xdf高數強化講義07高等數學講義（汪誠義）第七章★【漢魅huntmine—校內校外學習資源高速下載】(文件)
【正文】 考慮另一種順序的累次積分。 曲線積分（數學一）(甲) 內容要點一、 第一類 曲線積分（對弧長的曲線積分）參數計算公式 我們只討論空間情形（平面情形類似） 設空間曲線L的參數方程 則 （假設）這樣把曲線積分化為定積分來進行計算二、 第二類 曲線積分（對坐標的曲線積分）參數計算公式我們只討論空間情形（平面情形類似）設空間有向曲線L 的參數方程這樣把曲線積分化為定積分來計算。解：曲線L是圓柱面和平面的交線，是一個橢圓周，它的參數方程（不是唯一的選法）最簡單可取 ，根據題意規(guī)定L的定向，則從變到0，于是 二、用格林公式等性質來計算曲線積分例求，其中，b為正的常數，L為從點沿曲線到點（0，0）的弧解一：用格林公式，但L不是封閉曲線，故補上一段，它為從（0，0）沿y＝0 到的有向直線。證 如圖，設C是半平面x0內的任一分段光滑簡單閉曲線，在C上任意取定兩點M,N，作圍繞原點的閉曲線,同時得到另一圍繞原點的閉曲線.根據題設可知 根據第二類曲線積分得性質，利用上式可得＝＝＝＝0解：設P＝，P,Q在單連通區(qū)域x0內具有一階連續(xù)偏導數。構造函數 （1） （2） （3） （4）得 （5）由得 代入（5）得 ，則 ，同理得 ，故原點到作功最大，最大功為 167。解：記S為平面上L所圍成部分的上側，D為S在xy坐標平面上的投影，由斯托克斯公式得 四、曲面積分的應用例 設有一高度為h(t) (t為時間)的雪堆在融化過程中，其側面滿足方程（設長度單位為厘米，時間單位為小時），已知體積減少的速率與側面積成正比（），問高度為130(厘米)的雪堆全部融化需多少時間？解：記V為雪堆體積，S為雪堆的側面積，則 由題意知 由 因此高度為130厘米的雪堆全部融化所需時間為100小時。三、兩類曲面積分之間的關系其中處根據定向指定一側的法向量的三個方向余弦四、高斯公式定理 設是由分塊光滑曲面S圍成的單連通有界閉區(qū)域，在上有連續(xù)的一階偏導數，則(外側) 其中為S在點處的法向量的方向余弦五、斯托克斯公式定理：設L是逐段光滑有向閉曲線，
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