概率論與統(tǒng)計(jì)4-1大數(shù)定律(文件)
【正文】 事件列中如果在一個(gè)獨(dú)立試驗(yàn)序 kA,次記在前以試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率等于 nμp nk ,0, ?εA 則對(duì)任意的出現(xiàn)的次數(shù)試驗(yàn)中事件都有 定理 泊松大數(shù)定理 ? ?nkAkAkXk ,2,1,1,0 ?????發(fā)生次試驗(yàn)中第不發(fā)生次試驗(yàn)中第＝證 令 由 定理 . , 21 服從同一分布相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量 nXXX ?01lim1???????????????????niin XnP都有任意的 ,0??? ? ? ? 則對(duì)且具有數(shù)學(xué)期望 ,2,1 nkXE k ??? ?注 1? 與 切比謝夫大數(shù)定理 相比 , 不要求方差存在且有界 . 2? 貝努里大數(shù)定理 是 辛欽大數(shù)定理 的特例 . 定理 辛欽大數(shù)定理 ?? , 21 nXXX設(shè)隨機(jī)變量 獨(dú)立同分布 , ,2,1,)(,0)( 2 ???? kσXDXE kk且 證明對(duì)任意 11lim 212 ?????????????????εσXnPnkkn解 所以是相互獨(dú)立的因?yàn)?, 21 ?? nXXX., 22221 也是相互獨(dú)立的?? nXXX有正數(shù) ,ε? ? ,0?kXE 由? ? ? ?? ? .)( 222 ???? kkk XEXDXE得例 3 由 辛欽大數(shù)定理 知 , 有對(duì)于任意正數(shù) ,?.11l im 212 ???????????????????nkkn XnP設(shè) f(x) (a? x ? b) 是連續(xù)函數(shù) , 試用概率論 ? ? xxfba d?方法近似計(jì)算積分 . 解 設(shè) |f(x)| 的一個(gè)上界 為 M (M0), f(x)的最小值 為 h, 則 ? ? ,120 ??? M hxf故不妨假定 0 ? f(x) ? 1, 引進(jìn)新變量 z: x ? (b?a)z?a后 , 可將 x 軸上的區(qū)間 [a, b]變?yōu)? z 軸上 [0, 1], 故不妨設(shè) a ? 0, b ? 1. 例 4 O y x y＝ f(x) A 1 1 考慮幾何型隨機(jī)試驗(yàn) E:向矩形 0? x ? 1, 0? y ? 1 中 均勻分布地?cái)S點(diǎn) , 將 E獨(dú)立地重復(fù)做下去 , 以 A表示 此矩形中曲線 y ? f (x)下的區(qū)域 , 即 A={(x, y):0 ? y? f (x)。XX Pn ? ??。 可以證明： 均方收斂則平均收斂 。 )}({ ?nY 定義 設(shè)隨機(jī)變量序列 和隨機(jī)變量 )(?Y ，若 1)}()(l i m:{ ???? ??? YYP nn 1}l i m{ ???? YYP nn或簡(jiǎn)記為 Y以概率 1（或 幾乎處處 ） 收斂于隨機(jī)變量 YY ean ? ?? .簡(jiǎn)記為
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