【正文】 儀器上裝有 3個這種元件，三個元件損壞與否是相互獨立的 .求：使用的最初 90小時內(nèi)無一元件損壞的概率 . 解 :設(shè) Y為 使用的最初 90小時內(nèi)損壞的元件數(shù) , 2 5 1 )()15 1 0 090(}90{ ????????? XPp故 )1(}0{3 ???? pYP則 Y~B(3,p) 其中 正態(tài)分布表 一、離散型隨機變量函數(shù)的分布律 一維隨機變量函數(shù)的分布 (p55) 設(shè) X一個隨機變量，分布律為 X～ P{X＝ xk}＝ pk, k＝ 1, 2, … 若 y＝ g(x)是一元單值實函數(shù)，則 Y＝ g(X)也是一個隨機變量。)(yyyFyf YY當(dāng) y0時 0)( ?yFY當(dāng) 0≤y1時 當(dāng) y≥1時 1)( ?yFYy? y例 X的概率密度為 fX(x),y=g(x)關(guān)于 x處處可導(dǎo)且是 x的嚴格單減函數(shù)，求 Y=g(X)的概率密度。 一維隨機變量 X—— R1上的隨機點坐標(biāo) 二維隨機變量 (X,Y)—— R2上的隨機點坐標(biāo) n維隨機變量 (X1,X2,…,X n)——— Rn上的隨機點坐標(biāo) 多維隨機變量的研究方法也與一維類似， 用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)計規(guī)律 (p41)設(shè) (X, Y)是二維隨機變量， (x, y)?R2, 則稱 F(x,y)=P{X?x, Y?y} 為 (X, Y)的 分布函數(shù) ，或 X與 Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 例 (X,Y)的分布函數(shù)為 )]3() ] [2([),( ya r c t gCxa r c t gBAyxF ???1)求常數(shù) A， B， C。 (2)歸一性 ： ???????－－。 ??? ?????其它,00,0,),(~),( )32( yxAeyxfYX yx例 4. 設(shè) 解 (1)由歸一性 ??????????? ?? ?－－00) 3 2 (1 ) , (dxdy Ae dxdy y x fy x6?? A ? ? ???? ???? 101032)32( )1)(1(6)1,1()2( eed x d yeF yx(3) (X, Y)落在三角形區(qū)域 D： x?0, y?0, 2X+3y?6 內(nèi)的概率。 ? ?? ?nnn bxabxaxxD ????? , . . .:, . . . 111? ?? ? ? ??? D nnn dxdxxxfDXXP ...), . . .,x(...... 1211定義 . n維隨機變量 (X1,X2,...Xn)， 如果存在非負的 n元函數(shù) f(x1,x2,...xn)使對任意的 n元立方體 定義 . 若 (X1,X2,...Xn)的全部可能取值為 Rn上的有限或可列無窮多個點，稱 (X1,X2,...Xn)為n維離散型的，稱 P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn} ， (x1,x2,...xn) 為 n維隨機變量 (X1,X2,...Xn)的聯(lián)合分布律。 解： F X (x) = F ( x, ? )=???????0001xxexF Y ( y ) = F ( ? ,y ) = ?????????0001yyyeeyy二、邊緣分布律 若隨機變量 X與 Y的聯(lián)合分布 律為 (p47) (X, Y)～ P{X＝ xi, Y＝ yj,}＝ pij ， i, j＝ 1, 2, … 則稱 P{X＝ xi}＝ pi.＝ ， i＝ 1, 2, … 為 (X, Y)關(guān)于 X的 邊緣分布律 ； ??1jijp??1iijpP{Y＝ yj}＝ ＝ ， j＝ 1, 2, … 為 (X, Y)關(guān)于 Y的邊緣分布律。 ? ???? dyyxfxf X ),()(? ???? dxyxfyf Y ),()(設(shè) (X, Y)～ f (x, y), (x, y)?R2, 則稱 (p48) 為 (X, Y)關(guān)于 X的邊緣密度函數(shù)； 同理，稱 易知 N(?1, ?2, ?12, ?22, ?)的邊緣密度函數(shù) fX(x)是 N(?1, ?12)的密。 例 (X,Y)的分布律為 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 求 X、 Y的邊緣分布律。 求 ： （ 1） P{X?0},(2)P{X?1},(3)P{Y ? y0} ??? ????o t h e r syxeyxfy00),(EX:隨機變量（ X， Y）的概率密度為 x y D 答 : P{X?0}=0 1101}1{ ??? ???? ?? edyedxXPxy????????? ???000}{000000yydyedxyYPyxyyFY(y)＝ F (+?, y)＝ ＝ P{Y?y} 稱為二維隨機變量 (X, Y)關(guān)于 Y的邊緣分布函數(shù) . )y,x(Flimy ???)y,x(Flimx ??? 一、邊緣分布函數(shù) (p46) FX(x)＝ F (x, +?)＝ ＝ P{X?x} 稱為二維隨機變量 (X, Y)關(guān)于 X的邊緣分布函數(shù)； 邊緣分布實際上是高維隨機變量的某個 (某些 )低維分量的分布 。 ????? ???其它，的面積,0),(1),(2RDyxDyxfDGSSGYXP ?? }},{(易見，若（ X， Y） 在區(qū)域 D上 (內(nèi) ) 服從均勻分布，對 D內(nèi)任意區(qū)域 G， 有 例 (X,Y)服從如圖區(qū)域 D上的均勻分布， (1)求 (X,Y)的概率密度 ； (2)求 P{Y2X} ； (3)求 F(,) 1?DS41123211 ?????GS41211213 ????S其中， ? ?2為實數(shù)， ?? | ? |1，則稱 (X, Y) 服從參數(shù)為 ?1, ?2, ?1, ?2, ?的 二維正態(tài)分布，可記為 ),(~),( 222121 ?????NYX(2)二維正態(tài)分布 N(?1, ?2, ?1, ?2, ?) 若二維隨機變量 (X, Y)的密度函數(shù)為 (P101) ,e121)y,x(f])y()y)(x(2)x([)1(212212222212121212 ????????????????????????分布函數(shù)的概念可推廣到 n維隨機變量的情形。y,x(fyx )y,x(F2????反之，具有以上兩個性質(zhì)的二元函數(shù) f (x, y)， 必是某個二維連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù) 。 若二維離散型隨機變量 (X, Y) 取 (xi, yj)的概率為 pij,則稱 P{X＝ xi, Y＝ yj,}＝ pij ， (i, j＝ 1, 2, … )，為二維離散型隨機變量 (X, Y)的分布律，或隨機變量 X與 Y的聯(lián)合分布 律 . 可記為 (X, Y)～ P{X＝ xi, Y＝ yj,}＝ pij ， (i, j＝ 1, 2, … ) ， X Y y1 y2 … y j … p11 p12 ... P1j ... p21 p22 ... P2j ... pi1 pi2 ... Pij ... ... ... ... ... ... ... ... ... 聯(lián)合分布 律 的性質(zhì) (1) pij ?0 , i, j＝ 1, 2, … ； (2) 1p1i 1jij＝? ?? ?x1 x2 xi 二維離散型隨機變量的分布律 也可列表表示如下 : P43 例 3.(P43)袋中有兩只紅球，三只白球，現(xiàn)不放回摸球二次， 令 ????????第二次摸到白球第二次摸到紅球第一次摸到白球第一次摸到紅球0101YX ,求 (X,Y)的分布律。如圖陰影部分： 對于 (x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1 x2， y1y2 ),則 P{x1X? x2， y1y?y2 } ＝ F(x2, y2)－ F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋ F (x1, y1). (x1, y1) (x2, y2) (x2, y1) (x1, y2) 分布函數(shù) F(x, y)具有如下 性質(zhì) ： (p4142) 0),(l i m),( ????????????yxFFyx1),(lim),( ????????yxFFyx且 0),(lim),( ???????yxFyFx0),(lim),( ???? ??? yxFxF y(1)歸一性 對任意 (x, y) ?R2 , 0? F(x, y) ? 1, (2)單調(diào)不減 對任意 y ?R, 當(dāng) x1x2時， F(x1, y) ? F(x2 , y)； 對任意 x ?R, 當(dāng) y1y2時， F(x, y1) ? F(x , y2). )。 2 注意定義域的選擇 其中 h(y)為 y＝ g(x)的反函數(shù) . 例 X?N(?,?2),求 解： ? ?222222121 yyee???????????????? XY 的概率密度 ???? XY關(guān)于 x嚴單 ,反函數(shù)為 ?? ?? yyh )(故 ??? )(|)(|)]([)( ???? yfyhyhfyf XXY例 4 設(shè) X~U(0,1),求 Y=ax+b的概率密度 .(a≠0) 解 : Y=ax+b關(guān)于 x嚴單 ,反函數(shù)為 abyyh ??)(故 aabyfyhyhfyfXY1)(|)(|)]([)( ????而 ??? ???ot he r sxxfX 0101)(故 ?????????o t h e r sabyayf Y0101)(小結(jié) . 0 1 分布二項分布 B （ n , p )泊松分布 P ( )離散型——分布律歸一性分布函數(shù)與分布律的互變概率計算分布函數(shù)歸一性概率計算單調(diào)性正態(tài)分布的概率計算 均勻分布 U(a , b )正態(tài)分布 N(a , )指數(shù)分布 E （ )連續(xù)型——概率密度歸一性概率計算分布函數(shù)與概率密度的互變隨機變量 隨機變量函數(shù)的分布? ?2?習(xí)題課 一、填空： X服從參數(shù)為（ 2,p）的二項分布，隨機變量 Y服從參數(shù)（ 3,p）的二項分布，若 ， 則 P{Y≥ 1}= 95}1{ ??XP X服從（ 0， 2）上的均勻分布，則隨機變量 Y=X2在（ 0， 4）內(nèi)的密度函數(shù)為 fY(y)= X~N（ 2， σ 2），且 P（ 2X4） =，則 P(X0)= 二 .從某大學(xué)到火車站途中有 6個交通崗 ,假設(shè)在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立 ,并且遇到紅燈的概率都是 1/ Y表示汽車在第一次停止之前所通過的交通崗數(shù) ,求 Y的分布律 .(假定汽車只在遇到紅燈或到達火車站時停止 ) 三、 某射手對靶射擊，單發(fā)命中概率都為 ，現(xiàn)他扔一個均勻的骰子，扔出幾點就對靶獨立射擊幾發(fā)，求他恰好命中兩發(fā)的概