第六章概率與概率分布(文件)
【正文】 4. 數(shù)學期望 在前面統(tǒng)計分組的討論中，我們在得到頻數(shù) (或頻率 )分布 后，為了對變量有系統(tǒng)概括的認識，分別研究了集中趨勢和離中 趨勢。 離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量 2022/8/17 38 例 誰的技術比較好 ? 乙射手 甲射手 解 故甲射手的技術比較好 2022/8/17 39 [例 ] 一家保險公司在投保的 50萬元人壽保險的保單中，估計每 1000 保單每年有 15個理賠，若每一保單每年的營運成本及利潤的期 望值為 200元，試求每一保單的保費。數(shù)學期望和總體均值一樣，都是唯 一的，不過它是一個先驗的理論值。 (2)常數(shù) c與隨機變量 X之積的期望等于 X的期望與 c的積， 即 E(cX)＝ cE(X) (3)兩個隨機變量之和的期望等于它們的期望之和， 即 E (X+Y)＝ E(X)+ E(Y) (4)兩個獨立隨機變量乘積的期望等于它們的期望之積， 即 E(XY)＝ E(X)為了使隨機變量變異指標的單位與其本身 的單位相同，將 D(X)開方 (取正值 )稱作隨機變 量 X的標準差 σ；同時為了更明確的表示 D(X) 與標準差之間只是開方關系，索性把 D(X)寫 成 σ2，并直接稱 D(X)為隨機變量 X的方差。樣本方差 S2 依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算而來，但 它具有隨機性。而 S2 則被作為 樣本方 差 的記號。 變異 數(shù) 是綜合反映隨機變量取值分散程度的指標，其功能相當于描述統(tǒng)計 中已討論過的方差及標準差，記用 D(X)。樣本均值依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算而來，但它具有隨機性。即每一保單每年的保費應定在 7700元。很顯 然，現(xiàn)在當我們面對隨機變量的理論分布時，也要對隨機變量的 集中趨勢和離中趨勢作概括性的描述，這就引出 數(shù)學期望 和 變異 數(shù) 這兩個概念。但使用分布函數(shù)的好處是很明顯的，它不僅在數(shù)學上統(tǒng)一了對離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量概率的研究，而且由于它計算概率的起點都固定為 ―∞，因而可以把概率值換算成表，以易于求得任何區(qū)間的概率，從而達到計算快捷和應用廣泛之目的。類似地 ，以概率密度 為縱坐 標，可以作出概率密度曲 線。 2022/8/17 33 2. 連續(xù)型隨機變量的概率分布 連續(xù)型隨機變量的取值充滿某一區(qū)間，因而取某一數(shù)值討論其概率 是無意義的。 頻率分布有對應的頻數(shù)分布。 2022/8/17 31 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合計 P(X) 例如擲兩顆骰子的試驗，點數(shù)就是隨機現(xiàn)象，它一共有 11種宏觀結果。 2022/8/17 30 第三節(jié) 概率分布、期望值與變異數(shù) 隨機事件及其概率回答的是隨機現(xiàn)象某一局部 結果，例如對給定的復合事件求先驗概率。 ? 嚴格來講，由于我們實際上總是做不回置抽 樣，因此獨立性的假定，是難以完全滿足的。因為在不同樣本空間中基本事件實現(xiàn)的概率不 同，必須對它們加以區(qū)別。一般最簡單的做法是：首先確定一種符合要求 的排列方式并計算它們發(fā)生的概率，然后再考慮還有沒有其他同樣 符合要求的排列方式。這樣先后兩次抽取就不再獨立了，必須使用 條件概率的概念。如前所 述，所謂回置抽樣，就是抽取的單位登記后又被放回總體中去，然 后再進行下一次抽取。條件概率的意思是， A發(fā)生的概率可能與 B是否發(fā)生有關系。 2022/8/17 17 如果事件 A和事件 B互斥，那么 如果 A和 B是任何事件 (不一定互斥 )， 加法規(guī)則更普通地表示為如下形式 第二節(jié) 概率的數(shù)學性質 特別對必然事件 和不可能事件有 2022/8/17 18 ? [例 ]從一副普通撲克牌中抽一張牌，求抽到一張紅 桃或者方塊的概率。堅持這種觀點的 統(tǒng)計學派也就被稱為頻率學派。 這樣對于含有 m個樣本點的事件 A，其出現(xiàn) 的概率為 ? nmAP ?)( 用古典法求算概率，在應用上有兩個缺點：①它只適用于有限樣本點的情況；②它假設機會均等，但這些條件實際上往往不能得到滿足。 由普拉斯 1814年提出。 隨機事件 不可能事件 ：從樣本空間來看 ，不含任何基本事件，記作 Φ 。 [例 ] 擲一顆骰子，試列出它的基本事件和樣本空間。隨機現(xiàn)象具有非確定性，但內(nèi)中也有一定的規(guī) 律性。 人們把隨機現(xiàn)象的結果以及這些結果的集合體稱作隨機事件。 同一時期瑞士的伯努利 (1654一 1705)提出了二項分布理論 。 參賭者就想：如果同時擲兩顆骰子 ，則點數(shù)之和為 9
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