重積分應(yīng)用舉例(文件)
【正文】 1?? ，求重心坐標(biāo)． 解 先求區(qū)域 D 的面積 A ，??? 20 t? ， ax ???? 20 ?? a dxxy?20)( ? ? ??? 20 )]s i n([)c o s1( ttadta? ? ?? 20 22 )c o s1( dtta .3 2a??D a?2a?)(xy???DdxdyA 所以 重 心在 ax ?? 上， 即 ax ?? ,???Dy dxdyAy 1 ?? ?? )(0201 xya y dydxA? ??? a dxxya 20 22 )]([6 1 ? ? ??? 20 3]c o s1[6 dtta .65? 所求 重 心坐標(biāo)為 ),( 65 ?? a . 由于區(qū)域關(guān)于直線(xiàn) ax ?? 對(duì)稱(chēng) ，空間物體的重心 ,d),(d),(???????????VzyxVzyxxx ,d),(d),(???????????VzyxVzyxyy由元素法 設(shè)物體占有空間有界閉區(qū)域 ? , 在點(diǎn) ),( zyx 處的體密度為 ),( zyx? , ),( zyx? 在 ? 上連續(xù) , 則 .d),(d),(?? ??? ??????VzyxVzyxzz.),( 處重心位于點(diǎn) zyx當(dāng)物體是均勻的，重心稱(chēng)為 形心 . ,d1 ?????VxAx ,d1 ?????VyAy?????VA d其中.d1 ?????VzAz.,)0(,00的重心求球體比例系數(shù)為距離的平方成正比該點(diǎn)到球體上任一點(diǎn)的密度與的一個(gè)定點(diǎn)是此球的表面上的球體設(shè)有一半徑為例?kPPR 設(shè) x o y 平面上有 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于),(11yx ， ),(22yx ， ,? ),(nnyx 處，質(zhì)量分別為nmmm ,21? ．則該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于 x 軸和 y 軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 依次為 ???niiixymI12， ???niiiyxmI12.五、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例 2 設(shè)一均勻的直角三角形薄板，兩直角邊長(zhǎng)分別 為 a 、 b ，求這三角形對(duì)其中任一直角邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 . 解 如圖 建立 坐標(biāo)系 ： aboyx對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ,2 d x d yxIDy ??? ?? ? ?? b a by dxxdy0 )1(0 2? .121 3 ?ba?同理：對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dxdyyIDx ???2? .121 3 ?ab?,),(2???Dx dyxyI ??.),(2???Dy dyxxI ?? 設(shè)有一平面薄片，占有 x o y 面上的閉區(qū)域D ，在點(diǎn) ),( yx 處的面密度為 ),( yx? ，假定),( yx? 在 D 上連續(xù)，平面薄片對(duì)于 x 軸和 y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 x薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 y例 3 已知均勻矩形板（面密度為常數(shù) ? ）的長(zhǎng)和寬分別為 b 和 h ，計(jì)算此矩形板對(duì)于通過(guò)其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 . 解 先求形心
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