【正文】 方的總獲利有可能達(dá)到 10。當(dāng)然，這里還存在著一個留待解決而又十分關(guān)鍵的問題：如何分享總獲利，如果不能達(dá)到一個雙方（或各方）都能接受的 “公平 ”的分配原則，則合作仍然不能實現(xiàn)。美軍第一軍和英軍的行動直接威脅到德軍第九軍。 Bradley將軍的問題是如何調(diào)動他的后備軍，后備軍駐扎在海峽南部。 局中人 A的策略集合為 SA = { 1, 2, 3}，其中： 1為后備軍增援保衛(wèi)海峽； 2為后備軍東征，切斷德軍后路； 3為后備軍待命 ??? ?局中人 B的策略集合為 SB = { 1, 2}，其中： 1為德國向西進(jìn)攻海峽，切斷美軍援助； 2為德軍撤退到東部，占領(lǐng)塞納河流域有利地形。 16（ 3）（ 3, 1），估計美軍可以根據(jù)需要增援。 若 B采取策略 2，即德軍第九軍東撤，占據(jù)塞納河流域有利地形，則有 ?（ 4）（ 1, 2），美方擴(kuò)大了戰(zhàn)線，德軍雖占據(jù)了有利地形，美軍仍有擊敗 德軍的可能性。 ?? 23情況（ 4）、（ 5）、（ 6）見圖 （ 4）、（ 5）（ 6）所示。同樣，如對一切 i有 aij≤akl， 且至少有一個 i0使得 ，則稱 j列優(yōu)于 l例（局中人 B的策略 j優(yōu)于 l）。 1 0kiipp? ? ?1\ { , , }kA A i iSS ??? ?{ , , }ABS S R? ? ?? 利用這一定理，有時對策問題可先進(jìn)行化簡，降低矩陣的階數(shù)。設(shè) Bradley以概率 p1取策略 2而以概率 p2取略 3，則應(yīng)有 ??1 2 1 2121 5 26 6 31p p p ppp? ? ? ???? ???解得 311 ?p223p ? 類似地，設(shè) Von Kluge 以概率 q1取策略 1而以概率 q2取策略 2，則應(yīng)有 ??1 2 1 2121 5 26 6 31q q q qqq? ? ? ???? ???解得 。 Von Kluge將軍指揮的德軍向西進(jìn)攻，開始時德軍占領(lǐng)了海峽，但隨之即被美軍包圍遭到了全軍復(fù)滅， Von Kluge本人在失敗后自殺。但在實際戰(zhàn)斗中，地雷不太可能是足夠多的。因為只有有限個防御正面，用有限個進(jìn)攻策略來描述敵方的進(jìn)攻狀態(tài)是非常接近實際情況的。 對策決策 要用矩陣對策決策，關(guān)鍵問題是如何列出守方的贏得矩陣。攻方一個坦克梯隊的 20輛坦克展開成 1公里寬的陣面，但既可能從左側(cè)進(jìn)攻（策略 1）也可能從右側(cè)進(jìn)攻（策略 2）。 ? 情況 2 攻方一梯隊 20輛坦克可從左側(cè)（ 1）、中路（ 2）或右翼（ 3）進(jìn)攻，展開成 1公里布陣。 ??由本例可以看出，在決策問題中，策略的設(shè)計至關(guān)重要，它直接影響到贏得矩陣。 決策問題 人們在處理問題時，常常會面臨幾種可能出現(xiàn)的自然情況，同時又存在著幾種可供選擇的行動方案?？晒┻x擇的行動方案叫做策略，這是可控因素，選擇哪一方案由決策者決定。產(chǎn)品的生產(chǎn)批量有大中小三種選擇。最大可能決策用于一種狀態(tài)的可能性明顯大于其它狀態(tài)時，如果幾種狀態(tài)發(fā)生的概率相差不大，則不適用。盡管勘探隊已作了大量調(diào)研分析，但由于地下結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，仍無法準(zhǔn)確預(yù)測開采的結(jié)果，決策者可以決定鉆井，也可以決定不鉆井。 確定型決策是只存在一種可能自然狀態(tài)的決策問題。在本節(jié)中，我們主要討論風(fēng)險型與不確定型決策，并介紹它們的求解方法。 對于風(fēng)險型決策問題，最常用的決策方法是期望值法，即根據(jù)各方案的期望收益或期望損失來評估各方案的優(yōu)劣并據(jù)此作出決策。 ?? m a xij k j ijkl a a?? 例如，如果不鉆井，但事實上該處可開出一口高產(chǎn)井，則后悔值為 40。 ???在選取策略 i而出現(xiàn)狀態(tài) j時后悔值為 的理由是在 出現(xiàn)狀態(tài) j情況下的最大可能收益為 。 例 某工程按正常速度施工時，若無壞天氣影響可確保在 30天內(nèi)按期完工。 （ 2）先按正常速度施工， 15天后根據(jù)實際出現(xiàn)的天氣狀況再作決策。實施此應(yīng)急措施有三種可能結(jié)果：有 50%可能減少誤工期 1天，支付應(yīng)急費用和延期損失費共 24000元；有 30%可能減少誤工期 2天，支付應(yīng)急費用和延期損失費共 18000元；有20%可能減少誤工期 3天，支付應(yīng)急費用和延期損失費共 12023元。 根據(jù)上述情況，試作出最佳決策使支付的額外費用最少。為便于分析和決策，采用決策樹方法。 在決策樹上由右向左計算各機(jī)會節(jié)點處的期望值，并將結(jié)果標(biāo)在節(jié)點旁。 結(jié)論 最佳決策為前 15天按正常速度施工， 15天后按實際出現(xiàn)的天氣狀況再作決定。 二、不確定型決策問題 只知道有幾種可能自然狀態(tài)發(fā)生，但各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率未知的決策問題稱為不確定型決策問題，由于概率未知，期望值方法不能用于這類決策問題。他先計算每一方案的最大收益值，再比較找出其中的最大者，并采取這一使最大收益最大的方案，在例 ， max a1j = 6， max a2j = 8， max a3j = 9， max a4j = 6，而 max {6， 8， 9， 6}=9， 采取方案 3。 因為 max {4, 3， 1， 3} = 4, 采取方案 1。易見， t=1對應(yīng)樂觀法，而 t=0則對應(yīng)于悲觀法。 ?不難看出，對于不確定型決策問題，不論采用什么方法決策，最終采用的策略都不能稱為最佳策略。因為幾元錢的損失對他來講是無所謂的事，小額獎金他也許看不上眼，要中就來個大獎。 例 （離散報童模型）設(shè)某商品的需求量 θ為離散變量，其取值范圍為Q = { 1,? , n}， 取值 i的概率為 P( i )， =1。故總期望損失為 ?? ????? 1 0 ( ) ( ) ( ) ( )naauaK k P k P?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???若 *為最優(yōu)進(jìn)貨量，則必有 ? * * 1KK????且 * * 1??由此經(jīng)平凡的計算可以得出：最佳進(jìn)貨量 *應(yīng)使 ? 11* 1 *0( ) ( )aauuPPkk? ? ? ???????????成立（推導(dǎo)過程從略）。 0ukkk ??因為 ， 但 。如果失敗，則損失 1元，即資本成為 0。 問題：這項投資的結(jié)局如何，是一本萬利，還是一貧如洗？ 問題 1：風(fēng)險決策的一個討論題 1（訂貨計劃）某廠制造和銷售一種新儀器，需要外購一種配件。各城市可單獨建立自來水廠，也可以合作建一個大水廠，再用管道送到各城市。 3（拍賣問題）拍賣形式是先由拍賣商對拍賣品描述一番，然后提出第一個報價。根據(jù)法律，如果兩人都承認(rèn)此案是他們干的，則每人各判刑 7年；如果兩人都不承認(rèn)，則由于證據(jù)不足，兩人各判刑 1年； 如果只有一人承認(rèn)，則承認(rèn)者以寬大處理，當(dāng)場釋放，而不承認(rèn)者判刑 9年。 當(dāng)盟軍獲悉此情報后，盟軍統(tǒng)帥麥克阿梭命令太平洋戰(zhàn)區(qū)空軍司令肯尼將軍組織空中打擊。基本情況如下：從蠟包爾出發(fā)開往萊城的海上航線有南北兩條。 經(jīng)測算，雙方均可得到如下估計： 局勢 1： 盟軍的偵察機(jī)重點搜索北線，日本艦隊也恰好走北線。 局勢 3： 盟軍的偵察機(jī)重點搜索南線，而日本艦隊走北線。 這場海空遭遇與對抗一定會發(fā)生，雙方的統(tǒng)帥如何決策呢？ 。 局勢 4： 盟軍的偵察機(jī)重點搜索南線，日本艦隊也恰好走南線。 局勢 2： 盟軍的偵察機(jī)重點搜索北線，日本艦隊走南線。 氣象預(yù)報表明：未來 3天中，北線陰雨，能見度差；而南線天氣晴好，能見度好。 日美雙方的指揮官及參謀人員都進(jìn)行了冷靜的思考與全面的謀劃 。 案例：俾斯麥海的?？諏? 1943年 2月，第二次世界大戰(zhàn)中的日本，在太平洋戰(zhàn)區(qū)已經(jīng)處于劣勢。假設(shè)報價為 p1,p2? p n1 , pn,設(shè) p1p2 ? p n1 pn1就能買到。三個城市 有意合作，但是否實施，看總費用的分?jǐn)偸欠窈侠怼? A配件每只 10元，但有次品，裝配的儀器也是次品，每臺損失 100元； B配件每只 55元，也有次品，但裝配的儀器出售后可在保修期內(nèi)稍加修理就能使用，修理費 55元； C配件每只 118元，沒有次品；問該廠應(yīng)如何購置各種配件，使總費用（包括損失費和修理費）最少？ 對策問題習(xí)題 2（費用分?jǐn)倖栴}）假設(shè)沿某河流有相鄰的三個城市： A， B， C。投資的次數(shù)和每次投資額不限。 2725( ) ??????2825( ) ?????最佳平均利潤為 282528 5 ( 28 ) ( ) 133 .1P????? ? ? ??（元） 有一個風(fēng)險投資的機(jī)會，成功和失敗的概率都是 。該店根據(jù)平時銷售情況列出下表，試根據(jù)表 最佳平均利潤。試確定該商品的最佳進(jìn)貨量。同而，不確定型問題的決策充其量只能算是在決策者某種心理狀態(tài)下的選優(yōu)。而且，即使對同一決策者，在處理不同決策問題時也可能采取不同的方法。此時，決策者采用將各狀態(tài)的概率取成相同值的辦法把問題轉(zhuǎn)化為風(fēng)險型，并借用風(fēng)險型問題的期望值法來決策。 作決策時，決策者先適當(dāng)選取一個 t的值；再對各方案 1求出 ； 最后再作比較，找出使 最大的方案。他先求每一方案的最小收益 ,再比較找出其中的最大者，并采取這一使最小收益值最大化的方案。 例 設(shè)存在五種可能的自然狀態(tài)，其發(fā)生的概率未知。 根據(jù)期望值大小決策是隨機(jī)型決策問題最常用的辦法之一。 （ 3）計算第二級機(jī)會節(jié)點 B處的效益期望值 E(B) = 0＋ （－ 19800）＋ （－ 50000） =－ 14900 并將－ 14900標(biāo)在 B點旁。 ○表示機(jī)會節(jié)點，從它分出的分枝稱為概率分枝，一條概率分枝對應(yīng)一條自然狀態(tài)并標(biāo)有相應(yīng)的發(fā)生概率。 本例要求作多次決策，工程初期應(yīng)決定是按正常速度施工還是提前緊急加班。（ ii）采取應(yīng)急措施。 如遇到小風(fēng)暴，有兩個備選方案：（ i）維持正常速度施工，支付工程延期損失費 20230元。有 40%的可能會出現(xiàn)陰雨天氣而不影響工期，在 50%的可能會遇到小風(fēng)暴而使工期推遲 15天，另有 10%的可能會遇到大風(fēng)暴而使工期推遲 20天。 證明：由 得 m a xij k j ijkl a am a xij ij k jkl a a??故 1 1 1m a xn n nj ij j ij j k jkj j jp l p a p a? ? ???? ? ?等式（ ）的右端項為一常數(shù)，其左端項為采取策略 i時期后悔值與期望收益值之和，從而，若某策略使期望收益最大，則該策略必使期望后悔值最小，定理得證。然后，比較各方案的期望后悔值，選取期望后悔最小的方案作為最佳策略。 ???風(fēng)險型決策也可采用期望后悔值法求解。決策者不知道究竟會出現(xiàn)哪一種狀態(tài)，但知道各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率有多大。值得一提的是策略集也可以是無限集，例如，線性規(guī)劃就可行看成一個策略集是限集的確定型決策，問題要求決策者從可行解集合（策略集）中挑選出最優(yōu)解。 表 0 0 0 不鉆井（ 2） 40 20 － 30 鉆井（ 1） P( 3) = P( 2)