高等代數(shù)76線性變換的值域與核(文件)
【正文】 rk k k? ? ? ?? ? ? ?于是有 1 1 2 2 , 1 1 0r r r r n nk k k k k? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?由于為 V的基 . 12, , , n? ? ?12 0nk k k? ? ? ? ?? A 的秩＝ n－ r . 因此， 的秩＋ 的零度＝ n. A A故 線 性無(wú)關(guān)，即它為 的一組基 . 1( ) , , ( )rn???AA ()VA雖然 與 的維數(shù)之和等于 n ，但是 ()VA 1(0)?A未必等于 V. 1( ) ( 0)V ??AA如在例 1中 , ? ? ? ?1 1[ ] 0 [ ] [ ]n n nP x P x P x? ?? ? ?DD注意： ⅰ ) 是滿射 A ()VV??A證明： ⅰ ) 顯然 . ⅱ ) 因?yàn)? 若 為單射，則 ? ?0 0 ,?A ? ?1 ( 0 ) 0 .? ?AA3. 設(shè) 為 n 維線性空間 V的線性變換，則 Aⅱ ) 是單射 A ? ?1 ( 0 ) 0???A反之 ，若 任取 若 ? ?1 ( 0 ) 0 ,? ?A ,V?? ?、( ) ( ) ,???AA則 ( ) ( ) ( ) 0 ,? ? ? ?? ? ? ?A A A即 .??= 故 是單射 . A ? ?1 ( 0 ) 0 ,?? ?? ? ?A從而 A 是單射 是滿射 . A?證明： 是單射 A? ?1 ( 0 ) 0???Ad i m ( )Vn??A4. 設(shè) 為 n 維線性空間 V的線性變換，則 A1d i m ( 0) 0?A是滿射 . ?A()VV??A例 設(shè) A是一個(gè) n階方陣， 證明： A相似于 2 ,AA?證： 設(shè) A是 n維線性空間 V的一個(gè)線性變換 在一 A組基 下的矩陣，即 12, , , n? ? ?? ?1 2 , 1 2 , , , ( , , , )nn A? ? ? ? ? ??A一個(gè)對(duì)角矩陣 1100??????????????????由 知 2 ,AA? 2 .?AA任取 設(shè) ( ) ,V? ? A ( ) , ,V? ? ???A則 2( ) ( ( ) ) ( ) ( )? ? ? ? ?? ? ? ?A A A A A故有
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