數(shù)列極限的解法(15種)(文件)
【正文】 7. 解：原式= = = 解：因?yàn)橛? =同理由迫斂性得=.注：數(shù)列極限為“有無(wú)窮多項(xiàng)無(wú)窮小的和的數(shù)列極限，且每項(xiàng)的形式很規(guī)范”這一類型問(wèn)題時(shí)，這時(shí)需要綜合運(yùn)用迫斂性準(zhǔn)則等方法進(jìn)行討論。引理：數(shù)列收斂于的充要條件是：數(shù)列為無(wú)窮小數(shù)列．注：上述引理說(shuō)明，若，則可作“變量”替換：令，其中是一無(wú)窮小數(shù)列.定理1 ：若數(shù)列為無(wú)窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無(wú)窮小數(shù)列，反之亦成立．定理2 ：若數(shù)列為無(wú)窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無(wú)窮小數(shù)列．推論1 ：設(shè)數(shù)列為無(wú)窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無(wú)窮小數(shù)列．例18.(算數(shù)平均收斂公式)設(shè)，求極限. 解：由，作“變量”代換，令，==. 此題還可以用方法一（定義法）證明，也可通過(guò)方法七（施篤茲公式）求得，此略.，求極限. 解：由，作“變量”代換，令，其中，是一無(wú)窮小數(shù)列，故==因?yàn)?，所以是有界?shù)列，即，從而結(jié)合上述推論1有， 再根據(jù)定理1，便有又由定理2可知，∴=.注：利用無(wú)窮小數(shù)列求數(shù)列極限通常在高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析教材中介紹甚少，但卻是一種很實(shí)用有效的方法．用這種方法求某類數(shù)列的極限是極為方便的．。壓縮映射原理：設(shè)稱是上的一個(gè)壓縮映射且,對(duì)，有，則稱在上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，且，求. 解：考察函數(shù)=，易見(jiàn)對(duì)有，又， 所以 ，數(shù)列收斂. 設(shè)，則c是在的解，解得，即 =.（n個(gè)根式,a,n=1,2,）極限存在，并求. 解：易知，考察函數(shù)，且在上有，因此在上是壓縮的.，由壓縮映射原理，數(shù)列收斂且極限為方程的解，解得.此題也可通過(guò)方法三（單調(diào)有界定理）解得，此略.注：壓縮映射原理在實(shí)分析中有著十分廣泛的應(yīng)用，如用它可十分簡(jiǎn)單的證明穩(wěn)函數(shù)存在定理、微分方程解的存在性定理，特別的在求一些數(shù)列極限中有著十分重要的作用，往往可以使數(shù)列極限問(wèn)題得到簡(jiǎn)便快速的解決.（1）.若數(shù)列的遞推公式形如且已知，（為常數(shù)且，）解法：將遞推公式寫成矩陣形式，則有
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