【正文】 ?????????????????109762053813646454251311111YX???????????????????????????????????????????????????????????????410976204/102/382/3110/45810/4510/2671097620129812581551525155)(?11YXXX?39 故回歸方程為： 32?XXY ??? 222?YnYYYnXYR?????? ? ? 41097620??????????????? ?XY? ? 1085381353813 ???????????????????YY40 805 53813522 ??????? ??????Yn ??? ??R )35()(41)1()1)(1(1 22 ????????????knRnR41 例 2. 設(shè) n = 20, k = 3, R2 = 求 。 2R)420( )(191)1( )1)(1(122 ????????????knRnR2R2 10 2 ?? R2R242 第四節(jié) 非線性關(guān)系的處理 迄今為止 ， 我們已解決了線性模型的估計(jì)問題 。 下面我們通過一些例子來討論這個問題 。 ......22110 ???? XXY ???44 二 ． 線性化方法 對于線性回歸分析 ， 只有第二種類型的線性才是重要的 ， 因?yàn)樽兞康姆蔷€性可通過適當(dāng)?shù)闹匦露x來解決 。 可是 ， 如果模型的右端由一系列的 Xβ 或 eβ X項(xiàng)相乘 ， 并且擾動項(xiàng)也是乘積形式的 ， 則該模型可通過兩邊取對數(shù)線性化 。 需求的價(jià)格彈性：價(jià)格變化 1%， 收入不變時(shí) ， 所引起的商品需求量變動的百分比 。 )()()( 2 ???? RPXY48 例 2． 柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) 生產(chǎn)函數(shù)是一個生產(chǎn)過程中的投入及其產(chǎn)出之間的一種關(guān)系 。 21 ?,? ?? 21???)?log ( ???ba21 ?? ?? 和a?b?51 例 4． 上例在確定貨幣需求量的關(guān)系式時(shí) ， 我們實(shí)際上給模型加進(jìn)了一個結(jié)束條件 。 仍采用對數(shù)變換 ， 得到 log(Mt) = loga + blog(rt c) + ut t=1,2,… ,n 我們無法將 log(rtc)定義為一個可觀測的變量 X, 因?yàn)檫@里有一個未知量 c。 此模型無法用取對數(shù)的方法線性化 ， 只能用非線性回歸技術(shù)進(jìn)行估計(jì) ， 如非線性最小二乘法 （ NLS） 。 3．計(jì)算各期殘差，然后計(jì)算殘差平方和 ∑e2。 原假設(shè)： H0： β j=0 備擇假設(shè)： H1： β j≠0 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是自由度為 nK1 的 t 統(tǒng)計(jì)量： ～ t(nK1) )?(?)?(?jjjj????VarSet ??55 單個系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是自由度為 nK1 的 t 統(tǒng)計(jì)量： ～ t(nK1) 其中 ， 為矩陣 主對角線上第 j+1個元素 。 (2)檢驗(yàn) ?的顯著性 原假設(shè)： H0： ? = 0 備擇假設(shè)： H1： ? ≠0 由回歸結(jié)果，我們有： t＝ ∵ t＝ ? tc ＝ ， 故拒絕 原假設(shè) H0 。 不失一般性 ，可設(shè)原假設(shè)和備擇假設(shè)為： H0: β 1 =β 2 = … =β g =0 H1: H0不成立 (即 X1, … Xg中某些變量對 Y有 影響 ) 59 分析： 這實(shí)際上相當(dāng)于檢驗(yàn) g個約束條件 β 1= 0， β 2 = 0， … ， β g = 0 是否同時(shí)成立 。 ? ? 2k110 β?...β?β?? ????? Kttt XXYS61 所使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是： ～ F(g, nK1) 其中 ， g為分子自由度 ， nK1為分母自由度 。 注意到 g=K， 則該檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為： ? ?? 2)( YYS R ?????????????? 22t)(eYYYu t 時(shí)，模型為 ?? ? ?)1()()1()(222??????????? ?KneKeYYKnSKSSF R65 分子分母均除以 ， 有 從上式不難看出 ， 全部斜率為 0的檢驗(yàn)實(shí)際是檢驗(yàn) R2的值是否顯著異于 0， 如果接受原假設(shè) ， 則表明因變量的行為完全歸因于隨機(jī)變化 。 1,11,324342???????????????????????????????67 例： CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù) Y=AKα Lβ ν 試根據(jù)美國制造業(yè) 18991922年數(shù)據(jù)檢驗(yàn)規(guī)模效益不變的約束： α +β =1 解： （ 1） 全回歸 （ 2） 有約束回歸： 將 約束條件代入， 要回歸的模型變?yōu)椋? Y=AKα L1α ν 為避免回歸系數(shù)的不一致問題， 兩邊除以 L，模型變換為： Y/L=A(K/L)α ν 252)()()(: 2??????FSeRLKY68 回歸 ， 得： 由軟件包可得到約束回歸和全回歸的殘差平方和分別為 SR= S= （ 3） 檢驗(yàn) 原假設(shè) H0:α +β ＝ 1 備擇假設(shè) H1:α +β ≠ 1 本例中 ， g=1, K=2, n=24 ,)()(:)/log ()/log (2 ????FRSeLKLY? ? ? ? )1( ???????KnSgSSF R69 用自由度 （ 1， 21） 查 F表 ， 5%顯著性水平下 ， Fc= ∵ F= Fc= 故接受原假設(shè) H0:α +β ＝ 1 （ 4） 結(jié)論 我們的數(shù)據(jù)支持規(guī)模收益不變的假設(shè) 。 點(diǎn)預(yù)測值由與給定的諸 X值對應(yīng)的回歸值給出 ， 即 而預(yù)測期的實(shí)際 Y值由下式給出： 其中 u0是從預(yù)測期的擾動項(xiàng)分布中所取的值 。 解： 由例 ： 因此 的 95%置信區(qū)間為： 或 . 14)10()10( ????Y101014/102/382/3110/45810/4510/267)10101()( 1 ???????????????????????????? ? CXXC ?? ?XY 108???YY 1?1?22 ???????????????knXYYYkne t ?? ??0Y 75 第七節(jié) 虛擬變量（ Dummy variables） 一 ． 虛擬變量的概念 在回歸分析中 ， 常常碰到這樣一種情況 ， 即因變量的波動不僅依賴于那種能夠很容易按某種尺度定量化的變量 （ 如收入 、 產(chǎn)出 、 價(jià)格 、 身高 、 體重等 ） ， 而且依賴于某些定性的變量 （ 如性別 、 地區(qū) 、 季節(jié) ） 。 這種變量在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為 “ 虛擬變量 ” 。 例 2：你在研究某省家庭收入和支出的關(guān)系 ， 采集的樣本中 既包括農(nóng)村家庭 ， 又包括城鎮(zhèn)家庭 ， 你打算研究二者 的差別 。 另一種方法是用全部觀測值作單一回歸 ， 將定性因素的影響用虛擬變量引入模型 。 估計(jì)結(jié)果如下圖所示： 應(yīng)用 t檢驗(yàn) ， β 2是否顯著 可以表明截距項(xiàng)在兩個時(shí) 期是否有變化 。 例：設(shè) Y=購買汽車的實(shí)際支出額 X=實(shí)際總消費(fèi)支出 用美國 1973（ 1） 1980(2)的季度數(shù)據(jù) （ 按 1975年價(jià)格計(jì)算 ） ， 得回歸結(jié)果如下： )()(:)( 2????tRXY82 這一結(jié)果很不理想 ， 低 R2值 ， 低 t值 ， X的符號也不對 。 所得到的實(shí)際總支出的參數(shù)估計(jì)值 （ ） 是一個不受季節(jié)變動影響的估計(jì)值 。 ?β?j?? 85 二 、 擬合優(yōu)度 多元線性回歸模型的決定系數(shù)為： R2 = 由于當(dāng)模型增加解釋變量后 ， 殘差平方和的值會減小 ， 為了使擬合優(yōu)度的測度反映這一特點(diǎn) ， 可采用經(jīng)過自由度調(diào)整的決定系數(shù) ， 即修正決定系數(shù) ： 222239。 存在參數(shù)非線性的模型 ， 則僅有一部分可通過代數(shù)變換（ 主要是取對數(shù) ） 的方法將模型線性化 。 檢驗(yàn)單個系數(shù) βj是否為 0的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 ～ t(nk1） 其中 Var（ ） 為矩陣 主對角線上第 j+1個元素 ， 而 n和 k分別是觀測值數(shù)目和解釋變量的個數(shù) 。 g為原假設(shè)中約束條件個數(shù) ， （ 對于涉及幾個參數(shù)的顯著性檢驗(yàn) ， g為原假設(shè)中為 0參數(shù)的個數(shù) ） 。 他收集了 Y和 5個可能的解釋變量 X1～ X5的觀測值 （ 共 10組 ） ， 然后分別作三個回歸 ， 結(jié)果如下 （ 括號中為 t統(tǒng)計(jì)量 ） ： （ 1） = + R2 = () () （ 2） = + + + R2 =