【正文】 并作圖極值，拐點(diǎn)，漸近線，的增減性，凹凸性討論函數(shù) xxey ??列表 ) ,( ???? 定義域：解 ??????? ? )( xey x????? yxlim曲線過點(diǎn) (0,0) xey x ???????? ? )(1 2 (1, 2) ) ( ???, ) (2 ??,0 0 – + e???ex y?y? y – – – – – + 駐點(diǎn)： x =1 x =2 例 : 極大值 (拐點(diǎn) ) 故 y = 0為水平漸近線 因 145 的圖形： 1 2 xxey ??e1x 0 y 146 列表 定義域：??y ?????? yxlim xxy ?? ??????) ( ????? ?, )21 ( ,?– x y?y? y . 例 對函數(shù)進(jìn)行全面討論并畫圖： ????? xxy?? ???xx解 ??x?所以，曲線有垂直漸近線 x =0 0 (拐點(diǎn) ) + + 因 ?? ? ???x ?? ???? ?x???? ),( ?????21 )21( ??,– – – – 0 0 + + 3 極小值 + ?????? yxlim0 ??間斷點(diǎn) 147 ?? 3 ????????? xxy0 x y 148 列表 :定義域??y ???? yxlim x x x y4 ) () (??? ?? ? ?? ? ? ?– x y?y? y 對函數(shù)進(jìn)行全面討論并畫圖： ????????)( xx解 ?所以，曲線有水平漸近線 y =0， 因 ? ? ? ?+ + – + + 0 ????? )( xxy1 1 ??? xx 及因 y(–x) = – y(x)， 圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。,)1 yy ???并求出周期性奇偶性確定函數(shù)的定義域存在內(nèi)的全部實(shí)根及導(dǎo)數(shù)不在及求出 Dxfxf 0)(0)()2 ?????。能較好的表達(dá)該零件的使個數(shù)據(jù)確定應(yīng)如何從這 xxn ,2232221: ）（）（）（）（）（設(shè)解 nxxxxxxxxxf ???????? ??? ?）（）（）（）（令 nxxxxxxxf ??????? ??212? ? 02 21 ????? ）（ nxxxnx ??,21 是唯一駐點(diǎn)n xxxx n???? ??長度。 （證略） 說明： ,0)( 0 ??? xf若則本定理失效。在則 0)( xxf，左側(cè)鄰近時在）當(dāng) 0)(2 0 ?? xfxx,0)(0 ?? xfxx 右側(cè)鄰近時在當(dāng)取得極小值。（ ?????例 點(diǎn)不是拐點(diǎn)另解：)0,0(024 00?????? ?? xx xy?115 的拐點(diǎn)求曲線例 3: xy ?時）內(nèi)連續(xù)，當(dāng)，在（函數(shù)解 0: 3 ?????? xxy均不存在、時當(dāng) yyxxxyxy ??????????????,09292,313 53532）分為兩個部分區(qū)間，將（用 ????? 0x此例強(qiáng)調(diào)雖然函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)不存在 ,但若函數(shù)在 x0點(diǎn)的二階 導(dǎo)數(shù)異號且在 x0點(diǎn)連續(xù) ,則 (x0,f(x0))為拐點(diǎn) . 例 116 例 ? ? 有且對某存在上例：設(shè)在 ),(,)(,0 baxxfba ???）的拐點(diǎn)。612。 拐點(diǎn)的判別 的某鄰域內(nèi)：且在 0x111 ㈡ 設(shè) y=f(x)在 x0處三階可導(dǎo)， ,0)( 0 ??? xf ,0)( 0 ???? xf則 (x0,f(x0)) 是 y = f(x) 的拐點(diǎn)。 的拐點(diǎn)點(diǎn)就是如 3)0,0( xy ?說明： 不存在的點(diǎn)或使 yy ????? 0)1((2) 拐點(diǎn)在曲線上，而不在 x軸上， 其坐標(biāo)為 (x0,y0)。 102 ? ? 內(nèi)二階可導(dǎo)，上連續(xù)，在，在設(shè) )()( babaxf內(nèi)則在 ),( ba,],[)(0)(1 上是下凸的在則，）若（ baxfxf ???上是上凸的。 )10()1()(,2112121????????txtxtxxtxxxx 間的任一點(diǎn)為介于97 )()()()( 221212 xfxxxxxfxfy ?????弦的方程為代入上式有：把 21)1( xtxtx ???)()()1( 21 xftxfty ???定義：由此我們給出凸函數(shù)的98 1定義 內(nèi)有定義，在設(shè)函數(shù) Ixxf ?)(有對若 )1,0(),(, 2121 ????? txxIxx)()()1())1(( 2121 xtfxftxtxtf ?????內(nèi)是下凸的；在則稱 Ixf )()()()1())1(( 2121 xtfxftxtxtf ?????內(nèi)是上凸的。 上升的曲線每點(diǎn)處的切線斜率均為正， 下降的曲線每點(diǎn)處的切線斜率均為負(fù)， 。 67 余項 Rn(x)又可寫成： ? ?? ??)(0 xR68 ))(()( 0 nn xxOxR ??則誤差這種形式的余項 Rn(x)稱為 皮亞諾型余項 。 即用一次多項式來近似代替函數(shù)。 56 作業(yè) 作 業(yè) P174頁： 32(A) 1(單 ), 2 P175頁： 32(B) 1(單 ), 2, 4, 6 57 可補(bǔ)充的例 58 bxxb ?? 3,: 3方程取何值證明不管例21)(: xxxf ?，不妨設(shè)為有兩個不同的實(shí)根若證021 ??? ）（）（ xfxf? ? ? ? ThRxxxf ??? 上滿足）在（因?yàn)?1,1, 21? ? ，）（，使）（一點(diǎn)至少 01,1, 21 ??????? ?? fxx內(nèi)無根矛盾。存在例：驗(yàn)證極限 ,s i ns i nlim xx xxx ????1s i n1s i n1lim: ?????xxxxx解 但若用洛必達(dá)法則 : ????? xxxxx s ins inlim??????????????????）（）（當(dāng)kkxkkxkk???200221極限不存在。.1 端也為無窮大上式右端為無窮大時左注：? ?? ? ?的條件時則可繼續(xù)用且仍滿足仍為若 ThxFxfax 0???? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ????????????? xFxfxFxfxFxfaxaxax limlimlim45 例 ?????? 3423lim:431 xxxxx例注 : 1,可見用洛必達(dá)法則求極限當(dāng)分子分母都是次數(shù)較 高的多項式時可避免繁碩的因式分解 。],[1 上連續(xù)在 ba? ? ? ? 。 9 ),()(11: baxf 在）換成若把（，注則結(jié)上連續(xù)或 ,],(),[ baba???????1010)(,xxxxf如論不一定成立? ? ]1,1[,2 ??? xxxf)2(,0 不滿足處不可導(dǎo)在 ?x]1,0[)(,3 ?? xxxf? ?? ? ? ?321 ，但不滿足滿足的三個條件是充分的ThR ?,4但非必要的如：? ?????????????3121010)(3 xxxxxxg軸的切線。如果對任意的 ),( 0xUx ? 有 ),)()(( 0xfxf ?或定義 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)（或 穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn)）。1 第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 2 羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理統(tǒng)稱微分學(xué)中值定理，它們在理論上和應(yīng)用上都有著重大意義，尤其是拉格朗日中值定理，它刻劃了函數(shù)在整個區(qū)間上的變化與導(dǎo)數(shù)概念的局部性之間的聯(lián)系，是研究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù)。 4 不妨設(shè) 證明： 證畢 5 ）羅爾定理（二、 ThR 滿足若 )( xf? ? ? ?上連續(xù)在 ba ,1? ? ? ?內(nèi)可導(dǎo)在 ba ,2? ? ? ? ? ?bfaf ?3? ? ? ? 0, ????? ?? fba一點(diǎn)則至少二、羅爾定理 6 RTh 的幾何意義： A B x y 0 7 證： ∵ f (x) 在 閉區(qū)間 [ a, b ]上連續(xù)， ∴ f (x)在 [ a, b ]上必有最大值 M及最小值 m, 有兩種情況 : (1) M = m 。處有平行于在但 xxxg 2)( ?10 例 xxf c o s)( ?例：驗(yàn)證? ? ? ?，、上滿足在證：顯然 21]2,0[c o s ?x? ? ? ? 02,0 ?????? xf使???正確對 xxfThR c o s)( ???的正確性上，在 ThR ?]20[ ?)3(,1)2()0( 滿足且 ?? ?ff? ? ??????? xxxf 0s in令11 ,0 01110 xxaxaxa nnn 有正根若方程例： ???? ?? ?? ? 01 12110 ????? ??? nnn axanxna ?則的正根必有小于 0x則由題設(shè)設(shè)證： ,)( 1110 xaxaxaxf nnn ?? ???? ?上在則顯然有 ],0[)()0(0)( 00 xxffxf ??? ? 使一點(diǎn)至少的條件，滿足 0,0 xThR ???? ?? ? 01)( 12110 ??????? ??? nnn aannaf ????12 例 ? ?? ?? ?? ?的導(dǎo)數(shù)，不用求出例： 4321)( ????? xxxxxf? ? 有幾個實(shí)數(shù)根，說明方程 0?? xf且的條件上滿足，在易見解 ,]4,3[],32[]21[)(: ThRxf ?0)(,0)4()3()2()1( ??????? xfThRffff 所以由.)4,3(),3,2(),2,1(,3 內(nèi)分別位于個根有出他們所在的區(qū)間并指13 ? ? ，恒不為