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數(shù)學(xué)新課標(biāo)初高中銜接教材(教師版)(文件)

2025-09-10 02:02 上一頁面

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【正文】 x2. 所以,y=ax2+bx+c=a() = a[x2-(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1) (x-x2). 由上面的推導(dǎo)過程可以得到下面結(jié)論: 若拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點,則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0). 這樣,也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法:3.交點式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中x1,x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).今后,在求二次函數(shù)的表達(dá)式時,我們可以根據(jù)題目所提供的條件,選用一般式、頂點式、交點式這三種表達(dá)形式中的某一形式來解題. 【例1】 已知某二次函數(shù)的最大值為2,圖像的頂點在直線y=x+1上,并且圖象經(jīng)過點(3,-1),求二次函數(shù)的解析式.分析:在解本例時,要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點位置,從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點式,再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a.解:∵二次函數(shù)的最大值為2,而最大值一定是其頂點的縱坐標(biāo),∴頂點的縱坐標(biāo)為2.又頂點在直線y=x+1上,所以,2=x+1,∴x=1.∴頂點坐標(biāo)是(1,2).設(shè)該二次函數(shù)的解析式為,∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(3,-1),∴,解得a=-2.∴二次函數(shù)的解析式為,即y=-2x2+8x-7.說明:在解題時,由最大值確定出頂點的縱坐標(biāo),再利用頂點的位置求出頂點坐標(biāo),然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點式,最終解決了問題.因此,在解題時,要充分挖掘題目所給的條件,并巧妙地利用條件簡捷地解決問題.【例2】 已知二次函數(shù)的圖象過點(-3,0),(1,0),且頂點到x軸的距離等于2,求此二次函數(shù)的表達(dá)式.分析一:由于題目所給的條件中,二次函數(shù)的圖象所過的兩點實際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo),于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點式.解法一:∵二次函數(shù)的圖象過點(-3,0),(1,0),∴可設(shè)二次函數(shù)為y=a(x+3) (x-1) (a≠0),展開,得 y=ax2+2ax-3a, 頂點的縱坐標(biāo)為 ,由于二次函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離2,∴|-4a|=2,即a=.所以,二次函數(shù)的表達(dá)式為y=,或y=-. 分析二:由于二次函數(shù)的圖象過點(-3,0),(1,0),所以,對稱軸為直線x=-1,又由頂點到x軸的距離為2,可知頂點的縱坐標(biāo)為2,或-2,于是,又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點式來解,然后再利用圖象過點(-3,0),或(1,0),就可以求得函數(shù)的表達(dá)式. 解法二:∵二次函數(shù)的圖象過點(-3,0),(1,0),∴。求函數(shù)的最大值或最小值。當(dāng)自變量在下列范圍內(nèi)取值時,求函數(shù)的最值。. 乘法公式我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式:(1)平方差公式 ;(2)完全平方公式 .我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公式 ;(2)立方差公式 ;(3)三數(shù)和平方公式 ;(4)兩數(shù)和立方公式 ;(5)兩數(shù)差立方公式 .對上面列出的五個公式,有興趣的同學(xué)可以自己去證明.【例1】 計算:.解法一:原式= = =.解法二:原式= = =.【例2】 已知,求的值.解: . 練習(xí):已知,求的值.解: 原式=已知,求的值.解: 原式= ① ②,把②代入①得原式=說明:注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用.. 因式分解因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法,另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法.一、公式法【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多項式: (1) (2) 分析: (1)中,(2)中.解:(1) (2) 說明:(1) 在運用立方和(差)公式分解因式時,經(jīng)常要逆用冪的運算法則,如,這里逆用了法則;(2) 在運用立方和(差)公式分解因式時,一定要看準(zhǔn)因式中各項的符號.二、分組分解法從前面可以看出,能夠直接運用公式法分解的多項式,主要是二項式和三項式.而對于四項以上的多項式,如既沒有公式可用,也沒有公因式可以提?。虼?,可以先將多項式分組處理.這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法.分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組. 【例2】把分解因式. 分析:按照原先分組方式,無公因式可提,需要把括號打開后重新分組,然后再分解因式.解: 說明:由例例4可以看出,分組時運用了加法結(jié)合律,而為了合理分組,先運用了加法交換律,分組后,為了提公因式,又運用了分配律.由此可以看出運算律在因式分解中所起的作用. 【例3】把分解因式. 分析:先將系數(shù)2提出后,得到,其中前三項作為一組,它是一個完全平方式,再和第四項形成平方差形式,可繼續(xù)分解因式.解: 說明:從例例6可以看出:如果一個多項式的項分組后,各組都能直接運用公式或提取公因式進(jìn)行分解,并且各組在分解后,它們之間又能運用公式或有公因式,那么這個多項式就可以分組分解法來分解因式.三、十字相乘法1.型的因式分解這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn),其特點是:(1) 二次項系數(shù)是1;(2) 常數(shù)項是兩個數(shù)之積;(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)
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