàn)數(shù)學思想方法的分散問題集中起來，同時加以歸納系統(tǒng)化。遵循滲透性教學原則需做到以下兩點 :(1)挖掘滲透內(nèi)容．雖然數(shù)學思想方法納入數(shù)學基礎知識范疇，但數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的精髓，它內(nèi)隱于數(shù)學知識之中，需要從數(shù)學知識中挖掘、提煉．教師需認真鉆研教材，才能正確地挖掘出課本知識中所蘊含的數(shù)學思想方法．在上課時就可以有目的地向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法，使學生受到數(shù)學思想方法的熏陶． (2)把握滲透的方法．由于學生數(shù)學 思想方法的形成和發(fā)展比數(shù)學知識的增長和積累更需要時間，因此，在教學中，有機地結(jié)合數(shù)學表層知識的傳授，恰當?shù)貪B透其中的數(shù)學思想方法，讓學生在“數(shù)學知識的再發(fā)現(xiàn)”過程中享受“創(chuàng)造”或“發(fā)現(xiàn)”的愉悅，孕育數(shù)學發(fā)現(xiàn)的精神品質(zhì)，這才是成功的滲透方法． 數(shù)學思想和方法的滲透必須結(jié)合兩個實際，即教材實際和學生實際，不同的教材內(nèi)容有不同的要求，不同的學生也有不同的要求，要講究層次，不能超越，要反復多次，小步地漸進。因此，遵循數(shù) 學思想方法教學的目標性原則，首先要明晰教材中所有數(shù)學思想方法，然后結(jié)合具體的數(shù)學教學內(nèi)容特點，確定每節(jié)教材思想方法的目標內(nèi)容，將思想方法教學目標具體化。這里運用一元一次方程或二元一次方程解決都可以，以二元一次方程為例．可設這個長者的年齡是 x歲，少年的年齡為 y 歲，根據(jù)題目中的兩句話可得兩個方程，從而可求出各自的的年齡． 晉中學院數(shù)學學院 2021屆本科生畢業(yè)論文 (設計 ) 解 設長者的年齡為 x ，少年的年齡為 y ． 由題可知： ? ???? ??? ??? 660yxy xyx, 解之得 ?????2442yx. 答：長者的年齡為 42歲，少年的年齡為 24歲． 例 2 2021年杭州市生產(chǎn)運營用水和居民家庭用水的總和為 ，其中居民家庭用水比生產(chǎn)運營用水的 3倍還多 ，問生產(chǎn)運營用水和家庭用水各多少立方米？ 分析 這是一道簡便通俗的題目．本題中所涉及的是等量關系，可以運用函數(shù)方程的知識來解答．本題旨在培養(yǎng)思維定性，培養(yǎng)函數(shù)方程相結(jié)合的思想． 解 設生產(chǎn)運營用水 x 億立方米，則居民家庭用水 )( x? 億立方米． 由題可得： ??? xx , 解之得： ?x , ?? （億立方米 ). 答：生產(chǎn)經(jīng)營用水為 ，而居民家庭用水為 . 在解題中， 要 善于發(fā)掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出 函數(shù)的思想，從而列出方程 解析式，是應用函數(shù)思想的關鍵 .另外 ， 不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關的函數(shù) 方程 問題，即用函數(shù) 方程的 思想解答非函數(shù) 方程 問題 . 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法 數(shù)是數(shù)字、方程、函數(shù)、代數(shù)式和不等式，而形是圖形、圖表以及圖象．數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖象結(jié)合起來，其關鍵是代數(shù)與圖形間的轉(zhuǎn)化．它可以把代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化以形助數(shù)，以數(shù)助形． 例 3 求關于 x 的方程 21862 ??? xx 的實數(shù)解的個數(shù)． 分析 要把方程解出來比較麻煩，因此我們要想辦法把它轉(zhuǎn)化成求兩個函數(shù)圖像的交點．可以令 )4)(2(86)( 2 ?????? xxxxxf ， 21)( ?xg ．然后將兩圖像畫在同一 晉中學院數(shù)學學院 2021屆本科生畢業(yè)論文 (設計 ) 坐標系中，然后看兩圖像的交點個數(shù)即可． 解 令 86)( 2 ??? xxxf ，21)( ?xg． 在同一坐標系中畫出 )(xf 與 )(xg 的圖像，如下圖 ，由圖可知，原方程的實數(shù)解的個數(shù)為 3 個． 圖 例 4 當 m 為何值時，方程 mxx ??? 542 無解？有兩個實數(shù)解？有三個實數(shù)解？有四個實數(shù)解？ 分析 設 5421 ??? xxy ， my ?2 ，則該方程解的個數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題來處理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． 解 設 5421 ??? xxy ，則??? ??? ???? )0(54 )0(54221 xxx xxxy． my?2 ． 在同一坐標系中，作出兩函數(shù)的圖像，如下圖 所示，由圖可以看出： y 21)( ?xg 86)( 2 ??? xxxf 5 1 my ?2 my ?2 5421 ??? xxy y x O 2 1 5 4 2 3 1 O x 晉中學院數(shù)學學院 2021屆本科生畢業(yè)論文 (設計 ) 圖 當 1?m 時，兩函數(shù)圖像無交點，故原方程無解 ． 當 1?m 或 5?m 時，兩函數(shù)圖像有兩個交點，故原方程有兩個解． 當 5?m 時，兩函數(shù)圖像有三個交點，故原方程有三個解． 當 51 ??m 時，兩函數(shù)圖像有四個交點，故原方程有四個解． 由例題可見，數(shù)缺形時少 直觀，形缺數(shù)時難入微．數(shù)形結(jié)合的思想方法確切地反應了客觀事物深層次的內(nèi)在聯(lián)系與矛盾統(tǒng)一的辯證規(guī)律． 分類討論的數(shù)學思想方法 在解答一些數(shù)學問題時，有時會遇到很多情況，需要對多種情況分類求解，將問題分為幾種情況，使條件具體化，難點分散，然后再對每種情況分類討論，最后各個擊破，在進行歸納總結(jié)，使原問題獲得解答，這就是分類討論的數(shù)學思想方法．實質(zhì)上，它是＂化整為零，各個擊破，在積零為整＂的數(shù)學策略，有關分類討論的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性和搜索性，能訓練人的思維條理和概括能力． 例 5 已知 關于 x 的方程 01)2(2)1( 2 ????? xaxa 有實根，求 a 的取值范圍． 分析 題中并沒有指明關于 x 的方程式一元一次方程還是二次方程，所以應對 a進行討論． 解 當 012 ??a 時，原方程為一元一次方程，要使原方程有實根，則 02??a ．即??? ?? ?? 02 012aa 解之得： 1??a ． 當 012 ??a 時，原方程為一元二次方程，要使原方程有實根，則 0?? ． 即??? ?? ?? 0012a 解之得： 45??a 且 1??a ． 綜合得： a 的取 值范圍為 45??a ． 例 6 已知集合 ? ?RxxaxxA ?????? ,01)2(2 ，若 ??RA? Ф，求實數(shù) a 的取值范圍． 分析 要求 a 的取值范圍，就需含有 a 的不等式，由 ??RA? Ф 知，方程 晉中學院數(shù)學學院 2021屆本科生畢業(yè)論文 (設計 ) xax )2(2 ?? 01?? 沒有正根，即方程可能無實數(shù)根，也可能僅有非正實跟，所以要對a 進行討論． 解 若 ?A Ф，即方程 01)2(2 ???? xax 無實數(shù)根，則 04)2( 2 ????? a ，解之得： 04 ??? a ． 若 ?A Ф，即方程 01)2(2 ???? xax 只有非正實數(shù)根，則 ??? ??? ????? 0)2( 04)2( 2aa ，解之得： 0?a ． 綜上可得， a 的取值范圍是 4??a ． 在進行分類討論時，對所給的研究對象進行正確的分類是關鍵 ．分類標準要統(tǒng)一，做到不重不漏，逐步進行討論，獲取間斷性成果，最后歸納小結(jié)出結(jié)果． 整體的數(shù)學思想方法 一個數(shù)學問題經(jīng)過整體思維方法的處理，會變成另一個比原問題簡單、容易的數(shù)學問題．在運用整體思想方法時，要對問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)以及問題的條件和在其中的地位和作用進行調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)化，已得到易于處理的新問題．一般，整體思想方法有以下幾種應用： ：把一些組合式子視為一個“整體”，并把它直接帶入另一式，避免局部運算的麻煩和困難． 例 7 若 a 是 0132 ??? xx 的根，試求 1 825222345 ? ??? a aaaa 的值． 分析 此題可以解出方程的根得出 a 的值，但會有帶根式的值，帶入后面要求解的式子會含有根式的高次方，比較麻煩．可以由題知 0132 ??? aa ，即 132 ?? aa ，aa 312 ?? .將兩式分別帶入即可求得結(jié)果． 解 由題知： 0132 ??? aa ，即 132 ?? aa ， aa 312 ?? ． 1 825222345 ? ??? a aaaa a aaaaa 3 8)13(2 2423 ????? aaa 3 )8( 22 ?? 晉中學院數(shù)學學院 2021屆本科生畢業(yè)論文 (設計 ) 3 )813( ??? aa )3( ?? aa 1?? 整體帶入思想處理問題 ,即對原問題的尾部進行＂積零為整＂的處理，使其形式和方法上得到簡化． ：把所求式的值或某些量的組合確定為一個＂字母＂后，問題轉(zhuǎn)化為對這個＂字母＂的研究． 例 8 一個六位數(shù)，若將它的末位數(shù)字移到首位，所得的新數(shù)是原數(shù)的五倍．求這個六位數(shù)． 分析 要按常規(guī)解答，會難于下手．認真觀察題，可知它的末尾數(shù)字移動了，其他數(shù)字的順序沒發(fā)生變化，所以可把末位數(shù)字單列，其它的視為整體，即可求解． 解 設前五位數(shù)為 x ，末位的數(shù)為 y ． xyyx ??? 510)10(5 xy 49)510( 5 ?? yx 714285? 由于 14285 不能被 7 整除，所以 y 必是 7 的倍數(shù)， y 是個位數(shù)，所以 y 是 7, 則 x 是 14285. 所以這個六位數(shù)為 142857. ：對有的數(shù)學問題，根據(jù)式子本身的特點，相應地配出與之相對稱的式子，以便解題簡便 ． 例 9 求 ???? ?? 50c o s20s i n2 5 0c o s2 2 0s i n 22 的值． 分析 要求式子的值，如果挨個計算，會比較復雜．仔細看題目，我們會聯(lián)想到1cossin 22 ?? xx 的公式，所以我們在配一個式子就會容易求解． 解 令 ???? ??? 50c o s20s i n250c o s220s i n 22x ， ???? ??? 50s i n20c o s250s i n220c o s 22y ,則