關(guān)于歐氏幾何的第5公設(shè)及非歐幾何(文件)
【正文】 紀(jì)，由于交通動(dòng)輸事業(yè)的發(fā)展，需要精確測(cè)量?jī)傻亻g的距離。在一般的黎曼空間中，空間每一點(diǎn)的曲率（彎的程度）是不同的， 即黎曼空間不均勻的，在特殊的情況下，黎曼空間可以是均勻的，即具有常量的曲率，常量曲率空間有三種類型：零曲率空間，即歐幾里得空間（平面上的每一點(diǎn)的曲率都等于0）；負(fù)曲率空間，即羅巴切斯基空間（向內(nèi)凹陷的曲面，如象高音喇叭，鍋底或與馬鞍形向內(nèi)凹的特殊曲面，一般叫做偽球面，它的曲率是負(fù)數(shù)，三角形的內(nèi)角和小于180度。非歐幾何的創(chuàng)立，改變了歐氏幾何是描述現(xiàn)實(shí)空間唯一真理的看法。由此證明了人們生存的空間只是在小范圍內(nèi)可以被視為歐氏空間，而大范圍空間及整個(gè)宇宙必須用非歐幾何來描述。希爾伯特說：“19世紀(jì)最有啟發(fā)性，最重要的數(shù)學(xué)成就是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。六、歐氏，羅氏，黎曼三種幾何學(xué)的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系 我們?cè)?jīng)討論了平面上的圖形的性質(zhì)，即平面幾何學(xué)。 高斯曲率是表示曲面彎曲程度的一個(gè)量。當(dāng)我們?cè)谌粘９ぷ髦凶饕痪植繙y(cè)量時(shí)，顯然可以看成是歐氏幾何學(xué)的現(xiàn)象，引用歐氏幾何的規(guī)律即可以正確地解決了。幾千年前人們研究問題時(shí)，也是從眼前畫出的圖形著手，就眼前看到的，手能摸到的這樣的一個(gè)較小空間里研究幾何學(xué)。圍繞歐氏《原本》中第5公設(shè)的研究，推動(dòng)了非歐幾何的產(chǎn)生，相繼出現(xiàn)了羅氏與黎曼幾何學(xué)。 主要參考文獻(xiàn)：錢克仁，《數(shù)學(xué)史選講》，江蘇教育出版社MS格雷策《幾何學(xué)的新探索》，北大出版社1986D1梅鼎文，《當(dāng)代幾何的基本理論與方法》，陜西科技出版社，1991 。伊夫斯，《數(shù)學(xué)史概論》，山西人民出版社，1986《數(shù)學(xué)它的內(nèi)容方法和意義》科學(xué)出版社1959《中國(guó)大百科全書數(shù)學(xué)》，中國(guó)大百科全書出版社，1988袁小明等《數(shù)學(xué)思想發(fā)展簡(jiǎn)史》，高等教育出版社，19921Hilbert 考克瑟特S吉特爾曼，《數(shù)學(xué)史》科普出版社，1987。從用公理法研究幾何學(xué)來看，羅氏幾何與歐氏幾何在公理系統(tǒng)上僅僅相差一條平行公理。習(xí)慣成自然，人們就容易接受了。又如進(jìn)行遙遠(yuǎn)的天文測(cè)量時(shí)，用羅氏幾何學(xué)也是很方便的，實(shí)踐證明三種幾何學(xué)并無(wú)抵觸。這樣就從常曲率曲面的內(nèi)在幾何學(xué)的關(guān)系上，通過高斯曲率把三種幾何統(tǒng)一起來了，說明了三種幾何學(xué)的意義和并存的必要。例如球面幾何學(xué)就是這樣的幾何學(xué)。這些新的幾何的公設(shè)基礎(chǔ)都與歐氏幾何的公設(shè)基礎(chǔ)有這樣那樣的區(qū)別。三種幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理間滿足和諧性，獨(dú)立性和完備性，因此它們都是正確的，他們都在某一個(gè)側(cè)面上反映了現(xiàn)實(shí)空間。按相對(duì)論的觀點(diǎn)，宇宙結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)，恰恰是接近于非歐幾何，而不是歐氏幾何。這樣，歐氏幾何和羅氏幾何就都成為更一般的黎曼幾何的特例 了。人們還通過天文觀測(cè)考察認(rèn)識(shí)了遙遠(yuǎn)空間的性質(zhì)。所謂空間“平直”，主要體現(xiàn)在平行公設(shè)中，即在平面上過直線外一點(diǎn)，只能作一條直線和它不相交，這種不相交的直線就稱為平行線。非歐幾何的創(chuàng)立，是由對(duì)歐氏幾何公理，體系的反思引起的。三種幾何學(xué)的主要特征歐氏幾何學(xué)非歐幾何學(xué)羅 氏 幾 何 學(xué)黎 曼 幾 何 學(xué)過直線外一點(diǎn)的不相交 直線只存在一條存在無(wú)限多條一條也不存在三角形內(nèi)角和等于二直角小 于 二 直 角大 于 二 直 角三角形的面積與內(nèi)角和與內(nèi)角和無(wú)關(guān)與角欠成正比與角余成正比直線的長(zhǎng)度無(wú)限長(zhǎng)無(wú)限長(zhǎng)有限長(zhǎng)但無(wú)終點(diǎn)注：在羅氏幾何中，二直角減去三角形內(nèi)角和叫作三角形的角欠，在黎曼幾何中，三角形內(nèi)角和減去二直角稱為三角形的角余；而在歐氏幾何中，兩 者之差為0。它的否定命題有如下兩種形式：其一，過已知直線外的任一點(diǎn)可以做出一條以上的直線同已知直線平行。非歐幾何的產(chǎn)生與發(fā)展，在客觀上對(duì)研究了兩 千年的第5公設(shè)作了
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