20xx高中數(shù)學(xué)北師大版必修5第2章1《正弦定理與余弦定理》（第1課時(shí) 正弦定理）ppt同步課件(文件)
【正文】 定理把邊化為角 ， 再利用三角公式求解 ． 利用正弦定理判斷三角形形狀 [ 解析 ] 由已知得a2sin Bcos B＝b2sin Acos A. 由正弦定理得 a ＝ 2 R sin A ， b ＝ 2 R sin B ( R 為 △ ABC 的外接圓半徑 ) ，則4 R2si n2A s in Bcos B＝4 R2sin2B s in Acos A， 即 sin A cos A ＝ sin B cos B . ∴ sin2 A ＝ sin2 B . ∴ 2 ∠ A ＝ 2 ∠ B 或 2 ∠ A ＝ π － 2 ∠ B ， 即 ∠ A ＝ ∠ B 或 ∠ A ＋ ∠ B ＝π2. ∴△ ABC 為等腰三角形或直角三角形． [方法總結(jié) ] 利用正弦定理判斷三角形形狀的方法： (1)化邊為角 ． 將題目中的所有條件 ， 利用正弦定理化邊為角 ， 再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得到三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系 ， 進(jìn)而確定三角形的形狀 ． (2)化角為邊 ． 根據(jù)題目中的所有條件 ， 利用正弦定理化角為邊 ， 再利用代數(shù)恒等變換得到邊的關(guān)系 (如 a＝ b， a2＋ b2＝c2)， 進(jìn)而確定三角形的形狀 ． 注意： (1) 判斷出一個(gè)三角形是等腰三角形后，還要進(jìn)一步討論它是否可能是等邊三角形或等腰直角三角形，不要匆忙下結(jié)論； (2) 在 △ ABC 中，若 sin2 A ＝ sin2 B ，不一定只有 A ＝ B ，因?yàn)?sin2 A ＝ s in2 B ? 2 A ＝ 2 B ，或 2 A ＝ π － 2 B ? A ＝ B 或 A ＋ B ＝π2. 在 △ ABC 中， a cos( π2 － A ) ＝ b cos( π2 － B ) ，判斷 △ ABC 的形狀． [ 解析 ] 解法一： ∵ a cos(π2－ A ) ＝ b cos(π2－ B ) ， ∴ a sin A ＝ b sin B . 由正弦定理，得 a a2 R＝ b b2 R， ∴ a2＝ b2， ∴ a ＝ b ， 故 △ ABC 是等腰三角形． 解 法二： ∵ a cos(π2－ A ) ＝ b cos(π2－ B ) ， ∴ a sin A ＝ b sin B . 由正弦定理，得 2 R sin2A ＝ 2 R sin2B ，即 sin A ＝ sin B ， ∴ A ＝ B ( A ＋ B ＝ π 不合題意，舍去 ) ， 故 △ ABC 是等腰三角形 . 正弦定理的綜合應(yīng)用 在 △ ABC 中， a ， b ， c 分別是角 A ， B ， C 所對(duì)的邊，已知 cos B ＝a2 c， (1) 判斷 △ A BC 的形狀； (2) 若 sin B ＝33， b ＝ 3 ，求 △ ABC 的面積． [ 分析 ] (1) 要判斷 △ ABC 的形狀，由于已知條件中出現(xiàn)邊、角關(guān)系，因此考慮利用正弦定理將邊化為角； (2) 由 (1) 可求 c ，由 S △ ABC ＝12bc sin A ，故只需求出 sin A 即可． [ 解析 ] (1) ∵ cos B ＝a2 c，asin A＝csin C， ∴ cos B ＝sin A2sin C， ∴ sin A ＝ 2c os B sin C . 又 ∵ sin A ＝ sin [π － ( B ＋ C )] ＝ sin( B ＋ C ) ＝ sin B c os C ＋cos B sin C ， ∴ sin B cos C ＋ cos B sin C ＝ 2cos B sin C . ∴ sin B cos C － cos B sin C ＝ sin( B － C ) ＝ 0. ∴ 在 △ ABC 中， B ＝ C ， ∴△ AB C 為等腰三角形． (2) ∵ C ＝ B ， ∴ 0 B π2， c ＝ b ＝ 3. ∵ sin B ＝33， ∴ cos B ＝63. ∴ sin A ＝ s in [π － ( B ＋ C )] ＝ s in( B ＋ C ) ＝ sin2 B ＝ 2sin B cos B ＝2 23， ∴ S △ABC＝12bc sin A ＝12 3 3 2 23＝ 3 2 . [方法總結(jié) ] 利用正弦定理可以解決兩類解三角形問題：一類是已知兩角和任一邊 ， 求其他兩邊和一角；另一類是已知兩邊和其中一邊
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