【正文】 (x2)。 一般地，設(shè) A1， A2， … ， An是 n個事件 ，如果對 任意 k (1?k?n), 任意的 1?i1?i2 ?… ? ik? n， 具有等式 P(A i1 A i2 … A ik)＝ P(A i1)P(A i2)…P(A ik) () 則稱 n個事件 A1， A2， … ， An相互獨立 。 (3) 可列可加性 ： 設(shè) A1， A2， … , 是一列兩兩互不相容的事件，即 AiAj＝ ?， (i?j), i , j＝ 1, 2, … , 有 P( A1 ? A2 ? … )＝ P(A1) ＋ P(A2)+… . 則稱 P(A)為事件 A的 概率 。 （也可推廣到分若干步） 復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念 加法公式：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有 n1種方法，第二種途徑有 n2種方法，則完成這件事共有 n1+n2種方法。 E7:任選一人，記錄他的身高和體重 。B: 3名運動員集中在一組 !10!10!10!30)( ?? 101010201030 CCCSN20 350)(!9!9!9!27!3)( ??SNAP)(3)( 10101020727SNCCCBP ??!! . . . .!1 mnnn一般地，把 n個 球隨機(jī)地分成 m組 (nm),要求第 i 組恰 有 ni個球 (i=1,…m) ，共有分法： 4 隨機(jī)取數(shù)問題 例 4 從 1到 200這 200個自然數(shù)中任取一個 , (1)求取到的數(shù)能被 6整除的概率 (2)求取到的數(shù)能被 8整除的概率 (3)求取到的數(shù)既能被 6整除也能被 8整除的概率 解 :N(S)=200, N(3)=[200/24]=8 N(1)=[200/6]=33, N(2)=[200/8]=25 (1),(2),(3)的概率分別為:33/200,1/8,1/25 某人向目標(biāo)射擊， 以 A表示事件“命中目標(biāo)”， P（ A） =？ 定義 :(p8) 事件 A在 n次重復(fù)試驗中出現(xiàn) nA次，則 比值 nA/n稱為事件 A在 n次重復(fù)試驗中 出現(xiàn)的 頻率 ，記為 fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n. 頻率與概率 歷史上曾有人做過試驗 ,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時，出現(xiàn)正反面的機(jī)會均等。( ) , ( ) , , 1 , 2 , ... , .niiijiAi i A A i j i j n???? ? ?A1 A2 … … … … … An B ? 定理 (p17) 設(shè) A1， …, A n是 ?的一個劃分，且 P(Ai)0， (i＝ 1， … ， n)， 則對任何事件 B? ?有 )()|()()(1??niii ABPAPBP ＝式 ()就稱為 全概率公式 。 (2) ??1.1kkp ＝.}{ 35332CCCkXP kk ?＝＝例 1 設(shè)袋中有 5只球，其中有 2只白 3只黑。 于是 ???????badxxfbXaPbXaPbXaP)(}{}{}{＝＝＝P(35) 例 X的概率密度為 1)求 X的分布函數(shù) F(x), 2)求 P{X?(,)} ???????????其他021210)( xxxxxf二、幾個常用的連續(xù)型分布 1. 均勻分布 (p36) 若 X～ f(x)＝ ????? ???，其它0bxa,ab1。 ? ?? ? ? ?dxxfyFxxgyxxfyxXYX???????????????22)(01121其它?ydxFyyY ?? ?? 21????? ????其它01021)(39。 此外， f (x, y)還有下述性質(zhì) (3)若 f (x, y)在 (x, y)?R2處連續(xù)，則有 ????Gd x d yyxfGYXP .),(}),{((4)對于任意平面區(qū)域 G? R2, 設(shè) ??? ?????ot he r syxyxfYX010,101),(~),(求 :P{XY} 211}{010???? ??xdydxYXP求： (1)常數(shù) A； (2) F(1,1)； (3) (X, Y)落在三角形區(qū)域 D： x?0, y?0, 2X+3y?6 內(nèi)的概率。 解： x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 故關(guān)于 X和 Y的分布律分別為： X 1 0 Y 1 0 P 2/5 3/5 P 2/5 3/5 2/5 3/5 2/5 3/5 三、邊緣密度函數(shù) 為 (X, Y)關(guān)于 Y的邊緣密度函數(shù)。 X Y 1 0 1 0 1011031031032522}1,1{PPYXP ???2532}0,1{PYXP????2523}1,0{PYXP????2523}0,0{PPYXP ???四 .二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù) 定義 p44 對于二維隨機(jī)變量 (X, Y)， 若存在一個非負(fù)可積函數(shù) f (x, y)， 使對 ?(x, y)?R2， 其分布函數(shù) ? ??? ???x y,d u d v)v,u(f)y,x(F則稱 (X, Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x,y)為 (X, Y)的密度函數(shù) (概率密度 )，或 X與 Y的 聯(lián)合密度函數(shù) ，可記為 (X, Y)～ f (x, y)， (x, y)?R2 聯(lián)合密度 f(x, y)的性質(zhì) (p44) (1)非負(fù)性 ： f (x, y)?0, (x, y)?R2。 (P226附表 1)如，若 Z~N（ 0， 1） ,?（ )=, P{Z}=?()?() = 注 ： (1) ?(x)＝ 1－ ?(－ x)； (2) 若 X～ N(?, ?2)， 則 ).(}{)( ? ?????? xxXPxF正態(tài)分布表 設(shè)隨機(jī)變量 X~N(1,22),P{X}=? P(39)例 X?N(?,?2), 求 P{?3?X?+3?} 本題結(jié)果稱為 3? 原則 .在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P{|X|≤3} ≈1 ，忽略 {|X|3}的值 . 如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值 177。故該三個性質(zhì)是 分布函數(shù)的充分必要性質(zhì) 。 隨機(jī)變量 常用 X、 Y、 Z 或 ?、 ?、 ?等表示。 紅 白 新 40 30 舊 20 10 設(shè) A從盒中隨機(jī)取到一只紅球 . B從盒中隨機(jī)取到一只新球 . 60?An 40?ABn32)|( ??AABnnABP二、 乘法公式 (p15) 設(shè) A、 B? ? ， P（ A） 0,則 P(AB)＝ P(A)P(B|A). () 式 ()就稱為事件 A、 B的概率 乘法公式 。 解 :設(shè) A取到一紅一白 25()NC?? 1213)( CCAN ?53)(251213 ???CCCAP答 :取到一紅一白的概率為 3/5 一般地，設(shè)盒中有 N個球，其中有 M個白球，現(xiàn)從中任 抽 n個 球，則這 n個 球中恰有k個白球的概率是 nNknMNkMCCCp???在實際中，產(chǎn)品的檢驗、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機(jī)抽球問題。概率與統(tǒng)計 開課系：非數(shù)學(xué)專業(yè) 教師 : 葉梅燕 yemeiyan 教材： 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 》 王松桂 等編 科學(xué)出版社 2022 參考書： 1.《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 》 浙江大學(xué) 盛驟等 編 高等教育出版社 2. 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 》 魏振軍 編 中國統(tǒng)計出版社 序 言 概率論是研究什么的？ 隨機(jī)現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性 概率論 —— 研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的科學(xué) 目 錄 ? 第一章 隨機(jī)事件及其概率 ? 第二章 隨機(jī)變量 ? 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 ? 第四章 樣本及抽樣分布 ? 第五章 參數(shù)估計 ? 第六章 假設(shè)檢驗 第一章 隨機(jī)事件及其概率 ? 隨機(jī)事件及其運算 ? 概率的定義及其運算 ? 條件概率 ? 事件的獨立性 一、隨機(jī)試驗 (簡稱 “ 試驗 ” ) 隨機(jī)試驗的特點 (p1) ； ，但能確定所有的可能結(jié)果。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學(xué)意義更加突出，而不必過多的交代實際背景。 式 ()還可推廣到三個事件的情形： P(ABC)＝ P(A)P(B|A)P(C|AB). () 一般地，有下列公式： P(A1A2…A n)＝ P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…A n－ 1). () 例 3 合中有 3個紅球， 2個白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放 入一只與所取之球顏色相同的球，若從合中連續(xù)取球 4次 ,試求第 2次取得白球、 第 4次取得紅球的概率。 隨機(jī)變量的特點 : 1 X的全部可能取值是互斥且完備的 2 X的部分可能取值描述隨機(jī)事件 EX． 引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件： ①將 3個球隨機(jī)地放入三個格子中， 事件 A={有 1個空格 }， B={有 2個空格 }， C={全有球 }。 一般地，對離散型隨機(jī)變量 X～ P{X= xk}＝ pk, k＝ 1, 2, … 其分布函數(shù)為 ?????xxkkkpxXPxF:}{)(例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X具分布律 如右表 解 )(xFx011 2}{)( xXPxF ?＝X 0 1 2 P 試求出 X的分布函數(shù) 。 3?作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報 .表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常 . 正態(tài)分布表 (p67)14 一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時）服從正態(tài)分布Ｎ (100,152),某儀器上裝有 3個這種元件，三個元件損壞與否是相互獨立的 .求：使用的最初 90小時內(nèi)無一元件損壞的概率 . 解 :設(shè) Y為 使用的最初 90小時內(nèi)損壞的元件數(shù) , 2 5 1 )()15 1 0 090(}90{ ????????? XPp故 )1(}0{3 ???? pYP則 Y~B(3,p) 其中 正態(tài)分布表 一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律 一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 (p55) 設(shè) X一個隨機(jī)變量，分布律為 X～ P{X＝ xk}＝ pk, k＝ 1, 2, … 若 y＝ g(x)是一元單值實函數(shù)，則 Y＝ g(X)也是一個隨機(jī)變量。 (2)歸一性 ： ???????－－。 ? ???? dyyxfxf X ),()(? ???? dxyxfyf Y ),()(設(shè) (X, Y)～ f (x, y), (x, y)?R2, 則稱 (p48) 為 (X, Y)關(guān)于 X的邊緣密度函數(shù)； 同理，稱 易知 N(?1, ?2, ?12, ?22, ?)的邊緣密度函數(shù) fX(x)是 N(?1, ?12)的密。y,x(fyx )y,x(F2????反之，具有以上兩個性質(zhì)的二元函數(shù) f (x, y)， 必是某個二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù) 。） 一般地 X Pk Y=g(X) ?????? kxxx 21?????? kppp 21?????? )()()( 21 kxgxgxg