zt8專題八關(guān)于反常積分?jǐn)可⑿耘袆e(已修改)
2025-06-19 13:39 本頁面
【正文】 專題八 關(guān)于反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e積分區(qū)間為無限，或被積函數(shù)為無界的積分，稱為廣義積分，它們是定積分的推廣．在這里，主要就它們的斂散性判別答疑．問題1：一元函數(shù)反常積分的判別法常見的有哪些內(nèi)容？都有些什么特點(diǎn)？有些什么關(guān)系？答：一元函數(shù)反常積分包含無窮限的反常積分和無界函數(shù)反常積分，對(duì)于無界函數(shù)反常積分通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q就可以轉(zhuǎn)化為無窮限的反常積分。這里只就無窮限的反常積分進(jìn)行敘述，對(duì)于無界函數(shù)反常積分，有類似的結(jié)果。判定反常積分的斂散性要點(diǎn)如下： ⑴如，且，可考察時(shí)無窮小量的階，若階數(shù)，則反常積分收斂；時(shí)發(fā)散． ⑵若，可用比較判別法或比較判別法的極限形式進(jìn)行判斷．⑶若，可考察是否有界．⑷以上的條件，只要對(duì)于充分大的能保持成立即可．⑸因與同時(shí)斂散，故對(duì)有類似的方法．⑹若時(shí)無窮次變號(hào)，則以上判別法失效，可考慮用Abel判別法或Dirichlet判別法．⑺用Abel判別法，與Dirichlet判別法判定為收斂，只是本身收斂．至于是絕對(duì)收斂還是條件收斂，還有賴于進(jìn)一步考慮收斂還是發(fā)散．⑻以上方法無效，還可考慮用Cauchy準(zhǔn)則來判斷．或⑼用定義，看極限是否存在．⑽用分部積分法，或變量替換法變成別的形式，看是否能判定它的斂散性．⑾用級(jí)數(shù)方法判定積分的斂散性．⑿用運(yùn)算性質(zhì)判斷斂散性，例如：若，收斂，則亦收斂．若收斂，發(fā)散，則亦發(fā)散．⒀對(duì)于無界函數(shù)反常積分，以上各條都有類似的結(jié)論，第⑴條要特別注意，對(duì)于無界函數(shù)反常積分而言，此條應(yīng)是趨向奇點(diǎn)時(shí)，為無窮大量，若無窮大量的階數(shù)則積分收斂，若階數(shù)則積分發(fā)散．問題2：無窮限的反常積分有一個(gè)無窮級(jí)數(shù)相對(duì)應(yīng)，那么無窮限的反常積分收斂與的關(guān)系是否有無窮級(jí)數(shù)收斂與這樣
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