【正文】 ......................... 2 Benjamin Ono 方程的求解及對解的變換和分析 .................. 10 Benjamin Ono 方程的一般解 ............................. 10 Benjamin Ono 方程的精確解 ............................ 11 第三章 結(jié)論 ........................................................ 16 參考文獻(xiàn) ........................................................... 17 致謝 ............................................................... 19 1 第一章 引言 隨著計(jì)算機(jī)代數(shù)理論的發(fā)展 ,許多復(fù)雜的代數(shù)計(jì)算可通過計(jì)算機(jī)來完成， 非線性數(shù)學(xué)物理方程精確解的構(gòu)造 成為了科學(xué)家的主要研究對象 .由于對非線性微分方程沒有統(tǒng)一的求解方法 ,因此近年來一些特殊的方法相繼被提出 .利用計(jì)算機(jī)代數(shù)理論開發(fā)的符號計(jì)算軟件如 Mathematica 和 Maple 等被廣泛應(yīng)用 , 在非線性發(fā)展方程方面， 為了求其精確解，研究人員 對力學(xué)及物理學(xué)中的一些重要方程進(jìn)行了系統(tǒng)深入的研究 . 在文獻(xiàn) [1]中，戴世強(qiáng)研究了具有自由面的 上部為 淺層的大深度分層流體中的代數(shù)孤立波，考察其垂向結(jié)構(gòu)所對應(yīng)的本征值問題，給出了二維 Benjamin Ono 方程的一個(gè)解析解，并根據(jù)色散關(guān)系作了物理解釋 . 在文獻(xiàn) [2]中， 張領(lǐng)海 用 LeraySchauder不動點(diǎn)定理與積分先驗(yàn)估計(jì) ,研究一類帶奇異積分微分項(xiàng)的 Benjamin Ono 方程 的Cauchy 問題 ,證明了該問題整體弱解的 存在性 . 在文獻(xiàn) [3]中， 韓效宵 ,郝海龍 通過引入新的函數(shù)空間和采用一些特殊的技巧，對高階 Benjamin Ono 方程 在 ??x 時(shí)解的漸近行為做了比較深入細(xì)致的研究 . 在文獻(xiàn) [4]中 ， 張鴻慶 ,張玉鋒 利用屠格式求出了Benjamin 方程 的 Bcklund 變換、精確孤波解、非線性疊加公式及其無窮守恒律 .在文獻(xiàn) [5]中， jianpingWeng 研究了下列 (1+1)維 Benjamin Ono 方程 .0)( 2 ??? xxxxxxtt uuu ?? (11) 并 使用其次平衡思想 [6]和規(guī)則地混合指數(shù)函數(shù) [7]構(gòu)建試探解，從而獲得方程 (11)的一些解析解 .本文將 F展開法 [810]和 EXP函數(shù)方法 [1113]相結(jié)合 (簡稱 FEXP方法 [14])，再次研究方程 (11)，獲得了許多的新的精確解 . 第二章 Benjamin Ono 方程的精確解 2 第二章 Benjamin Ono 方程 的精確解 FEXP 函數(shù)法的基本思想 FEXP 方法是 F展開法與 EXP函數(shù)方法的有機(jī)結(jié)合 .即 :對于給定的一個(gè)非線性偏微分方程 0),( ??ttxxxttx uuuuuup , (21) 其中 P 為 u 及 u 的各階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)多項(xiàng)式 . (1) 令 btaxutxu ??? ?? ),(),( , (22) 其中 ba, 為待定常數(shù) ,利用 (22)式，可將 (21)式化為 )(?u 的常微分方程： ( , , , , ) 0p u u u u? ?? ??? ?, (23) 其中 ,...., uuu ?????? 分別表示 u 對 x 求一階、二階、三 階 …… 導(dǎo)數(shù) . (2)設(shè) 0( ) ( )n iiiu A F????? , (24) 其中 01, , , nA A A 為待定常數(shù)， n 是非負(fù)整數(shù)， n 可由 (23)式中具有支配地位的非線性項(xiàng)與最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)之間通過齊次平衡法來確定 ,且 0, ( )nAF?? 滿足 下列廣義 Riccati 程 : 442202 FhFhhF ???? , (25) 其中 024,h h h 為待定常數(shù) .將 (24)式代人 (23)式并利用 (25)式，可將 (23)的左邊化為關(guān)于 ()F? 的多項(xiàng)式 .令 ()F? 的各次冪的系數(shù)為零，得到關(guān)于 01, , , nA A A ， ba, , 024,h h h 的代數(shù)方程組，解此代數(shù)方程組，并將結(jié)果代人 (24)式 ,就得到方程 (11)用 ()F? 表示的行波解的一般形式 . (3)利用 EXP函數(shù)方法求出方程 (25)的指數(shù)函數(shù)解，代人第 (2)步中所得到的一 般解中，從而得到方程 (11)的指數(shù)函數(shù)解或孤立波解 . 廣義 Riccati 方程的精確解 根據(jù) Exp 方法，可設(shè)方程 (25)的解為： 3 ,)()2(2)(10)(1)2(2)4(4)2(2)(10)(1)2(2)3(3)4(4????????????????????????? ??????? ebebbebebeb eaeaaeaeaeaeaF (26) 其中 ,iiab為待定常數(shù) .將 (26)式帶入 (25)式，有 ,01 )(168 ????jjecB (27) 其中jjj bebB ,)( 4)(42????為常數(shù) )4,2,1,0,1,2( ???j .令 (27)式中 je? 的系數(shù)為零，有 ??? ???????????? .0,...0,0,0,0,...0,0,0832125321 cccc cccc (28) 解關(guān)于 ,i j ka b h 的代數(shù)方程組 (28), 得到如下六十一組參數(shù)值，相應(yīng)就得到方程 (25)的 七十八個(gè)解，表一如下： 表一 (廣義 Riccati 方程精確解 ) 序號 參數(shù)值 廣義 Riccati 方程的解 1 ,0043210 ?????? baaaaa,212 ??h ,0421 ??? bbb ,4 22220 ??? bah ,4 22224 ??? abh .2 121 ? ??? ?? bbaa ).2t a n h ().0(,)( )(221121222)(122)(121??????????????????????????baFFbbbabebb bebaF成為時(shí)，當(dāng) 2 ,0104321 ?????? bbaaaa ,12?h ,041242 ????? ?? habbb .4 0 2102 abha ?? ?? ).s in h (022100100)(102???hFFbhaebaaebhF???????? ????成為時(shí)，當(dāng) 3 ,0243210 ?????? ?aaaaaa ,12?h ,010421 ????? ?bhbbb .422140 ???? bahb .)c os h (2.444133421)2(222142)(13???haFFhbaebahbeaF???????????????????成為時(shí)，當(dāng) 第二章 Benjamin Ono 方程的精確解 4 4 0 1 2 3 4 1 2112 4 2 4 0 020 , 1 ,0 , .a a a a a b habb b b h h ba = = = = = = == = = = = = ).0(, 121 )(24 ?? ??? ?? babeaF ? 5 ,043210 ????? aaaaa ,20200 bah ? ,01421 ???? ?bbbb ,2 202042 abhh ??? .0 202 bbaa ?? ?? ).t a n h ().0(,)( )(20552000)2(200)2(2005??????????????????baFFbbbaebbb ebbaF成為時(shí)，當(dāng) 6 .4,4.21,4,0,4,0020202121202202042200212020212422020014321bababababhhbababaabbbahbaaaa????????????????????? ).2t a n h ()2().0(,)2)(( )2)((0066001010000)(1010000)(101006???baFFbbbaababaeabbab baeabbaaF????????? ???????????成為時(shí)，當(dāng) 7 .4,0,1,0,0,012001422214214320abhahhabbbbbaaaa?????????????????? ).s in h (,07700101)(200)(217???hFFbhaba ebheaF????????為成時(shí)當(dāng) 8 .4,1,0,0,02011020112011042421432baahhbbaabbaahbbbbaaa??????????????????? .)( )(100 )2(110)(1110)(18 ? ??? ?? ????? ? ???? ebbb ebabeababeaF 9 .4,0,02210104421021432?????????????????hb baahhbbbbaaaaa ).0(,)( )( 20)(212)(2)(109 ?? ?? ????? ?? baebbb ebebaF ??? 5 10 .,1,0,0021101102404214322bbaabbaahhhbbbaaaa???????????????? ).0(,)( )( 01)2(2)(100)(210)(110 ??? ??? ??????? baebebbb ebbbeaF ???? 11 .4,1,0,0