【正文】 ............................. 錯誤 !未定義書簽。 15，于是有 ????? 42a2－(177。 15－ 0)2＋ (4－ 3)2| ＝ 4， 即 a＝ 2， b2＝ c2－ a2＝ 9－ 4＝ 5， 所以雙曲線的標準方程為 y24－x25＝ 1. 方法三 若考慮到雙曲線與橢圓有相同的焦點，則可設雙曲線為 x227－ λ＋y236－ λ＝1(27λ36)，再將點 A(177。3 y＝ 0. (1)若雙曲線經(jīng)過 P( 6， 2)， 求雙曲線方程 ； (2)若雙曲線的焦距是 2 13， 求雙曲線方程 ； (3)若雙曲線頂點間的 距離是 6， 求雙曲線方程 ． 解 (1)設雙曲線的方程為 4x2－ 9y2＝ λ(λ≠ 0)， ∵ 雙曲線過點 P( 6， 2)， ∴ 4 6－ 9 4＝ λ，即 λ＝－ 12 ∴ 雙曲線的方程為：－ x23＋34y2＝ 1. (2)設雙曲線方程為 x2a2－y2b2＝ 1，或y2a2－x2b2＝ 1(a0， b0)． ∵ c2＝ a2＋ b2， ∴ 13＝ a2＋ b2. 由漸近線斜率得 ba＝ 23，或 ab＝ 23， 故由????? ba＝23，a2＋ b2＝ 13，或????? ab＝23，a2＋ b2＝ 13. 解得????? a2＝ 9，b2＝ 4， 或 ????? a2＝ 4，b2＝ 9. ∴ 所求雙曲線方程為 x29－y24＝ 1，或y24－x29＝ 1. (3)由 (2)所設方程可得： ????? ba＝23，2a＝ 6.或????? ab＝23，2a＝ 6.解得????? a＝ 3，b＝ 2， 或 ????? a＝ 3，b＝ 92. 故所求雙曲線方程為 x29－y24＝ 1，或y29－4x281＝ 1. 雙曲線之經(jīng)典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育 6 知識點五 求雙曲線的離心率 (1)已知雙曲線的漸近線方程為 y＝ 177。0 ＋ abax，由已知可得 k＝ e＝ 1＋ ?? ??ba 2＝ 5k，所以 k＝ 12. 即 ba＝ 12，故 a＝ 2b. 答案 C 3． (湖北高考 ) 如圖所示，在以點 O 圓心， |AB|=4 為直徑的半圓 ADB 中， OD⊥ AB， P 是半圓弧上一點，∠ POB=30176。2 2 3－ k2|1－ k2| . 而原點 O 到直線 l 的距離 d＝ 21＋ k2， ∴ S△ OEF＝ 12d2 2 3－ k2|1－ k2| ＝2 2 3－ k2|1－ k2| . 若 △ OEF 的面積不小于 2 2，即 S△ OEF≥ 2 2， 雙曲線之經(jīng)典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育 9 則有 2 2 3－ k2|1－ k2| ≥ 2 2? k4－ k2－ 2≤ 0， 解得－ 2≤ k≤ 2.③ 綜合 ② 、 ③ 知，直線 l 的斜率的取值范圍為 [－ 2，－ 1)∪ (－ 1,1)∪ (1， 2]． 方法二 依題意，可設直線 l 的方程 為 y＝ kx＋ 2， 代入雙曲線 C 的方程并整理， 得 (1－ k2)x2－ 4kx－ 6＝ 0.① ∵ 直線 l 與雙曲線 C 相交于不同的兩點 E、 F， ∴????? 1－ k2≠ 0，Δ＝ (－ 4k)2＋ 4 6(1－ k2)0， ? ??? k≠ 177。(|x1|＋ |x2|) ＝ 12|OD|4 3)，即 c2＝ 48，又因一條漸近線方程為 y＝ x. 所以 ab＝ a＝ b， ∴ 48＝ 2a2， a2＝ b2＝ D. 4． F F2 為雙曲線 x24－ y2＝－ 1 的兩個焦點 ， 點 P 在雙曲線上 ， 且 ∠ F1PF2＝ 90176。. 又 ∵ m2－ 1＝ n2＋ 1＝ c2， ∴ m2－ n2＝ 2. ∴ S△ F1PF2＝ 12|PF1||PF2| ＝ 18[(|PF1|＋ |PF2|)2－ (|PF1|－ |PF2|)2] ＝ 12(m2－ n2)＝ 1. 所以 △ F1PF2的面積為 1. 10． 已知雙曲線 x2－ y2＝ a2 及其上一點 P， 求證 ： (1)離心率 e＝ 2， 漸近線方程 y＝ 177。 2x20＋ a2－ 2 2ax0 ＝ | 2x0＋ a|| 2x0－ a| ＝ |2x20－ a2|＝ |x20＋ y20|＝ |PO|2. ∴ P 到它兩個焦點的距離的積等于 P 到雙曲線中心距離的平方 ． (3)設垂足分別為 Q、 R，則由點到直線距離公式知 |PQ|＝ |x0－ y0|2， |PR|＝ |x0＋ y0|2， ∴ SPQOR＝ |PQ||PR|＝ 12|x20－ y20|＝ 12a2. ∴ 該矩形的面積為定值 . 講練學案部分 2． 雙曲線及其標準方程 . 對點講練 知識點一 雙曲 線定義的應用 如圖所示，在△ ABC 中，已知 |AB|=4 2 ，且三內角 A、 B、 C 滿足 2sinA+sinC=2sinB，建立適當?shù)淖鴺讼担箜旤c C 的軌跡方程． 解 雙曲線之經(jīng)典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育 13 如圖所示，以 AB 邊所在的直線為 x 軸， AB 的垂直平分線為 y 軸，建立直角坐標系， 則 A( ? 2 2 ,0)、 B(2 2 , 0 )． 由正弦定理得 sinA = 2aR， sinB =2bR， sinC =2cR. ∵ 2sinA+sinC=2sinB，∴ 2a+c=2b， 即 b? a=2c. 從而有 |CA| ? |CB|=21|AB|=2 2 |AB|. 由雙曲線的定義知，點 C 的軌跡為雙曲線的右支． ∵ a= 2 ， c=2 2 ，∴ b2= c2 ? a2 = 6. 所以頂點 C 的軌跡方程為 221,26xy?? (x 2 )． 【反思感悟】 使用雙曲線的定義時易漏掉 “ 差的絕對值 ” ，即 ||PF1|? |PF2||=2a，而|PF1||PF2|=2a 表示一支． P 是雙曲線 x216－y220＝ 1 上一點 ， F F2 是雙曲線的兩個焦點 ， 且 |PF1|＝ 9，求 |PF2|的值 ． 解 在雙曲線 x216－y220＝ 1 中， a＝ 4， b＝ 2 5. 故 c＝ P 是雙曲線上一點， 得 ||PF1|－ |PF2||＝ 8. ∴ |PF2|＝ 1 或 |PF2|＝ 17. 又 |PF2|≥ c－ a＝ 2，得 |PF2|＝ 17. 知識點二 求雙曲線的標準方程 根據(jù)下列條件 ， 求雙曲線的標準方程 ． (1)過點 P?? ??3， 154 ， Q?? ??－ 163 ， 5 ， 且焦點在坐標軸上 ； (2)c＝ 6， 且過點 (－ 5,2)， 焦點在 x 軸上 ； (3)與雙曲線 x216－y24＝ 1 有相同焦點 ， 且經(jīng)過點 (3 2， 2)． 解 (1)設雙曲線方程為 x2m＋y2n＝ 1， ∵ P、 Q 兩點在雙曲線上， ∴??? 9m＋ 22516n＝ 12569m＋25n ＝ 1，解得????? m＝－ 16n＝ 9 ， ∴ 所求雙曲線方程為 y29－x216＝ 1. (2)∵ 焦點在 x 軸上， c＝ 6， ∴ 設所求雙曲線方程為： x2λ－y26－ λ＝ 1(其中 0λ6)． 雙曲線之經(jīng)典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育 14 ∵ 雙曲線經(jīng)過點 (－ 5,2)， ∴ 25λ － 46－ λ＝ 1，解得 λ＝ 5 或 λ＝ 30(舍去 )． ∴ 所求雙曲線方程是 x25－ y2＝ 1. (3)設所求雙曲線方程為： x216－ λ－y24＋ λ＝ 1 (其中－ 4λ16)． ∵ 雙曲線過點 (3 2， 2)， ∴ 1816－ λ－ 44＋ λ＝ 1， 解得 λ＝ 4 或 λ＝－ 14(舍去 )， ∴ 所求雙曲線方程為 x212－y28＝ 1. 【反思感悟】 用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程，首先要定型，即確定雙曲線的類型，看焦點位置 (如果焦點位置不確定，要分類討論或設一般式 Ax2＋ By2＝ 1 其中 AB0)設出標準形式，再定量．即確定方程中的參數(shù)的值 ． 已知雙曲線過 P1?? ??－ 2， 32 5 和 P2?? ??43 7， 4 兩點 ， 求雙曲線的標準方程 ． 解 因為雙曲線的焦點位置不確定，所以設雙曲線方程為 mx2＋ ny2＝ 1 (mn0)，因 PP2在雙曲線上，所以有 ??? 4m＋ 454 n＝ 1169 7m＋ 16n＝ 1，解得??? m＝－ 116n＝ 19. ∴ 所求雙曲線方程為－ x216＋y29＝ 1， 即 y29－x216＝ 1. 知識點三 雙曲線的實際應用 一炮彈在 A 處的東偏北 60176。. 所以 S△ PF1F2＝ 12|PF1||MF2|＝ 16. 三、解答題 9． 某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線的一部分繞其中軸 (即雙曲線的虛軸 )旋轉所成的曲面 ， 其中 A、 A′ 是雙曲線的頂點 ， C、 C′ 是冷卻塔上口直徑的兩個端點 ， B、 B′ 是下底直徑的兩個端點 ， 已知 AA′ ＝ 14 m， CC′ ＝ 18 m， BB′ ＝ 22 m， 塔高 20 m． 建立坐標系并寫出該雙曲線方程 ． 解 (1)如圖建立直角坐標系 xOy，以 AA′為 x 軸， AA′的中點為坐標原點 O， CC′與 BB′平行于 x 軸．設雙曲線方程為 221xyab??(a0， b0)， 則 a= 21 ， AA′ = B(11， y1)， C(9， y2)， 因為點 B、 C 在雙曲線上， 所以有 2219 1,7 yb??① 雙曲線之經(jīng)典總結和高考考點及典型例題分析 專心做教育 18 9272－y22b2＝ 1， ② 由題意知 y2－ y1＝ 20.③ 由 ① 、 ② 、 ③ 得 y1＝－ 12， y2＝ 8， b＝ 7 2. 故雙曲線方程為 x249－y298＝ 1. 10． 已知雙曲線的一個焦點為 F( 7， 0)， 直線 y＝ x－ 1 與其相交于 M， N 兩點 ， MN 中點的橫坐標為 － 23， 求雙曲線的標準方程 ． 解 設雙曲線的標準方程為 x2a2－y2b2＝ 1， 且 c＝ 7，則 a2＋ b2＝ 7.① 由 MN中點的橫坐標為－ 23知， 中點坐標為 ?? ??－ 23，－ 53 . 設 M(x1， y1)， N(x2， y2)，則由??? x21a2－ y21b2＝ 1，x22a2－y22b2＝ 1， 得 b2(x1＋ x2)(x1－ x2)－ a2(y1＋ y2)(y1－ y2)＝ 0. ∵??? x1＋ x2＝－ 43y1＋ y2＝－ 103， 且 y1－ y2x1－ x2＝ 1， ∴ 2b2＝ 5a2.② 由 ① ， ② 求得 a2＝ 2， b2＝ 5.∴ 所求方程為 x22－y25＝ 1. 2． 雙曲線的簡單幾何性質 對點講練 知識點一 由方程研究幾何性質 求雙曲線 9y2－ 16x2＝ 144 的實半軸長 、 虛半軸長 、 焦點坐標 、 離心率和漸近線方程 ． 解 把方程 9y2－ 16x2＝ 144 化為標準方程 y242－x232＝ 1. 由此可知，實半軸長 a＝ 4， 虛半軸長 b＝ 3； c＝ a2＋ b2＝ 42＋ 32＝ 5， 焦點坐標是 (0，－ 5)， (0,5)； 離心率 e＝ ca＝ 54； 漸近線方程為 y＝ 177。y＝ 0， 且焦點到漸近線的距離為 3， 求此雙曲線的方程 ． 解 因為雙曲線的漸近線方程是 3x177。2 3λ|2 ＝ 3，解得 λ＝ 3，所以雙曲線方程為 x23－y29＝ λ0 時，方程為y2－ 3λ－x2－ λ＝ 1，a2＝－ 3λ， b2＝－ λ， c＝ 2 － λ，焦點 (0， 177。 則雙曲線的離心率為 ________． 答案 62 解析 由題意知 cb＝ tan60176。其上任一點 P(x,y)的橫坐標均滿足 |x|≥ a. e = ac 的取值范圍是 (1,+∞ ),其中 c2=a2+b2,且 ab = 2 1e? ,離心率 e 越大 ,雙曲線的開口越大 .