113三個(gè)正數(shù)的算術(shù)--幾何平均不等式-課件(人教a選修4-5)(文件)
【正文】 . 2．設(shè) 0a1,0b1,0c1， 求證： abc (1 － a )(1 － b )(1 － c ) ≤ ( 14 ) 3 . [研一題 ] [例 3] 已知圓錐的底面半徑為 R，高為 H，求圓錐的內(nèi)接圓柱體的高 h為何值時(shí)，圓柱的體積最大？并求出這個(gè)最大的體積． [精講詳析 ] 本題考查算術(shù) —幾何平均不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，解答本題需要作出圓錐、圓柱的軸截面，利用相似三角形建立各元素之間的關(guān)系，然后利用算術(shù) —幾何平均不等式求最大值． 設(shè)圓柱體的底面半徑為 r ，如圖，由相似 三角形的性質(zhì)可得H － hH＝rR， ∴ r ＝RH( H － h ) ． ∴ V 圓柱 ＝ π r2h ＝π R2H2 ( H － h )2h (0 ＜ h ＜ H ) ． 根據(jù)平均不等式可得 V 圓柱 ＝4π R2H2 昆明模擬 ) 已知 a ， b ， c 均為正數(shù)，證明： a 2 ＋ b 2 ＋c 2 ＋ (1a ＋1b ＋1c )2 ≥ 6 3 ，并確定 a ， b ， c 為何值時(shí)，等號(hào)成立． [ 證明 ] 法一 ： 因?yàn)?a ， b ， c 均為正數(shù)，由平均值不等式得 a2＋ b2＋ c2≥ 3( abc )23， ① 1a＋1b＋1c≥ 3( abc )1－3， 所以 (1a＋1b＋1c)2≥ 9( abc ) 2－3. ② 故 a2＋ b2＋ c2＋ (1a＋1b＋1c)2≥ 3( abc ) 23＋ 9( abc ) 2－3. 又 3( abc ) 23＋ 9( abc ) 2－3≥ 2 27 ＝ 6 3 ， ③ 所以原不等式成立． 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時(shí)， ① 式和 ② 式等號(hào)成立．當(dāng)且僅當(dāng) 3( abc ) 23 ＝ 9( abc
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