【正文】 dbAca?????????， | | 1A ad bc? ? ?， , {0,1, 2... 1}x y N??， N為數(shù)字圖像矩陣的維數(shù)， a,b,c,d均為正整數(shù)， A稱為數(shù)字圖像的加密矩陣，a,b,c,d稱為加密因子。 (m o d )39。 表 N下 Amold變換的周期 Arnold變換的周期估值定理：對于給定的正整數(shù) N， Arnold變換的周期為 T，當(dāng) N2時(shí)，周期 T滿足： 22NT? 該定理在理論上得到了周期上界的估值，雖然不是人們所期望的解析表達(dá)式，但它較為簡潔，從數(shù)學(xué)角度來講，它是令人接受的。即：保持圖像面積的不變性。 定理 ：變換具有周期性的充分必要條件是 ||A 與 N互素。 1 1 139。這些方法可以用于數(shù)字圖像信息隱藏的預(yù)處理， 并可以擴(kuò)展到彩色圖像空間中對彩色圖像對行加密。 2． 5基于仿射變換的置亂變換 仿射變換是幾何中的一種常見變換，它可以分解成：運(yùn)動(dòng)變換、斜對稱變換、相似變換、壓縮（拉伸）變換、正交變換、剪移等變換的組合，其矩陣形式： 39。1 0 0 1 1x a b e xy c d f y? ? ? ?? ?? ? ? ?? ??? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?其中 , , {1,2... }x N? ； , , , , ,a b c d e f 為整數(shù)。我們可以從仿射變換的特點(diǎn)出發(fā)，從而可求得滿足要求的一系列解。下面是三種變換： 和 Arnold變換相類似，這是一種二維可逆保面積 映射加了一定的限制條件，這種變換具有拉伸和折疊的性質(zhì)，經(jīng)變換后原來相鄰的兩點(diǎn) (, )ij 和 (, 1)ij? 經(jīng)幾次迭代后就不再相鄰，這樣副圖像經(jīng)迭代若干次后就變得不可辨認(rèn)，從而達(dá)到加密的效果。 性質(zhì) ：仿射變換的逆一定存在，且仍是仿射變換。 定義 ：對數(shù)字圖像 { ( , )}NNA a i j ?? ,我們說仿射變換 39。式 (3)的反變換為： 其中 , {1, 2,... }x y N? 。從數(shù)據(jù)加密的角度看，仿射變換優(yōu)于 Arnold變換等幾何變換。 （ 3） Is Image Encrypted：若選中該選項(xiàng)，則加載的是已經(jīng)加密后的圖像，此時(shí)，子塊解密和整體解密全部被激活，但是要求用戶輸入源圖像的加密信息， 比如子塊的加密次數(shù)和整體的加密次數(shù)。 （ 7） SubDecrypt 按鈕：該按鈕實(shí)現(xiàn)子塊解密功能，若加載的圖像為源圖像，系統(tǒng)將會(huì)基于 Arnold 置亂的數(shù)字圖像加密算法的研究與實(shí)現(xiàn) 15 自動(dòng)生成個(gè)子塊的加密信息，其加密次數(shù)范圍為 0~100,并且不能等于子塊圖像的周期和 0。 （ 2） 之后對整幅圖像按照給定加密次數(shù)進(jìn)行加密 （ 3） 保存圖像并顯示整體加密后的直方圖 （ 4） 由于系統(tǒng)將會(huì)自動(dòng)產(chǎn)生個(gè)子塊的加密次數(shù)，因此接 下來點(diǎn)擊子塊加密按鈕進(jìn)行子塊加密。 （ 8） 保存圖像并對比整體加密后的圖像和直方圖。 解密過程及相關(guān)數(shù)據(jù) 圖 18 分塊解密后的圖像 圖 19 分塊加密后的圖像直方圖 基于 Arnold 置亂的數(shù)字圖像加密算法的研究與實(shí)現(xiàn) 19 圖 20 整體解密后的圖像 圖 21 整體解密后的圖像直方圖 由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，無論是彩色圖像或者是灰度圖像，加密后再還原的圖像與原來的圖像時(shí)一摸一樣的，這個(gè)可以通過比較直方圖來支持此觀點(diǎn)。對本論文（設(shè)計(jì)）的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中作了明確說明并表示謝意。保密的論文（設(shè)計(jì)）在解密后適用本規(guī)定。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書寫，不準(zhǔn)用徒手畫 3）畢業(yè)論文須用 A4 單面打印，論文 50 頁以上的雙面打印 4）圖表應(yīng)繪制于無格子的頁面上 5）軟件工程類課題應(yīng)有程序清單，并提供電子文檔 1）設(shè)計(jì)（論文） 2）附件：按照任務(wù)書、開題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）次序裝訂 3） 其它 。 ：任務(wù)書、開題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）。有權(quán)將論文（設(shè)計(jì)）用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計(jì)）進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱。 基于 Arnold 置亂的數(shù)字圖像加密算法的研究與實(shí)現(xiàn) 20 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）原創(chuàng)性聲明 本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。 彩色圖像實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下： 加密過程及相關(guān)數(shù)據(jù) 基于 Arnold 置亂的數(shù)字圖像加密算法的研究與實(shí)現(xiàn) 16 圖 2 源圖像 圖 3 源圖像像直方圖 圖 4 整體加密 10 次后的圖像 圖 5 整體加密 10 次后的圖像直方圖 圖 6 分塊加密后的圖像 圖 7 分塊加密后的直方圖 其中，子塊加密數(shù)據(jù)分別為 44 93 46 41。 （ 6） 關(guān)閉程序，重新加載子塊加密后的圖像，注意，在加載圖像之前，請選中 Is Image Encrypted 選項(xiàng)，表示您將要解密圖像。 （ 10） Save Image 和 Display Hist 按鈕：分別實(shí)現(xiàn)保存圖像和顯示當(dāng)前圖像的直方圖功能。 （ 5） SubEncrypt 按鈕 : 子塊加密按鈕，其實(shí)現(xiàn)對各劃分的子塊單獨(dú)加密，其加密信息可以單獨(dú)指定。 基于 Arnold 置亂的數(shù)字圖像加密算法的研究與實(shí)現(xiàn) 14 三 、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析 系統(tǒng)界面及功能介紹 系統(tǒng)主界面如下圖，是在 Matlab 環(huán)境下開發(fā)的一款簡易圖像加解密軟件界面。 仿射變換避免了取模運(yùn)算，從而運(yùn)算速度較快 ，它的逆交換也具有簡潔的解析表達(dá)式，使得解密過程無須進(jìn)行周期次數(shù)的迭代。x a b x ey c d y f? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?,關(guān)于 A的周期為 T，T是使圖像 A經(jīng)一系列 變換后回復(fù)到 A的最小次數(shù)。在經(jīng)過一定的迭代置亂變換后，可將圖像的各種灰度值均勻的分布到圖像區(qū)域中，從而能較好的隱藏原圖像的信息。根據(jù)仿射變換的定義，容易得到下面的性質(zhì)： 性質(zhì) ：仿射變換的積仍是仿射變換。 定理 ： 上式是仿射變換的必要條件是： adbc=? 1. 證明：根據(jù)仿射變換的定義，變換前后的圖像面積保持不變，即圖像所在區(qū)域的幾何面積不變，因此 adbc=? 1。 雖然對于平面仿射變換由三對對應(yīng)點(diǎn)代入后就可完全確定，但由于目的是要用它作圖像的置亂。x a b x ey c d y f? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 或 39。但存在的問題是，由于 Arnold變換還不是完善的密鑰加密體制，如果非法破譯者不在乎恢復(fù)運(yùn)算可能要花費(fèi)的時(shí)間，那么他就有可能恢復(fù)出原圖像。 1 2 3xxy y Nzz? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 其中 , , {0 ,1, 2 ... 1}x y z N?? 這樣我們就可以進(jìn)一步的推廣到 N維的情 況： 定義 ：對于給定的正整數(shù) N，下列變換稱為 N維 Arnold變換： 其中 12, ... { 0 ,1, 2... 1}x x N?? 稱 A為 n維 Arnold矩陣。 為了研究彩色圖像的傳輸和隱藏，也為了研究其它一些三維數(shù)據(jù)的傳輸和圖像信息的隱藏，有必要把平面上的 Arnold變換推廣到三維或更高維的情況。 3．變換具有周期性或可逆，以保證加密后可以解密。這樣就很容易通過編程求出變換的周期。 文獻(xiàn)對變換周期性都做了深入的研究，但仍然沒有找到周期的解析表達(dá)式，只能借助計(jì)算機(jī)編程來找到周期的結(jié)果，如 表 。只要用逆映射迭 代相應(yīng)的次數(shù)也能解密得到原來的圖像。 其逆變換為 ： 1 39。由于這是一種雙射而且圖像是一個(gè)有 限點(diǎn)集，所以反復(fù)變換必然能夠恢復(fù)到原來的位置，即變換具有周期性，從而對加密圖像只需繼續(xù)變換相應(yīng)的次數(shù)就能對圖像解密。 Arnold變換是在 Arnold遍歷理論中提出的一種變換，俗稱錨鏈變換，原意為 cat mapping。xxANyy? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?， 其中 abAcd???????， | | 1A ad bc? ? ?，, {0,1, 2... 1}x y N??， N為數(shù)字圖像矩陣的維數(shù)， a,b,c,d均