高等代數(shù)76線性變換的值域與核(已修改)
2025-08-17 18:50 本頁面
【正文】 高等代數(shù) __ 167。 6 線性變換的值域與核 一、值域與核的概念 定義 1：設(shè) 是線性空間 V的一個線性變換， A集合 ? ?( ) ( ) |VV????AA稱為 線性變換 的值域 ，也記作 或 I m , .VAAA集合 ? ?1 ( 0 ) | , ( ) 0V? ? ?? ? ? ?AA稱為 線性變換 的核 ，也記作 A ker .A命題 : 皆為 V的子空間 . 1( ) , ( 0)V ?AA證明 : 且對 ( ) , ( ) ,V V V? ? ?AA( ) , ( ) ( ) ,V k P??? ? ? ?A A A有 ( ) ( ) ( ) ( )V? ? ? ?? ? ? ?A A A A( ) ( ) ( )k k V????A A A即 對于 V的加法與數(shù)量乘法封閉 . ()VA()V? A 為 V的子空間 . 再看 1 (0) .?A 1 ( 0) , ( 0) 0 ,V? ??AA首先， 又對 有 從而 1, ( 0) ,?? ??? A ( ) 0 , ( ) 0????AA( ) ( ) ( ) 0 .? ? ? ?? ? ? ?A A A( ) ( ) 0 0,k k k k P??? ? ? ? ?AA即 11( 0) , ( 0) ,k? ? ???? ? ?AA故 為 V的子空間 . 1(0)?A110 ( 0) , ( 0) .??? ? ? ?AA1 ( 0)?? A 對于 V的加法與數(shù)量乘法封閉 . 定義 2： 線性變換 的值域 的維數(shù)稱為 的秩 ； ()VAA A 的核 的維數(shù)稱為 的零度 . 1(0)?AA A例 在線性空間 中，令 []nPx? ?( ) ( )f x f x?D則 ? ? 1[ ] [ ] ,nnP x P x ??D1 ( 0) P? ?D所以 的秩為 n－ 1， 的零度為 1. DD1. (定理 10) 設(shè) 是 n 維線性空間 V的線性變換， A是 V的一組基， 在這組基下的矩陣是 A， 12, , , n? ? ? A則 1） 的值域 是由基象組生成的子空間，即 A ()VA? ?12( ) ( ) , ( ) , , ( )nVL ? ? ??A A A A2） 的秩＝ A的秩 . A
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