第六章概率與概率分布(文件)
【正文】 4. 數(shù)學(xué)期望 在前面統(tǒng)計(jì)分組的討論中，我們?cè)诘玫筋l數(shù) (或頻率 )分布 后，為了對(duì)變量有系統(tǒng)概括的認(rèn)識(shí)，分別研究了集中趨勢(shì)和離中 趨勢(shì)。 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 2022/8/17 38 例 誰的技術(shù)比較好 ? 乙射手 甲射手 解 故甲射手的技術(shù)比較好 2022/8/17 39 [例 ] 一家保險(xiǎn)公司在投保的 50萬元人壽保險(xiǎn)的保單中，估計(jì)每 1000 保單每年有 15個(gè)理賠，若每一保單每年的營(yíng)運(yùn)成本及利潤(rùn)的期 望值為 200元，試求每一保單的保費(fèi)。數(shù)學(xué)期望和總體均值一樣，都是唯 一的，不過它是一個(gè)先驗(yàn)的理論值。 (2)常數(shù) c與隨機(jī)變量 X之積的期望等于 X的期望與 c的積， 即 E(cX)＝ cE(X) (3)兩個(gè)隨機(jī)變量之和的期望等于它們的期望之和， 即 E (X+Y)＝ E(X)+ E(Y) (4)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的期望等于它們的期望之積， 即 E(XY)＝ E(X)為了使隨機(jī)變量變異指標(biāo)的單位與其本身 的單位相同，將 D(X)開方 (取正值 )稱作隨機(jī)變 量 X的標(biāo)準(zhǔn)差 σ；同時(shí)為了更明確的表示 D(X) 與標(biāo)準(zhǔn)差之間只是開方關(guān)系，索性把 D(X)寫 成 σ2，并直接稱 D(X)為隨機(jī)變量 X的方差。樣本方差 S2 依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算而來，但 它具有隨機(jī)性。而 S2 則被作為 樣本方 差 的記號(hào)。 變異 數(shù) 是綜合反映隨機(jī)變量取值分散程度的指標(biāo)，其功能相當(dāng)于描述統(tǒng)計(jì) 中已討論過的方差及標(biāo)準(zhǔn)差，記用 D(X)。樣本均值依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算而來，但它具有隨機(jī)性。即每一保單每年的保費(fèi)應(yīng)定在 7700元。很顯 然，現(xiàn)在當(dāng)我們面對(duì)隨機(jī)變量的理論分布時(shí)，也要對(duì)隨機(jī)變量的 集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)作概括性的描述，這就引出 數(shù)學(xué)期望 和 變異 數(shù) 這兩個(gè)概念。但使用分布函數(shù)的好處是很明顯的，它不僅在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一了對(duì)離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量概率的研究，而且由于它計(jì)算概率的起點(diǎn)都固定為 ―∞，因而可以把概率值換算成表，以易于求得任何區(qū)間的概率，從而達(dá)到計(jì)算快捷和應(yīng)用廣泛之目的。類似地 ，以概率密度 為縱坐 標(biāo)，可以作出概率密度曲 線。 2022/8/17 33 2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿某一區(qū)間，因而取某一數(shù)值討論其概率 是無意義的。 頻率分布有對(duì)應(yīng)的頻數(shù)分布。 2022/8/17 31 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合計(jì) P(X) 例如擲兩顆骰子的試驗(yàn)，點(diǎn)數(shù)就是隨機(jī)現(xiàn)象，它一共有 11種宏觀結(jié)果。 2022/8/17 30 第三節(jié) 概率分布、期望值與變異數(shù) 隨機(jī)事件及其概率回答的是隨機(jī)現(xiàn)象某一局部 結(jié)果，例如對(duì)給定的復(fù)合事件求先驗(yàn)概率。 ? 嚴(yán)格來講，由于我們實(shí)際上總是做不回置抽 樣，因此獨(dú)立性的假定，是難以完全滿足的。因?yàn)樵诓煌瑯颖究臻g中基本事件實(shí)現(xiàn)的概率不 同，必須對(duì)它們加以區(qū)別。一般最簡(jiǎn)單的做法是：首先確定一種符合要求 的排列方式并計(jì)算它們發(fā)生的概率，然后再考慮還有沒有其他同樣 符合要求的排列方式。這樣先后兩次抽取就不再獨(dú)立了，必須使用 條件概率的概念。如前所 述，所謂回置抽樣，就是抽取的單位登記后又被放回總體中去，然 后再進(jìn)行下一次抽取。條件概率的意思是， A發(fā)生的概率可能與 B是否發(fā)生有關(guān)系。 2022/8/17 17 如果事件 A和事件 B互斥，那么 如果 A和 B是任何事件 (不一定互斥 )， 加法規(guī)則更普通地表示為如下形式 第二節(jié) 概率的數(shù)學(xué)性質(zhì) 特別對(duì)必然事件 和不可能事件有 2022/8/17 18 ? [例 ]從一副普通撲克牌中抽一張牌，求抽到一張紅 桃或者方塊的概率。堅(jiān)持這種觀點(diǎn)的 統(tǒng)計(jì)學(xué)派也就被稱為頻率學(xué)派。 這樣對(duì)于含有 m個(gè)樣本點(diǎn)的事件 A，其出現(xiàn) 的概率為 ? nmAP ?)( 用古典法求算概率，在應(yīng)用上有兩個(gè)缺點(diǎn)：①它只適用于有限樣本點(diǎn)的情況；②它假設(shè)機(jī)會(huì)均等，但這些條件實(shí)際上往往不能得到滿足。 由普拉斯 1814年提出。 隨機(jī)事件 不可能事件 ：從樣本空間來看 ，不含任何基本事件，記作 Φ 。 [例 ] 擲一顆骰子，試列出它的基本事件和樣本空間。隨機(jī)現(xiàn)象具有非確定性，但內(nèi)中也有一定的規(guī) 律性。 人們把隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果以及這些結(jié)果的集合體稱作隨機(jī)事件。 同一時(shí)期瑞士的伯努利 (1654一 1705)提出了二項(xiàng)分布理論 。 參賭者就想：如果同時(shí)擲兩顆骰子 ，則點(diǎn)數(shù)之和為 9
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