數(shù)學(xué)分析（上冊）-華東師范大學(xué)(文件)
【正文】 兩個(gè)初等函數(shù)與的復(fù)合，所以是初等函數(shù). 12．證明關(guān)于函數(shù)的如下不等式：（1）當(dāng)時(shí)， （2）當(dāng)時(shí)，證明 （1）因?yàn)? ，所以當(dāng)時(shí)，有，從而有. （2）當(dāng)時(shí)，在不等式中同時(shí)乘以x，可得，從而得到所需要的不等式. 習(xí)題1．證明是R上的有界函數(shù). 證明 因?yàn)閷?duì)R 中的任何實(shí)數(shù)x 有 所以 f 在R上有界. 2．（1）敘述無界函數(shù)的定義；（2）證明為（0，1）上的無界函數(shù)；（3）舉出函數(shù) f 的例子，使 f 為閉區(qū)間 [0，1] 上的無界函數(shù). 解 （1）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任何，都存在，使得，則稱 f 是D 上的無界函數(shù). （2）分析：，要找，使得. 為此只需. 證明 ，取，則，且，所以f 為區(qū)間（0，1）上的無界函數(shù). （3）函數(shù) 是閉區(qū)間 [0，1] 上的無界函數(shù). 7．設(shè)、為定義在上的有界函數(shù)，滿足，證明：⑴ ；⑵ 證 ⑴ ，有，即是在上的一個(gè)上界，所以.⑵ ，有，即是在上的一個(gè)下界，所以.8．設(shè)為定義在上的有界函數(shù)，證明：⑴ ； ⑵ 證 ⑴ ，有，于是，即是在上的一個(gè)下界，從而，所以 ①反之，有，于是，即是在上的一個(gè)上界，從而 ②由①，②得，.9．證明：在上無界，而在內(nèi)任一閉區(qū)間上有界.證 ，取，于是. 則有，所以在上無界.在內(nèi)任一閉區(qū)間上，取，則，必有，所以在上有界.10．討論狄利克雷函數(shù)，的有界性，單調(diào)性與周期性. 解 函數(shù)是有界函數(shù)：. 不是單調(diào)函數(shù). 是周期函數(shù)，任何一個(gè)正有理數(shù)都是它的周期，故它沒有最小周期. 證明如下：設(shè) r 是任一正有理數(shù). 若 x 是有理數(shù)，則是有理數(shù)，于是；若 x 是無理數(shù)，則是無理數(shù)，于是. 任何無理數(shù)都不是的周期. 11．證明：在R上嚴(yán)格增.證 設(shè)，于是因?yàn)?，有，所以，從? 所以有
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