【正文】 — 標(biāo)準(zhǔn)型v 其中 Q=QT?Rnn（ n階對(duì)稱方陣）；以 aiT(i?I)為行向量的矩陣記為 AI?RIn；以 ajT(j??)為行向量的矩陣記為 A??R?n；對(duì)應(yīng)的向量記為 bI, b?。? 對(duì)于凸二次規(guī)劃， x*為全局極小點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng) x*為局部極小點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) x*為 KKT點(diǎn)。決策理論與方法 優(yōu)化決策理論與方法約束非線性規(guī)劃 — SQP法v 對(duì)于等式約束優(yōu)化問題Min f(x). h(x)=0v 拉格朗日函數(shù)記為 L(x,?)=f(x)?Th(x)v 則 ?L(x,?)=(?f(x)?h(x)?, h(x))T=0，顯然問題的最優(yōu)解(x*,?*)滿足此式。x=beq lb?x?ubv [x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)v fun定義目標(biāo)函數(shù) ,x0定義初始可行解， nonlcon定義 c(x)和ceq(x)。? 調(diào)用 fmincon并指定初始搜索點(diǎn)以及其他向量、矩陣。Aeq。[x,fval]=fmincon(myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,confun)決策理論與方法 優(yōu)化決策理論與方法約束非線性規(guī)劃 — Matlab函數(shù)應(yīng)用v 例 ： min f(x)=ex1(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1) . x1x2x1x2? x1x2?10v 解 ：? 創(chuàng)建一個(gè) matlab文件，如 function f = myfun(x)f =exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1)。決策理論與方法 優(yōu)化決策理論與方法約束非線性規(guī)劃 — Matlab函數(shù)應(yīng)用? 調(diào)用有約束非線性規(guī)劃函數(shù)x0 = [1,1]。off39。決策理論與方法 優(yōu)化決策理論與方法二次規(guī)劃 — Matlab函數(shù)應(yīng)用v Optimization ToolBoxMin +fTx. Ax0=[x1,x2,…,xn]。beq。1 2], f=[2。1 2。3]。beq=[]。]fval =iterations: 3algorithm: ‘mediumscale: activeset(積極約束集方法 )39。v 解 ：設(shè)共有 m個(gè)倉(cāng)庫(kù)，第 i個(gè)倉(cāng)庫(kù)的物資庫(kù)存量為 ai噸；有 n個(gè)銷售網(wǎng)點(diǎn)，第 j個(gè)銷售網(wǎng)點(diǎn)的銷售量為 bj噸?？倗嵐飻?shù)為 ?i?jdijxij；? 運(yùn)輸費(fèi)用最小。其一般形式如下：Min f(x)=(f1(x),f2(x),…, fp(x))T，. gi(x)?0。有效解通常也稱為 Pareto最優(yōu)解。v 基于一個(gè)單目標(biāo)問題的方法 ：將原來(lái)的多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題，然后利用非線性優(yōu)化算法求解該單目標(biāo)問題，所得解作為 MOP問題的最優(yōu)解。j??? 權(quán)重設(shè)置 要求 ： ?k?k=1, ?k?0(k=1,2,…, p)。決策理論與方法 優(yōu)化決策理論與方法多目標(biāo)規(guī)劃 — 求解方法v 極小化極大法 ：在目標(biāo)函數(shù) f(x)的 p個(gè)分量中，極小化 f(x)的最大分量，即minx?Smax1?j?pfj(x)v 理想點(diǎn)法 ：分別求出 f(x)中每個(gè)分量 fj(x)的極小點(diǎn) fj0，得到理想點(diǎn) f0=(f10,…, fp0)T；然后求解單目標(biāo)優(yōu)化問題：minx?S||f(x)f0||?。v 分層排序法 ：將目標(biāo)函數(shù)按重要度依次排序，然后在前一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解集中尋找下一個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解集，并把最后一個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解作為 MOP問題的最優(yōu)解。x?b Aeq…。x0=[x1,x2,…,xn]。beq。??goal c(x)?0 ceq(x)=0 A決策理論與方法 優(yōu)化決策理論與方法多目標(biāo)規(guī)劃 — Matlab函數(shù)應(yīng)用v 用法? 創(chuàng)建一個(gè) matlab文件，如 function f = myfun(x)f(1) = f1(x)。 ceq = ceq(x)。b。ub。f(3)= x(1) + 3*x(2) 18。決策理論與方法 優(yōu)化決策理論與方法多目標(biāo)規(guī)劃 — Matlab函數(shù)應(yīng)用v 解 (1)：用 fminimax求解。? 定義 ? 指定初始搜索點(diǎn)： x0=[。v 給定一個(gè)有限集 N={1,2,…,n} 和權(quán)函數(shù) c:N→R 。決策理論與方法 優(yōu)化決策理論與方法組合優(yōu)化 — 基本概念v 常見的組合優(yōu)化問題：? 最短路問題 ：給定一定的路長(zhǎng)分布，確定從某個(gè)地點(diǎn)到另一個(gè)地點(diǎn)使路長(zhǎng)最短的路徑。引入 01整型變量 xj(ej?E)，記x=(x1,x2,...,x|E|)T。aa=(1 0 1 1 0)T。v 線性混合整數(shù)規(guī)劃 (MILP)：max {cTx+hTy|Ax+Gy?b, x?Z+n, y?R+p}? x,y為決策變量向量，其中 x包含 n個(gè)整數(shù)變量， y包含 p個(gè)實(shí)數(shù)變量； c為 n維向量； h為 p維向量； A為 mn階矩陣，G為 mp階矩陣。v 求解方法： Gomory割平面法、分支定界法、分解算法。x=beq x： 01v[x,fval] =bintprog(f, A, b, Aeq, beq, x0)vx0定義初始可行解 (可選 )； bintprog僅適合求解 01整數(shù)規(guī)劃問題。x. Av 整數(shù)規(guī)劃問題的可行解一定是松弛問題的可行解，但反之不一定。s tabe1e2e3e5e4決策理論與方法 優(yōu)化決策理論與方法整數(shù)規(guī)劃 — 標(biāo)準(zhǔn)型v 整數(shù)規(guī)劃是一類特殊的組合優(yōu)化問題。試確定從 s到 t點(diǎn)的最短路徑。v 關(guān)聯(lián)矩陣： A=(aij)|V||E|。v 已經(jīng)證明：求解組合優(yōu)化問題的最優(yōu)解是 NP難的。goal attainment SQP, QuasiNewton, line_search39。 ]? 調(diào)用 [x,fval]=fminimax(myfun,x0)? 結(jié)果：x =[ ]fval = [ ]iterations: 7algorithm: 39。f(5)= x(1) + x(2) 8。weight[x,fval]=fgoalattain(myfun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,confun)決策理論與方法 優(yōu)化決策理論與方法多目標(biāo)規(guī)劃 — Matlab函數(shù)應(yīng)用v 例： min {f1,f2,f3,f4,f5}f(1)= 2*x(1)^2+x(2)^248*x(1)40*x(2)+304。beq。x0=[x1,x2,…,xn]?！?。x=beq lb?x?ubv [x,fval]=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)v Fun定義目標(biāo)函數(shù)； goal為理想點(diǎn)； x0定義初始可行解；nonlcon定義 c(x)和 ceq(x)。ub。b。 ceq = ceq(x)。決策理論與方法 優(yōu)化決策理論與方法多目標(biāo)規(guī)劃 — Matlab函數(shù)應(yīng)用v 用法? 創(chuàng)建一個(gè) matlab文件，如 function f = myfun(x)f(1) = f1(x)。2. 第 j層： min fj(x),x?Sj1， j=2,…, p3. 最后將 Sp中的點(diǎn)作為多目標(biāo)問題的最優(yōu)解。決策理論與方法 優(yōu)化決策理論與方法多目標(biāo)規(guī)劃 — 求解方法v 基于多個(gè)單目標(biāo)問題的方法 ：將原來(lái)的多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化成具有一定次序的多個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題，然后依次求解這些單目標(biāo)優(yōu)化問題，并把最后一個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題的解作為 MOP問題的最優(yōu)解。i?I hj(x)=0。決策理論與方法 優(yōu)化決策理論與方法多目標(biāo)規(guī)劃 — 求解方法v 線性加權(quán)和法 ：Min ?Tf(x)=?k?kfk(x)，. gi(x)?0。決策理論與方法 優(yōu)化決策理論與方法多目標(biāo)規(guī)劃 — 求解方法v 直接求解多目標(biāo)規(guī)劃問題的有效解集是 NP難問題。j??。決策理論與方法 優(yōu)化決策理論與方法多目標(biāo)規(guī)劃 — 管理實(shí)例v 最后得到模型：v 模型包含 2個(gè)目標(biāo)；vmn個(gè)決策變量；vmn+m+n個(gè)約束。設(shè)從第 i個(gè)倉(cāng)庫(kù)運(yùn)到第 j個(gè)銷售網(wǎng)點(diǎn)的物資量為 xij?？紤]到物資的時(shí)效性和銷售效益，調(diào)度部門希望物資在運(yùn)輸過(guò)程中盡可能快地到達(dá)目的地；同時(shí)，考慮到運(yùn)輸成本，調(diào)度部門還希望物資的總運(yùn)輸費(fèi)用最小。不指派初始解。0]。 b=[2。x2]。ub。b。x=beq lb?x?ubv[x,fval] = quadprog(H,f,A,b,Ae