【正文】 0 baxbaxf ?內(nèi)有定義，在設(shè)),( 0 ?xUx ?對(duì)極大值 ,x0稱為極大值點(diǎn)； 若 f(x) f(x0),則稱 f(x0)為 f(x)的一個(gè) 極小值 ,x0稱為極小值點(diǎn)。在則 0)( xxf點(diǎn)無極值在則不變號(hào)的左右在當(dāng) 00 )(,)()3 xxfxfxx ?.別法易證因?yàn)橛珊瘮?shù)單調(diào)性的判證略 ??124 求極值的步驟 的極值求函數(shù)例 xxf ?)(:???????00)(:xxxxxf解???????????01001)(xxxxf 不存在的極小值為 xxfx ?? )(0125 :求函數(shù)極值的步驟)()1 xf ?求出不存在的點(diǎn)求出全部駐點(diǎn)以及令 )(0)()2 xfxf ???進(jìn)行判別用定理 2)3的全部極值即為值求出各極值點(diǎn)處的函數(shù) )(,)4 xf126 例 ? ? 的極值。用第一充分條件判定。能較好的表達(dá)該零件的時(shí)當(dāng) xn xxxx n???? ??21138 作業(yè) 作 業(yè) P205頁： 35(A) 1(1)(4)(9), 2(1), 7 P206頁： 35(B) 1, 5, 7 139 第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪 第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪 140 一、曲線的漸近線 定義 如果曲線 C 上的點(diǎn) M 沿曲線 C 離原點(diǎn)無限遠(yuǎn)離時(shí) , M 與某一直線 L 的距離越來越近，趨近于零，則稱 L 為 C 的一條 漸近線 。,)( 個(gè)部分區(qū)間分成用這些點(diǎn)將的間斷點(diǎn)的點(diǎn)以及 nDxf確定函數(shù)的單的符號(hào)在這些部分區(qū)間內(nèi)確定 ,)(),()3 xfxf ???。 –1 0 1 – 0 (拐點(diǎn) ) 間斷點(diǎn) 間斷點(diǎn) – + 曲線有垂直漸近線 x =1， x = –1 x = 0 ?????????? 221 )1(lim xxx?）1,( ??? )0,1(? )1,0( ),1( ??149 1 –1 ????? )( xxy.0 x y ?150 作 業(yè) P213頁： 36(A) 1(1)(3), 2(2) P206頁： 36(B) 1(雙 ), 2(4) 作業(yè) 151 的斜漸近線求函數(shù)例xxxf??1)(21)1(lim)(lim2??????? xxxxxfxx?解：11lim)1(lim])([lim2???????????????? xxxxxaxxfbxxx1??? xy斜漸近線方程為。)4 確定曲線的漸近線為使圖形作的根所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值及求出 ,0)(0)()5 ????? xfxf交特別是曲線與坐標(biāo)軸的特殊點(diǎn)的相對(duì)準(zhǔn)確可補(bǔ)充一些 ,.點(diǎn)坐標(biāo)二、函數(shù)圖像的描繪 144 例 。 142 斜漸近線 L: y = ax + b x y 0 K M L 143 :驟利用導(dǎo)數(shù)作圖的一般步。 130 131 二,函數(shù)的最大最小值 二 , 函數(shù)的最大最小值 ? ? 有限個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，上連續(xù)，可導(dǎo)且至多在在設(shè) baxf ,)(:）（則 xf? ? 必存在，最小值）的最大值（上，在 mMxfba01值必為極大小則此最大值在區(qū)間內(nèi)取得小如最大 )(,)(2 0所以極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)內(nèi)可導(dǎo)在因?yàn)橹敌?,),()(,)( baxf,)(3 0 處取得端點(diǎn)的最值還可能在區(qū)間的 baxf132 :最值的求法為則內(nèi)的駐點(diǎn)為在設(shè) nxxxbaxf ,),()( 21 ?? ?)(,),(),(),(m a x 1 nxfxfbfafM ??? ?)(,),(),(),(m i n 1 nxfxfbfafm ??133 ? ? 的最大與最小值，在例：求 43141232 23 ????? xxxy)1)(2(61266: 2 ??????? xxxxxf ）（解1,20 21 ?????? xxxf ）（令,71,342: ??? ）（）（因?yàn)?ff711424 ????? ）（）（ fmfM1 4 24,233 ??? ）（）（ ff134 例 135 例 ),0(),21( ，軸交于作直線與，例：過 aAoxp）為最小（使的值，求 0,0, ??? bababa),0( bBy 軸交于與136 :解122121????????? aabababba112)(: 22?????????aaaaaaabaaS令 ,1 ），（ ???a2121）（）（????aaS? 210 ????? aaS ）（令的唯一駐點(diǎn)，是 )1(21 ????? aa?2212,21 ???????? ba aba 由是極小值點(diǎn)為最小時(shí)所以當(dāng) baba ???????? ,2221上，在），（設(shè)直線 Lbyax 211 ???137 nxxxn ,: 21 ?所得數(shù)據(jù)為次的長度用某種儀器測(cè)量某零件例長度。4 3 2)6()4( 6 為極大值??? ef.16)2( 12 為極小值???? ef128 Th3 判別極值的第二種充分條件 定理 3 (判別極值的第二種充分條件 ) ? ? ,0 處二階可導(dǎo)在點(diǎn)設(shè) xxf? ? ? ? ,0,0 00 ????? xfxf且則 ? ? ? ? 時(shí)，01 0 ??? xf f(x)在 x0處取到極大值； ? ? ? ? 時(shí)，02 0 ??? xf f(x)在 x0處取到極小值。 120 注 : ① 極大 (小 )值都是局部性態(tài) ,可能出現(xiàn)極大值小于極小值 的情況 ② 極大值不一定是最大值 ,極小值也不一定是最小值 ③ 從圖中可見曲線在函數(shù)的極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的那些點(diǎn)處具 有水平切線 ,反之不真 ,如 y = x3 在 x = 0 處有水平切線 , 但 x = 0 不是極值點(diǎn) . 121 下面給出函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件 : )(1 必要條件定理,)()()( 00 值小為極大可導(dǎo)，且在點(diǎn)若 xfxxf0)( 0 ?? xf則必有：Th1 函數(shù)取得極值的必要條件 )()(: 0 極小值的情況類似為極大值不妨設(shè)證 xf于是有使得對(duì)則 ),()(),(0 00 xfxfxUx ????? ??0)()(lim00000??????? xxxfxfxxxx時(shí)當(dāng)0)()(lim00000??????? xxxfxfxxxx時(shí)當(dāng)0)( 0 ??? xf122 :駐點(diǎn) 稱為駐點(diǎn)的點(diǎn)滿足 xxf 0)( ??駐點(diǎn)則極值點(diǎn)可導(dǎo)若說明定理 ,)(:1 xf但不是極值點(diǎn)是駐點(diǎn)如 ,0,: 3 ?? xxy 由上可見求出函數(shù)的駐點(diǎn)后還需判別其是否為 極值點(diǎn) ,若是極值點(diǎn)還需判別其是 極大值還是極小值點(diǎn) . 123 Th2 判別極值的第一種充分條件 一階充分條件）（第一種充分條件或稱定理 2000 ?? ）（某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且）在（設(shè) xfxxf，左側(cè)鄰近時(shí)在）當(dāng) 0)(1 0 ?? xfxx,0)(0 ?? xfxx 右側(cè)鄰近時(shí)在當(dāng)取得極大值。000 ??????????? yxyxx 時(shí)，當(dāng)）點(diǎn)左右不變號(hào)，在（即 00y ??無拐點(diǎn)即）點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn)，所以（ 400 xy ?）是下凸的。)1,0( .凸區(qū)間由表中易見113 的拐點(diǎn)求曲線例 141232: 23 ???? xxxy。 同號(hào)，)( xf ??則 (x0,f(x0)) 不是 y = f(x) 的拐點(diǎn)。時(shí)，不等式成為等式，當(dāng) ba ?221 baab ??? 時(shí)有此例中當(dāng) ?109 2,曲線的拐點(diǎn) Ⅱ , 曲線的拐點(diǎn) 定義 2 連續(xù)函數(shù)下凸弧與上凸弧的分界點(diǎn) 稱為這曲線的 拐點(diǎn) （或扭轉(zhuǎn)點(diǎn)）。直接用定義判別函數(shù)的凸性較困難，下面給出利用函數(shù)的 一階及二階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來判別函數(shù)的凸性的方法： 101 凸性判別定理 定理 2（凸性的第一判別法） 定理 2的證明可見教材 P191頁。 x y 0 x y 0 下凸 x1 x2 弦上弧下 ,則曲線為下凸； 上凸 x1 x2 弦下弧上 ,則曲線為上凸 。 82 一,函數(shù)的單調(diào)性判定 (上升 ) （下降） a b a b 函數(shù)單調(diào)性的判定法：一 .y 0 x 0 x y 83 從幾何上看 , y = f(x) 在 [a, b] 上單增 (或單減 )， 其圖形是一條沿 x 軸正向上升 (或下降 )的曲線。 63 來近似表達(dá) f (x). 64 首先，可定出系數(shù)： 65 為此，我們有 Taylor 中值定理： 200000 )(!2)()(!1)()()( xxxfxxxfxfxf ????????)()(! )( 00)(xRxxn xf nnn???? ?66 200000 )(!2)()(!1)()()( xxxfxxxfxfxf ????????)()(!)(00)(xRxxnxfnnn???? ?10)1()()!1()()( ?? ??? nnn xxnfxR ?其中之間與在 0xx?展開 拉格朗日型余項(xiàng) 。那么又怎樣從函數(shù)本身找到我們所需要的多項(xiàng)式呢？ 62 在微分應(yīng)用中知， 此式左端是一函數(shù)，而右端是 x 的一次多項(xiàng)式。 若用消去無窮因子法： 55 原定理只說 存在等于 A或 ∞，則 顯然后者極限不存在，此時(shí)洛必達(dá)法則不能用！ 但當(dāng) 不存在，則不能說 此時(shí)需