【正文】 2x? 的獨(dú)立同分布的高斯隨機(jī)變量 ； R 為參數(shù) 2mn? 、 二階矩 22 xm??? ? 的 Nakagami— m 隨機(jī)變量。 我們 將服從 Beta 分布的隨機(jī)變量 與相應(yīng)的形狀參 量表示為： ija 和 ,igm 的 值 可以 從下面的迭代公式得到： ,1 1gmm? ? ?11 1,iia C i???? ? ? 11 , j ik jkij i jk gkaaa C i jm????????? ????? 1, 1ig i i ikkm m a????? 其中， ? ?,C i j? 是 C? 的第 ? ?,ij 個(gè)條目。 因此，高斯變量平方和可以近似為伽馬變量，而 Nakagarni 變量則可 由 相應(yīng)的 Gamma 變量開方后直接獲得。 為了敘述方便，定義如下矩陣 ： () 其中，下標(biāo) s (samples)代表信道序列的樣本數(shù)， c (channels)代表互相關(guān)信道的總數(shù)。產(chǎn)生步驟如下 ： 綜合之前的理論分析，將生成 Na}Cagami 信道的實(shí)現(xiàn)步驟歸納如下 ： 輸入 ： ① lakagarni信道的互相關(guān)矩陣 ； ② Nakagami 信道的衰落系數(shù) m。 通過輸入 Nakagami 協(xié)方差求高斯矩陣協(xié)方差 由給定的 Nakagami 協(xié)方差矩陣 zR 求解高斯矩陣協(xié)方差 xR 可以分為兩步進(jìn)行 ：首先求解 Gamma 矩陣的協(xié)方差 yR ，然后計(jì)算 xR ： 1) 由 zR 求解 yR 由 于直接求解 Gamma 矩陣 y 的協(xié)方差矩陣比較困難，因此先求解方差和互相關(guān)矩陣。 由于 Nakagami 向量與 Gamma 向量存在一一對應(yīng)關(guān)系，因此可以直接根據(jù) Z? ? ? ?,i s c s cxy????scz?? ? ? ? ? ?z y xR R R x y z? ? ? ? ?? ? ? ?12, j , ,y y yiji i i j jR v R R? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ?,ijX ? ?jX? ?jX的方差推導(dǎo)出相應(yīng)的 Y 的方差，得到 ： () 又： () 式中， ,kkzy分別表示矩陣 z 和 y 的第 k 個(gè)列向量 ； m 代表信道的衰落系數(shù) ； ? 代表 z 的平均功率 ； ??? 代表 Gamma 函數(shù) ： () 因此，可以利用式 ()直接推導(dǎo)出相應(yīng)的 Gamma 矩陣的方差。 , 122nnn nni j c o r r z i z j m n F m v i j?? ????? ? ? ?????????? ?? ? ? ?222,2baab ba a b a????????????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ?210, 。因此，可以降低系數(shù)通過 Nakagami 隨機(jī)變量的一階相關(guān)系數(shù) ? ?1 ,ij? 得出相應(yīng)的Gamma 變量相關(guān)系數(shù) ? ?,vij ，也就是要求解如下方程： （ ） 由于式 ()引入了超函數(shù) ，因此無法獲得 ? ?,vi j 的顯式解。 出于 ? 與 v 相差較小，選用 ? 作為迭代的初始值 ，即： () 采用上述迭代方法求解互相關(guān)矩陣一般在幾步內(nèi)即可收斂解出 Gamma 系數(shù) v。 。 1 。 綜合以上的推導(dǎo)，根據(jù)式 ()和式 () xR 可表示為 ： () 其中， ? ? , y klkl RA m?????? ? ? ?1 ,rrr nX X X??? ??2 21miiyx???? ? ? ? ? ?2 121d e t 2myxiS I S R? ?????? ? 22224y x xR m A m R m R? ? ?? ?1212xyRRm?? ? ? ? ? ? ? ?? ? 1 2, v a r v a r ,xR k z k z v k? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? 122121112mm m m?????????????() 由式 ()可以看出，由 z 的協(xié)方差矩陣可以直接求出 xR 。本文中僅考慮前一種情況，因?yàn)樵诜旨邮盏那闆r下，向量 x 的長度不會(huì)特別長。因此，可以將整數(shù)部分和小數(shù)部 分分開處理，用 ? ?2pm? 表示 2m的整數(shù)部分，可得 ： () ?xR LL?? ?0,ie N I 1, 2 , ,iL?iix Le? 1, 2 , ,iL?2 21miiyx???2211pipiy x x?? ????? 其中， ,??為待定的系數(shù)。 在求解 ,??時(shí)，可用如下方法 ： 對上式 符號兩邊同時(shí)求一二階矩，可得 () () 解方程可得 ： () 顯然， ? 有兩個(gè)取值，此處建議選擇較接近 1 的值，因?yàn)楫?dāng) m為整數(shù)時(shí)，這樣的取值方法能使式 (3. 34)等號兩端的概率分布相同。 圖 52 Brute force 法仿真結(jié)果 1 0. 7 0. 30. 7 1 0. 40. 3 0. 4 1x????????1 0. 68 82 0. 28 650. 68 82 1 0. 38 310. 28 65 0. 38 31 1?????? 分解合成法 仿真以及結(jié)果分析 下面通過示例來說明如何使用上述算法產(chǎn)生 Nakagami信道，同時(shí)根據(jù)上一 章所述步驟給出各個(gè)步驟的仿真結(jié)果。這個(gè)互相關(guān)矩陣在 [1]中提到，并證明與 實(shí)測數(shù)據(jù)非常吻合。 2) 仿真實(shí)驗(yàn) ： m= Gamma 矩陣的互相關(guān)系數(shù)矩陣為 ： 為了驗(yàn)證信道的精確性，我們估算了仿真信道的協(xié)方差矩陣，其值為 ： 2 . 1 81 0 . 8 0 7 8 0 . 6 1 9 7 0 . 3 8 7 40 . 8 0 7 8 1 0 . 8 0 7 8 0 . 6 1 9 70 . 6 1 9 7 0 . 8 0 7 8 1 0 . 8 0 7 80 . 3 8 7 4 0 . 8 0 7 8 1mv ????????2 . 1 82 . 1 3 0 8 1 . 4 5 9 9 1 . 6 0 3 7 0 . 9 0 7 21 . 4 5 9 9 1 . 5 6 8 1 1 . 8 1 0 6 1 . 2 5 8 6?1 . 6 0 3 7 1 . 8 1 0 6 3 . 2 7 6 9 2 . 3 9 5 10 . 9 0 7 2 1 . 2 5 8 6 2 . 3 9 5 1 2 . 7 4 2 6mRz ????????圖 53 分解合成法仿真以及結(jié)果分析 6 總結(jié) 很明顯， Brute force 仿真法 要求 n 必須為整數(shù)，所以 m 被限制為 的整數(shù)倍，m越大，所需要的獨(dú)立同分 布高斯隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)也就越多。主要介紹信道分解合成方法的基本原理、具體步驟以及公式的推導(dǎo)過程，并且給出部分仿真結(jié)果 (衰落系數(shù) m 分別為整數(shù)和非整數(shù) )，通過比較仿真結(jié)果得出方法可靠性結(jié)論 ： 該方法能 有效 、 可靠地產(chǎn)生任意階、任意相關(guān)系數(shù)的相關(guān) Nakagami 衰落信道。EGG R F. Simulation of the time and frequency selective outdoor mobile radio channel[J].IEEE Trans Veh Technol, 1993, 42(3):338344. [5] (美 )多曼， (加 )格拉耶布 著，艾渤 等譯 . MIMO 通信系統(tǒng)編碼 [M]. 電子工業(yè)出版社 , [6] 段紅光，畢敏，羅一靜 . TDSCDMA 第三代移動(dòng)通信系統(tǒng)協(xié)議體系與信令流程 [M]. 人民郵電出版社 , [7]肖明波，楊光松，許芳，等 .通信系統(tǒng)仿真原理與無線應(yīng)用 [M].北京 :機(jī)械工業(yè)出版社 ,20xx. [8] Q. T. Zhang, ―A deposition technique for efficient generation of correlated Nakagami fading channels,‖ IEEE J. Select. Areas Commun., , pp. 2385–2392, Nov. 20xx. [9] 王君 ,朱世華 ,王磊 . 多輸入多輸出系統(tǒng)信道容量研究 [J]. 電子與信息學(xué)報(bào) , 20xx,(04) [10] 張麗果 ,陳建安 . 多輸入多輸出 (MIMO)系統(tǒng)信道容量技術(shù) [J]. 無線通信技術(shù) , 20xx,(01) [11] C. H. Sim, ―Generation of Poisson and Gamma random vectors with given marginal and covariance matrix,‖ J. Stat. Computat. Simulat., , no. 1–2, pp. 1–10, 1993. [12] Codara L of antennas in ,CRC Press,20xx. 。 而如果要得到 m為 的正整數(shù)倍的 Nakagami序列且希望算法簡單的話，建議采用 Brute force 仿真法。 分解合成法 研究一種能產(chǎn)生具有互相關(guān)特性 Nakagami信道的分解合成方法。 相應(yīng)的 Nakagami信道概率密度的理論值與仿真結(jié)果在圖 53 中給出。因此，在仿真的過程中將分別對衰落系數(shù)為整數(shù)和非整數(shù)的情況進(jìn)行分析，衰落系數(shù)分別為 ： m=2和 m=2. 18。從圖中可以觀察到理論值與仿真結(jié)果具有很好的匹配性。 利用式 (4 .16)以及參考資料中的結(jié)論，得到 ： () () 式中， ? ?2 m? 表示 2? 分布。然后利用均值為零、協(xié)方差矩陣為單位陣的獨(dú)立同分布的高斯 矩陣： () 生成相應(yīng)的高斯矩陣 ： () 如前式 ()，在 2m為整數(shù)的情況下，相應(yīng)的 Gamma 矩陣可以分解為 ： () 而對于 2m不為整數(shù)的情況，則不能簡單表示成以上這種形式。 首先由協(xié)方差矩陣 xR 產(chǎn)生隨機(jī)向量 ix 。 值得注意的是，此處關(guān)于向量 y 的分解僅僅是一種假設(shè)，目的是為了推導(dǎo)