【正文】 首先必須擴(kuò)展微積分本身 。 數(shù)學(xué)家們對微積分以及隨后產(chǎn)生的分析分支做了純形式的處理 。 它大膽地闖入敵人的領(lǐng)土 ， 攻占要塞 ， 然后 ， 就必須由更廣闊 ， 更徹底 ， 更謹(jǐn)慎的行動來擴(kuò)大和支持這些入侵 ， 以保衛(wèi)那些僅僅暫時(shí)地 、 不牢固地控制了的東西 。 數(shù)學(xué)家們只是將積分技巧從一種有限形式發(fā)展到另一種有限形式 ， 僅把積分當(dāng)作導(dǎo)數(shù)或微分的的逆運(yùn)算 。 通常的導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別在一開始并未被人們明確地認(rèn)識 ， 因而對兩者使用相同的記號 。 達(dá)朗貝爾在 1744年前后 ， 推廣了偏導(dǎo)數(shù)的演算 。 這樣 ， 無窮大量和無窮小量相互間較大 ， 較小的空談 ， 對微分學(xué)來說是全然無用的 。 告誡學(xué)習(xí)微積分的學(xué)生們： 堅(jiān)持 , 你就會有信心 . 達(dá)朗貝爾 評語 盡管幾乎十八世紀(jì)的每位數(shù)學(xué)家都在微積分的邏輯上做了努力 ， 或至少表示了他們的看法 ， 其中也有一 、 兩個走對了路的 ， 但他們所有的努力都是沒有多大用處的 。 總的來說 ， 他們那么明目張膽地犯錯誤 ， 以致于人們對數(shù)學(xué)家能否能清楚他們涉及到的邏輯感到絕望 。 ????? 1111 一般說來 ， 當(dāng)十七 、 十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們不能為一個觀點(diǎn)提供更好的證明時(shí) ， 他們就慣于說這其中的理由是形而上學(xué)的 。 因?yàn)樗麄兪菣?quán)威 ， 他們的許多同事接受了并不加批判地重復(fù)這些觀點(diǎn) ， 甚至將它們進(jìn)一步發(fā)展 。 雖然它在描述和預(yù)測物理現(xiàn)象方面所取得的成功遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過人們的預(yù)料 ， 但是 ， 正如十八世紀(jì)的人所指出的那樣 ， 大量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)沒有邏輯基礎(chǔ) ， 因此不能保證數(shù)學(xué)是正確無誤的 。 十九世紀(jì)早期的數(shù)學(xué)家們都致力于盡可能地運(yùn)用邏輯方法證明 “ 一個連續(xù)函數(shù)中任何一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)存在 。 1 1 19世紀(jì)，邏輯問題一直困擾著數(shù)學(xué)家。 ” 1 1 19世紀(jì)，邏輯問題一直困擾著數(shù)學(xué)家。 這些研究一開始就造成了巨大轟動 。 例如 ， 實(shí)數(shù)系的邏輯基礎(chǔ)是什么 ？ …… 。 :20:4119:20Jan2322Jan23 1故人江海別，幾度隔山川。 2023年 1月 下午 7時(shí) 20分 :20January 22, 2023 1行動出成果，工作出財(cái)富。 19:20:4119:20:4119:201/22/2023 7:20:41 PM 1成功就是日復(fù)一日那一點(diǎn)點(diǎn)小小努力的積累。 2023年 1月 22日星期日 下午 7時(shí) 20分 41秒 19:20: 1楚塞三湘接，荊門九派通。 , January 22, 2023 閱讀一切好書如同和過去最杰出的人談話。勝人者有力，自勝者強(qiáng)。 2023年 1月 22日星期日 7時(shí) 20分 41秒 19:20:4122 January 2023 1一個人即使已登上頂峰，也仍要自強(qiáng)不息。 2023年 1月 22日星期日 下午 7時(shí) 20分 41秒 19:20: 1最具挑戰(zhàn)性的挑戰(zhàn)莫過于提升自我。 :20:4119:20Jan2322Jan23 1越是無能的人，越喜歡挑剔別人的錯兒。 2023年 1月 22日星期日 7時(shí) 20分 41秒 19:20:4122 January 2023 1空山新雨后，天氣晚來秋。 19:20:4119:20:4119:20Sunday, January 22, 2023 1不知香積寺，數(shù)里入云峰。 下午 7時(shí) 20分 41秒 下午 7時(shí) 20分 19:20: 沒有失敗，只有暫時(shí)停止成功！。 :20:4119:20:41January 22, 2023 1他鄉(xiāng)生白發(fā)，舊國見青山。 , January 22, 2023 雨中黃葉樹，燈下白頭人。 當(dāng)魏爾斯特拉斯的工作通過演講為人們所知時(shí) ， 其影響更為顯著 。 —— 柯西 波爾查諾 、 柯西 、 魏爾斯特拉斯和其它一些人的工作給分析提供了嚴(yán)密性 。 1 1 19世紀(jì)，邏輯問題一直困擾著數(shù)學(xué)家。 ” 只要看下面的圖形 ， 就可以知道要證明的東西是錯誤的 。 十九世紀(jì)的微積分 分析 （ 微積分 ） 中的錯誤在十九世紀(jì)繼續(xù)發(fā)展 ， 這方面的例子不勝枚舉 。 十九世紀(jì)的微積分 噢，上帝，為什么二加二等于四？ —— 亞歷山大 可以說 ，1800年微積分基礎(chǔ)方面的狀況比 1700年的更差 。 萊布尼茨 、 歐拉等數(shù)學(xué)家都曾借助于形而上學(xué)得出過錯誤的結(jié)論 。 微積分被稱為“ 計(jì)算與度量一個其存在性是不可思議的事物的藝術(shù) ” 。 事實(shí)上 ， 達(dá)朗貝爾給出了極限正確定義的一個極好的近似：一個變量趨近一個固定量 ， 趨近的程度小于任何給定量 。 其中比較有代表性的思想是達(dá)朗貝爾的工作 。 兩個或多個變量的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)研究的主要動力來自偏微分方程方面的工作 。 好在十八世紀(jì)出現(xiàn)的大部分應(yīng)用問題中 ， 積分都能被明確地求出來 ， 因而也就不會發(fā)生積分存在與否的問題 。 又因?yàn)樗麄儧]有看出使用無窮級數(shù)而產(chǎn)生的問題 ， 所以他們天真地認(rèn)為微積分只是代數(shù)的推廣 。 這些形式的努力經(jīng)受了后來的批判性檢查的考驗(yàn) ， 并產(chǎn)生了偉大的思想線索 。 當(dāng)然 ， 第一目標(biāo)是擴(kuò)展微積分的主要內(nèi)容 。 其中某些工作的萌芽確實(shí)在牛頓和萊布尼茨的工作中就已經(jīng)出現(xiàn)了 。 這件事的影響非常巨大 ， 它不僅使英國的數(shù)學(xué)家落在后面 ， 而且使數(shù)學(xué)學(xué)科損失了一批最有才能的人所應(yīng)作出的貢獻(xiàn) 。兩個人都受到巴羅的很多啟發(fā)。 然而 ， 他直到1684年才正式公開發(fā)表微積分的著作 。 任何一件新事物出現(xiàn)時(shí) ， 一般不可能是十分完美的 。 幸好貝努利兄弟將他的文章大大加工 ， 并做了大量的發(fā)展工作 。 1714年萊布尼茨寫了 《 微分學(xué)的歷史和起源 》 ，在這本書中 ， 他給出了一些關(guān)于自己思想發(fā)展的記載 ， 由于他出書的目的是為了澄清當(dāng)時(shí)加于他的剽竊罪名 ， 所以他可能不自覺地歪曲了關(guān)于他的思想來源的記載 。 他于 1669年提議建立德國科學(xué)院 ， 從事對人類有益的力學(xué)中的發(fā)明和化學(xué) 、 生理學(xué)方面的發(fā)現(xiàn) （ 1700年柏林科學(xué)院成立 ） 。 雖然萊布尼茨靠做外交官生活 ， 卷入各種政治活動 ， 但他的科學(xué)研究工作領(lǐng)域是廣泛的 ， 他的業(yè)余生活的活動范圍是龐大的 。 1672年 3月作為梅因茲的選帝侯大使 ， 政治出差導(dǎo)巴黎 。 2. 萊布尼茨 （ Leibniz） 萊布尼茨 （ 1646~1716年 ） 是在建立微積分中唯一可以與牛頓并列的科學(xué)家 。 晚年的牛頓變得消沉 ， 精神幾乎崩潰 。 此外他還論述了有理指數(shù)的二項(xiàng)定理 （ 1664年 ）以及數(shù)論 、 解析幾何 、 曲線分類 、 變分法等中的有關(guān)問題 。 其中借助運(yùn)動學(xué)中描述的連續(xù)量及其變化率闡述他的流數(shù)理論 ， 并創(chuàng)用字母上加一點(diǎn)的符號表示流動變化率 （ 即導(dǎo)數(shù)符號 ） 。 他提出的創(chuàng)造性的材料也沒有受到同事們的注意 ， 只有巴羅及天文學(xué)家哈雷認(rèn)識到他的偉大 ， 并給他以鼓勵 。 他離開劍橋 ， 回到家鄉(xiāng) ， 在那里開始了他在機(jī)械 、 數(shù)學(xué)和光學(xué)上的偉大工作 ， 于 16651666年間做出流數(shù)術(shù) 、 萬有引力和光的分析三大發(fā)明 ， 年僅 23歲 。 他的母親在那里管理著丈夫遺留下來的農(nóng)莊 ， 他父親是在他出