【正文】 (p36) 若 X～ ?????? ??0x,00x,e)x(f x＝則稱 X服從參數(shù)為 ?0的 指數(shù)分布。1)x(Flim)(F,0)x(Flim)(F xx ???????? ??????).x(F)x(Fl i m)0x(F 0xx00??? ?? 右連續(xù)性：對任意實(shí)數(shù) x， 反之，具有上述三個性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 解：設(shè) Ai? 第 i次射擊時命中目標(biāo)， i=1,2,3,4,5 則 A1,A2,… A5,相互獨(dú)立且 P(Ai)=p,i=1,2,… 5. SX={0,1,2,3,4,5}, (1p)5 ??? )(}0{54321 AAAAAPXP. . .{}1{ 5432154321 ?? AAAAAAAAAAPXP ?? 4)1(5 pp ??5, . . . ,1,0)1(}{ 55 ???? ? kppCkXP kkk??? . . .{}2{ 5432154321 ?? AAAAAAAAAAPXP 3225 )1( PPC ? )() . . . .(1)...{ 121 nn APAPAAAP ?????設(shè) AL至 R為通路 ,Ai第 i個繼電器通 ,i=1,2,…5 )()|( 52413 AAAAPAAP ??422 pp ??)})({()|( 54213 AAAAPAAP ???)()()|( 54213 AAPAAPAAP ???22 )2( pp ??由全概率公式 )()|()()|()( 3333 APAAPAPAAPAP ?? 5432 2522 pppp ????EX1:一個學(xué)生欲到三家圖書館借一本參考書．每家圖書館購進(jìn)這種書的概率是 1/2，購進(jìn)這種書的圖書館中該書被借完了的概率也是 1/2．各家圖書館是否購進(jìn)該書相互獨(dú)立．問該學(xué)生能夠借到書的概率是多少？ 第一章 小結(jié) 本章由六個概念（隨機(jī)試驗(yàn)、事件、概率、條件概率、獨(dú)立性），四個公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式）和一個概型（古典概型）組成 第二章隨機(jī)變量 ? 離散型隨機(jī)變量 ? 隨機(jī)變量的分布函數(shù) ? 連續(xù)型隨機(jī)變量 ? 一維 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 ? 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布 ? 多維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨(dú)立性 ? 條件分布 ? 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 關(guān)于隨機(jī)變量 (及向量 )的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因?yàn)椋瑢τ谝粋€隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量．也可以說：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動態(tài)的觀點(diǎn)，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是 隨機(jī)變量 (p24)定義 . 設(shè) S={e}是試驗(yàn)的樣本空間，如果量 X是定義在 S上的一個單值實(shí)值函數(shù)即對于每一個 e?S，有一實(shí)數(shù) X=X(e)與之對應(yīng)，則稱 X為 隨機(jī)變量 。 由于信道中存在干擾 ， 在發(fā) 0的時候 ， 接收端分別以概率 、 0、 1和 “ 不清 ” 。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。 ? P(1013) (1) 有限 可加性 ： 設(shè) A1， A2， …A n , 是 n個兩兩互不相容的事件，即 AiAj＝ ? ， (i?j), i , j＝ 1, 2, …, n ,則 有 P( A1 ? A2 ? … ? An)＝ P(A1) ＋ P(A2)+… P(A n)。 有重復(fù)排列：從含有 n個元素的集合中隨機(jī) 抽取 k 次，每次取一個，記錄其結(jié)果 后放回，將記錄結(jié)果排成一列， n n n n 共有 nk種排列方式 . 無重復(fù)排列：從含有 n個元素的集合中隨機(jī)抽取 k 次， 每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列， 共有 Pnk=n(n1)… (nk+1)種排列方式 . n n1 n2 nk+1 組合：從含有 n個元素的集合中隨機(jī)抽取 k 個， 共有 種取法 . )!(!!! knknkPknCknkn????????????抽球問題 例 1:設(shè)合中 有 3個白球， 2個紅球，現(xiàn)從合中任 抽 2個 球，求取到一紅一白的概率。 ?三、事件之間的關(guān)系 既然事件是一個集合，因此有關(guān)事件間的關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則也就按集合間的關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則來處理。 隨機(jī)試驗(yàn)常用 E表示 E1: 拋一枚硬幣，分別用“ H” 和“ T” 表示出正面和反面 。五、事件的運(yùn)算 (p5) 交換律： A?B＝ B?A， AB＝ BA 結(jié)合律 ： (A?B)?C＝ A?(B?C)， (AB)C＝ A(BC) 分配律 ： (A?B)C＝ (AC)?(BC)， (AB)?C＝ (A?C)(B?C) 對偶 (De Man)律 ： .,???????kkkkkkkk AAAABAABBABA????可推廣例：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以 A、B、 C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用 A、 B、 C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件： ::::::::::::654321“三人均未命中目標(biāo)”“三人均命中目標(biāo)””“最多有一人命中目標(biāo)“恰有兩人命中目標(biāo)”“恰有一人命中目標(biāo)””“至少有一人命中目標(biāo)AAAAAACBA ??CBACBACBA ??CBABCACAB ??BACACB ??ABCCBA ?? 概率的定義及其運(yùn)算 從直觀上來看，事件 A的概率是描繪事件 A發(fā)生的可能性大小的量 P（ A） 應(yīng)具有何種性質(zhì)？ * 拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？ * 擲一顆骰子，出現(xiàn) 6點(diǎn)的概率為多少？ 出現(xiàn)單數(shù)點(diǎn)的概率為多少？ * 向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？ (p10)若某實(shí)驗(yàn) E滿足： ：樣本空間 S＝ {e1, e 2 , … , e n }。 分球入盒問題 例 2：將 3個球隨機(jī)的放入 3個盒子中去，問： （ 1）每盒恰有一球的概率是多少？ （ 2）空一盒的概率是多少？ 解 :設(shè) A:每盒恰有一球 ,B:空一盒 33)( ?SN !3)( ?AN92)( ?AP}{}{1)( 全有球空兩合 PPBP ???32923313 ????一般地，把 n個 球隨機(jī)地分配到 m個盒子中去(n?m)， 則每盒至多 有一 球的概率是： nnmmPp ?P9 某班級有 n 個人 (n?365)， 問至少有兩個人的生日在同一天 的概率有多大？ 例 3： 30名學(xué)生中有 3名運(yùn)動員，將這 30名學(xué)生平均分成 3組，求： （ 1）每組有一名運(yùn)動員的概率； （ 2） 3名運(yùn)動員集中在一個組的概率。 解 :設(shè) A— 取到 的數(shù)能被 2整除 。 解：設(shè) Ai為第 i次取球時取到白球，則 )|()|()|()()( 32142131214321 AAAAPAAAPAAPAPAAAAP ?52)(1 ?AP63)|(12 ?AAP73)|(213 ?AAAP84)|(3214 ?AAAAP三、全概率公式與貝葉斯公式 例 4.(p16)市場上有甲 、 乙 、 丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品 ， 已知三家工廠的市場占有率分別為 1/ 1/ 1/2，且三家工廠的次品率分別為 2％ 、 1％ 、 3％ ， 試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率 。 問發(fā)端發(fā)的是 0的概率是多少 ? ) B A ( P ＝ ) A ( P ) A B ( P ) A ( P ) A B ( P ) A ( P ) A B ( P ? ＝ ＝ 解：設(shè) A發(fā)射端發(fā)射 0， B 接收端接收到一個 “ 1”的信號 ． ????0 () 0 1 不清 () () () 1 () 1 0 不清 () () () 條件概率 條件概率 小 結(jié) 縮減樣本空間 定義式 乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式 事件的獨(dú)立性 一、兩事件獨(dú)立 (P19) 定義 1 設(shè) A、 B是兩事件， P(A) ≠0,若 P(B)＝ P(B|A) () 則稱事件 A與 B相互 獨(dú)立 。 ②進(jìn)行 5次試驗(yàn)，事件 D={試驗(yàn)成功一次 }， F={試驗(yàn)至少成功一次 }， G={至多成功 3次 } ????????奇異型（混合型）連續(xù)型非離散型離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分類 ： 隨機(jī)變量 (P25)定義 若隨機(jī)變量 X取值 x1, x2, …, x n, … 且取這些值的概率依次為 p1, p2, …, p n, … , 則稱X為離散型隨機(jī)變量，而稱 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 為 X的 分布律 或概率分布。 泊松 定理 (p28) 設(shè)隨機(jī)變量 Xn~B(n, p), (n＝ 0, 1, 2,…), 且 n很大， p很小，記 ?=np， 則 , . . .2,1,0,!}{ ??? ? kekkXPk??解 設(shè) X表示 400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)， 則 X～ B(400, )，故 P{X?2}＝ 1－ P{X＝ 0}－ P {X＝ 1} ＝ 1－ － (400)()()=… 上題用泊松定理 取 ? =np＝ (400)()＝ 8, 故 近似地有 P{X?2}＝ 1－ P{X＝ 0}－ P {X＝ 1} ＝ 1－ (1＋ 8)e－ 8＝ . （二 . ） 泊松 (Poisson)分布 P(?)(p28) X～ P{X＝ k}＝ , k＝ 0, 1, 2, … (??0) ??? e!kk泊松 定理表明， 泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布， 當(dāng) n很大， p很小時， 二項(xiàng)分布就可近似地 看成是參數(shù) ?=np的 泊松分布 例 X服從參數(shù)為 ?的泊松分布 ,且知一對夫婦有不超過 1個孩子的概率為 任選一對夫婦 ,至少有 3個孩子的概率。 ?????????????2,121,10,1,0xxxx＝例 2 向 [0,1]區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以 X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo) .假定 質(zhì)點(diǎn)落在 [0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比 ，求 X的分布函數(shù) 解： F(x)=P{X≤x} ???????????1,110,0,0)()(xxxxxXPxF ＝＝)(xFx101當(dāng) x0時 ,F(x)=0。 解 }{)( tTPtF ??當(dāng) t ≤0時， 0)( ?tF當(dāng) t 0時， }{)( tTPtF ?? }{1 tTP ???=1 {在 t時刻之前無汽車過橋 } }0{1 ??? tXP te ???? 1于是 ??????? ?000)(39。求 Y的分布律 . 例 :已知 X Pk 1 0 1 313131求： Y=X2的分布律 Y Pk 1 0 3132或 Y＝ g(X)～ P{Y＝ g(xk)}＝ pk ， k＝ 1, 2, … （ 其中 g(xk)有相同的，其對應(yīng)概率合并。 二 . 聯(lián)合分布函數(shù) 00 , yx? ?? ?00 , yyxxyx ????????幾何意義： 分布函數(shù) F( )表示隨機(jī)點(diǎn) (X,Y)落在區(qū)域 中的概率。 1 ) , (dxdy y x f)。 則稱 (X1,X2,...Xn)為 n維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x1,x2,...xn)為 (X1,X2,...Xn)的概