zt8專題八關(guān)于反常積分?jǐn)可⑿耘袆e(文件)
【正文】 義積分的情形，極限是對(duì)連續(xù)量或取的． 在對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)的研究中，一致收斂的概念起了關(guān)鍵的作用．通過一致收斂，把無窮和的性質(zhì)化為有限和的研究．在含參變量廣義積分的討論中，我們也引入一致收斂的概念．它把廣義積分的問題化為含參變量的正常積分，而后者在我們以前學(xué)習(xí)中已經(jīng)討論無窮限的情形，但所有的結(jié)果都可平行地推廣到瑕積分的情形．定義1 設(shè)在上有定義，且對(duì)任意，無窮限積分收斂．若對(duì)任意的，存在，使當(dāng)時(shí)，有對(duì)一切都成立，則稱含參變量的廣義積分在上一致收斂．顯然，定義中的區(qū)間可代之以開區(qū)間、半開區(qū)間、無窮區(qū)間等等．問題5：在何種條件下，含參變量的廣義積分一致收斂？ 如何判斷含參變量的廣義積分一致收斂？答：首先看下面的例題：例證明含參變量廣義積分 (1)在上一致收斂，其中；(2)在上不一致收斂．證明 (1)因?yàn)槎?，所以?duì)任給的，存在，當(dāng)時(shí)有．從而當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，有．這就證明了在上一致收斂．(2)要證存在，對(duì)任意的，存在，使得．從易知，只要取，就有也就是說，存在，對(duì)任意，存在，使得．因此在上不一致收斂．顯然，在上是收斂的．當(dāng)時(shí)， ；而當(dāng)時(shí)，被積函數(shù)恒等于，故 這個(gè)例子表明，盡管被積函數(shù)上連續(xù)，但在處不連續(xù)．其原因是積分在包含的區(qū)間是不一致收斂的，后面將說明事實(shí)的確如此． 為便于判別一致收斂性，下面給出一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則和幾個(gè)常用的判別法：定理5（Cauchy準(zhǔn)則）含參變量的廣義積分在上一致收斂的充要條件是：對(duì)任給的，存在正數(shù)時(shí)，對(duì)任意的，有 ．定理6（Weie
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