數(shù)值分析講義(東北大學(xué))第七章數(shù)值積分(文件)
【正文】 18??????????fffffffffT定積分 I精確到小數(shù)點(diǎn)后 7位的值是 。 Gauss型求積公式的一般理論 證明 若記 x1,x2,… xn為求積節(jié)點(diǎn) ,則積分公式為 )()()()(1? ???ba nk kkxfAdxxxf ?0)()()(01??? ? ??bank kkxpAdxxxp ?所以 ,求積公式的代數(shù)精度不超過 2n1. 使求積公式具有 2n1次代數(shù)精度的節(jié)點(diǎn) x1,x2,… xn稱為 Gauss點(diǎn) ,此時(shí)的插值型求積公式稱為 Gauss型求積公式 . 由例 8可見 ,求積公式 就是 Gauss型求積公式 , 取區(qū)間 [a,b]上權(quán)函數(shù)為 ?(x)的正交多項(xiàng)式 pn(x)的 n個(gè)零點(diǎn) x1,x2,… xn作為求積節(jié)點(diǎn) ,用 Newton插值余項(xiàng)有誤差 所以當(dāng) ?(x)是次數(shù)不超過 2n1的多項(xiàng)式時(shí) ,R[?]=0. ?? ???1 1 )31()31()( ffdxxf3/1,3/1 21 ??? xx 就是區(qū)間[1,1]上權(quán)函數(shù) ?(x)=1的 Gauss點(diǎn) . 下面用構(gòu)造性方法給出 Gauss點(diǎn)的求法 . ? ???? ba ni iixfAdxxxffR1)()()(][ ??? ba nn dxxxxxxxf )()(],[ 21 ????? ba nn dxxxpxxxxfC )()(],[ 21 ?? 對(duì)區(qū)間 [a,b]上權(quán)函數(shù)為 ?(x)的積分 (2)求出 pn(x)的 n個(gè)零點(diǎn) x1,x2,… xn即為 Gsuss點(diǎn) . 由定理 ,構(gòu)造 Gauss型求積公式的方法為 : 例 12 求積分 定理 ?? ba dxxxfI )()( ?區(qū)間 [a,b]上權(quán)函數(shù)為 ?(x)的正交多項(xiàng)式 pn(x)的 n個(gè)零點(diǎn)x1,x2,… xn恰為 Gauss點(diǎn) . (1)求出區(qū)間 [a,b]上權(quán)函數(shù)為 ?(x)的正交多項(xiàng)式 pn(x). (3)計(jì)算積分系數(shù) ).,2,1()()( nidxxxlA ba ii ??? ? ?dxxfx )(1 1 2?? 的 2點(diǎn) Gauss公式 . 解 按 Schemite正交化過程作出正交多項(xiàng)式 : p0(x)=1. P2(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為 故兩點(diǎn) Gauss公式為 )())(),(( ))(,()( 00001 xpxpxpxpxxxp ?? xdxxdxxx ???????112113)())(),(( ))(,()())(),(( ))(,()( 111120000222 xpxpxpxpxxpxpxpxpxxxp ???5321141151121142 ????????????? xxdxxdxxdxxdxxx, 532531 ??? xx 積分系數(shù)為 31)( 11212211 121 ?? ?? ????? dxxxxxxdxxlxA31)( 11121211 221 ?? ?? ????? dxxxxxxdxxlxA)]()([)( 5353311 1 2 ffdxxfx ????? 區(qū)間 [1,1]上權(quán)函數(shù) ?(x)=1的 Gauss型求積公式 ,稱為GaussLegendre求積公式 ,其 Gauss點(diǎn)為 Legendre多項(xiàng)式 的零點(diǎn) . 167。 2 177。 177。 177。 177。 177。 7 177。 177。 插值型數(shù)值微分 ????? ni ikiknk nkxfxlxLxf0)()()( ,2,1,)()()()( ?????????? ??)()!1( )()()( 1)1()()( xnfdxdxLxfnxnkkknk ??特別 , 當(dāng) k=1時(shí)有 如果僅限定在節(jié)點(diǎn) xi處求導(dǎo) , 則有 如取 n=1的線性插值 L1(x)=[(xx0)?(x1)(xx1)?(x0)]/h, (其中 h=x1x0)可得數(shù)值微分的二點(diǎn)公式 : ?????? ?????? ???? )()()())(()!1(1)()(1)1(1)1( xdxdfxfdxdnxLxf nxnnxnn ??????????????? nijjjinini nixxnfxLxf0)1(,2,1,0,)()!1( )()()( ??)(2))()((1)( 010 ?fhxfxfhxf ??????????????????? )(2))()((1)( 011 ?fhxfxfhxf如取 n=2的等距節(jié)點(diǎn) (x2x1=x1x0=h)拋物線插值 : 則有 L2(x)= [(xx1)(xx2)?(x0)2(xx0)(xx2)?(x1)+(xx0)(xx1)?(x2)]/2h2 可得數(shù)值微分的三點(diǎn)公式 : )(3)](3)(4)([2 1)( 22102 ?fhxfxfxfhxf ????????)(3)]()(4)(3[2 1)( 22100 ?fhxfxfxfhxf ?????????)(6)]()([2 1)( 2201 ?fhxfxfhxf ???????? L2?(x)=[(2xx1x2)?(x0)2(2xx0x2)?(x1)+(2xx0x1)?(x2)]/2h2 L2??(x)=[2?(x0)4?(x1)+2?(x2)]/2h2 )](6)([)]()(2)([1)( 2)4(2121020 ?? fhfhxfxfxfhxf ???????????)(12)]()(2)([1)( )4(221021 ?fhxfxfxfhxf ??????????????????????????????? )](6)([)]()(2)([1)(2)4(2121022?? fhfhxfxfxfhxf?(x0)2?(x1)+?(x2)]/h2 練習(xí)題 第 213頁 習(xí)題 7 71, 72, 73, 75, 練習(xí)題 第 213頁 習(xí)題 7 77, 710, 711, 712, 課間休息 更多資料請(qǐng)?jiān)L問： 。 6 數(shù)值微分 167。 177。 0 4 177。 6 177。 177。 177。 0 7 177。 177。 4 Romberg求積公式 所以有 ),(,)(12 )( 23bafnabTI n ??????? ??),(~,)~()2(12 )( 232 bafnabTIn ??????? ??42???nnTITI34 2 nn TTI ?? )(3122 nnn TTTI ???或 另一方面， (4T2nTn)/3應(yīng)比 Tn和 T2n的近似程度更好 .事實(shí)上 ,有 其中 ,xk=a+kh,k=0,1,2,… ,n,h=(ba
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