第1章-11-131推出與充分條件、必要條件(文件)
【正文】 【自主解答】 ∵ x2＞ 1 ， ∴ x ＜－ 1 或 x ＞ 1. 又 ∵ “ x2＞ 1 ” 是 “ x ＜ a ” 的必要不充分條件． ∴ x ＜ a ? x2＞ 1 但 x2＞ 1 ? / x ＜ a . 如圖示： ∴ a ≤ － 1 ， ∴ a 的最大值為－ 1. 1 ． 若條件是結(jié)論的充分條件，即由條件推出結(jié)論來；若條件是結(jié)論的必要條件，即由結(jié)論推出條件來，由此建立起邏輯關(guān)系解決問題． 2 ．本類題目常與集合知識聯(lián)系，解題時要把滿足條件的對象所構(gòu)成的集合與滿足結(jié)論的對象所構(gòu)成的集合建立起 包含關(guān)系，并借助數(shù)軸的直觀性來處理，但要特別注意端點值的取舍． 本例中的 “ x ＜ a ” 改為 “ x ＞ a ” ，其他條件不變，則 a 的最小值為多少？ 【解】 ∵ x2＞ 1 ， ∴ x ＜－ 1 或 x ＞ 1 ， ∵ “ x2＞ 1 ” 是 “ x ＞ a ” 的必要不充分條件， ∴ x ＞ a ? x2＞ 1 ，但 x2＞ 1 ? / x ＞ a . 如圖示： ∴ a ≥ 1 ， ∴ a 的最小值為 1. 充要條件的證明 已知數(shù)列 { a n } 的前 n 項和 S n ＝ p n ＋ q ( p ≠ 0 且 p ≠ 1) ． 求證： { a n } 為等比數(shù)列的充要條件是 q ＝－ 1. 【思路探究】 分清條件 p 與結(jié)論 q → 證充分性 p ? q→ 證必要性 q ? p → 結(jié)論 p ? q 【自主解答】 充分性：當(dāng) q ＝－ 1 時， Sn＝ pn－ 1 ， 當(dāng) n ≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn － 1＝ pn － 1( p － 1) ， 當(dāng) n ＝ 1 時，也成立， ∴ 數(shù)列 { an} 的通項公式為 an＝ pn － 1( p － 1) ． 又 ∵ p ≠ 0 且 p ≠ 1 ， ∴an ＋ 1an＝pn? p － 1 ?pn － 1? p － 1 ?＝ p ， ∴ 數(shù)列 { an} 為等比數(shù)列． 必要性：當(dāng) n ＝ 1 時， a1＝ S1＝ p ＋ q ， 當(dāng) n ≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn － 1＝ pn － 1( p － 1) ． ∵ p ≠ 0 且 p ≠ 1 ， ∴an ＋ 1an＝pn? p － 1 ?pn － 1? p － 1 ?＝ p . 又 ∵ { an} 為等比數(shù)列， ∴a2a1＝an ＋ 1an＝ p ， ∴p ? p － 1 ?p ＋ q＝ p ， ∴ q ＝－ 1. 綜上可知， { an} 是等比 數(shù)列的充要條件是 q ＝－ 1. 1 ． 在本題中，充分性是指由 q ＝－ 1 推出 { an} 為等比數(shù)列，必要性是指由 { an} 為等比數(shù)列推出 q ＝－ 1. 2 ． 有關(guān)充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，誰是誰的什么條件，由 “ 條件 ? 結(jié)論 ” 是證明命題的充分性，由 “ 結(jié)論 ? 條件 ” 是證明命題的必要性．證明要分兩個環(huán)節(jié)：一是證充分性；二是證必要性． 已知 ab ≠ 0 ，求證： a ＋ b ＝ 1 的充要條件是 a 3 ＋ b 3 ＋ ab － a 2 － b 2＝ 0. 【證明】 必要性： ∵ a ＋ b ＝ 1 ， ∴ a ＋ b － 1 ＝ 0 ， ∴ a3＋ b3＋ ab － a2－ b2 ＝ ( a ＋ b )( a2－ ab ＋ b2) － ( a2－ ab ＋ b2) ＝ ( a ＋ b － 1) ( a2－ ab ＋ b2) ＝ 0. 充分性 ： ∵ a3＋
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