自考線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)(文件)
【正文】 稱陣 () 注意：若為反對(duì)稱矩陣，則必有(主對(duì)角線上的元素都為0)四、同型矩陣行數(shù)和列數(shù)都相等的兩個(gè)矩陣，稱為同型矩陣。采用不同的分塊方法得到的是不同的分塊矩陣。值不為零的子式稱為非零子式二十八、矩陣的秩定義：在矩陣中,非零子式的最高階數(shù)稱為的秩，記為( 注意：實(shí)際在求的秩時(shí)，只需要求出的行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)就行了，簡(jiǎn)單易行。 (加法交換律) (2) 。 (6) 。仍稱為組合系數(shù)，或表出系數(shù) (2)顯然，零向量可以用任意一組同維數(shù)的向量線性表出: ,，稱它為零向量的平凡表出式：(這說明，表出系數(shù)可以全為0，表出系數(shù)全為0時(shí)被表出的向量必是零向量)四、向量組若干個(gè)同維數(shù)的向量所組成的集合叫做向量組．個(gè)向量組成的向量組可記為或(比喻：向量組就好比是個(gè)俱樂部，比如有三套房子的人的俱樂部，每個(gè)人都是3維的，3個(gè)坐標(biāo)分別是第1套房，第2套房，第3套房)五、線性相關(guān)與線性無關(guān)定義：設(shè)是個(gè)維向量，如果存在個(gè)不全為零的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)，稱為相關(guān)系數(shù)。否則，稱向量組線性無關(guān)。 (比喻：線性相關(guān)好比存在親屬關(guān)系，可以互相融合，最終出現(xiàn)0行)第四章 線性方程組一、關(guān)于方程組的解(每年必考內(nèi)容)(是維列向量，是維常數(shù)列，顯然變量個(gè)數(shù)為)(1)時(shí)有解①時(shí)，方程組有唯一解②時(shí)，方程組有無窮多解(2) 時(shí)無解(是維列向量，0是維常數(shù)列，顯然變量個(gè)數(shù)為)因?yàn)檫@時(shí)滿足，所以方程組必然有解(1)時(shí)有解①時(shí)，方程組有唯一解(唯一解即零解，所有變量都為零,)②時(shí)，方程組有無窮多解(必有非零解)特殊情況： (此時(shí)是方陣)(是維列向量，0是維常數(shù)列，顯然變量個(gè)數(shù)為)因?yàn)檫@時(shí)滿足，所以方程組必然有解(1)時(shí)有解①時(shí)，方程組有唯一解(唯一解即零解，所有變量都為零,)②時(shí)，方程組有無窮多解(必有非零解)簡(jiǎn)化結(jié)論：是階方陣時(shí)，第五章 特征值與特征向量一、關(guān)于特征值和特征向量，則的特征值是。 (數(shù)乘分配律) (8) ． (數(shù)乘與向量結(jié)合律)主線：線性組合線性表示線性相關(guān)(無關(guān))三、向量的線性組合定義：設(shè)是一組維向量，是一組常數(shù)，則稱 為的一個(gè)線性組合，常數(shù)稱為該線性組合的組合系數(shù)。 (4) 。推論2 若方程組中方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，則方程組必有非零解三十、關(guān)于方程組的求解 方陣可逆，即存在1. 方程組 方法：先求出，計(jì)算出即可2. 方程組 方法：先求出，計(jì)算出即可 第三章 向量空間 一、向量的概念定義：由個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)維向量，數(shù)稱為該向量的第個(gè)分量。(2)非零子式：對(duì)于確定的來說，在矩陣中，階子式的總個(gè)數(shù)為。若這樣的方陣不存在，則稱為不可逆矩陣(或奇異矩陣) 2. 逆矩陣的性質(zhì)運(yùn)算法則1. 2. (交換位置) (對(duì)比：)推廣：設(shè)是個(gè)同階的可逆矩陣，則也可逆，且 3. 4. (逆運(yùn)算與轉(zhuǎn)置運(yùn)算可以互換順序)5. 可逆矩陣可以從矩陣等式的同側(cè)消去，即當(dāng)為可逆矩陣時(shí)，有 6. 設(shè)是一個(gè)階可逆方陣，我們記，并定義，其中是任意正整數(shù)，則有。)三、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1：行列式與其轉(zhuǎn)置行列式行列(互換后的行列式)相等()性質(zhì)2：任意交換行列式的兩行(列)，行列式的值變號(hào) 推論：行列式中若有兩行(列)元素對(duì)應(yīng)相同，則行列式的值為0性質(zhì)3：若行列式中某一行(列)有共同因子，可以將該因子提取到行列式符號(hào)前面 (對(duì)比：若是階方陣，則)性質(zhì)4：行列式中若有兩行(列)元素對(duì)應(yīng)成比例，則行列式的值為0性質(zhì)5：(拆分性質(zhì))行列式可以按行(列)拆開 性質(zhì)6：(放大平移不變性質(zhì)) 把行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)以后加到另一行(列) 的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變 (第行的倍加到第1行,行列式的值不變) 三、特殊行列式的值1．上三角行列式 2．下三角行列式 3．對(duì)角行列式 四、幾個(gè)行列式的關(guān)系(?？伎键c(diǎn))如A,B為階方陣，則五、克拉默法則 含有個(gè)方程的元線性方程組的一般形式為 (1)，它的系數(shù)構(gòu)成的階行列式 (實(shí)質(zhì)：)稱為方程組(1)的系數(shù)行列式定理(克拉默Cramer法則)如果個(gè)方程的元線性方程組(1)的系數(shù)行列式，則方程組必有唯一解：其中(其實(shí)就是用方程組右邊的常數(shù)列來代替系數(shù)行列式中的第列元素)六、齊次線性方程組及其解 方程組(1)中的常數(shù)，這
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