【正文】 辦法加以處理， 而當(dāng)其影響較大又有規(guī)律可循時(shí)， 可按系統(tǒng)誤差引入修正值的辦法加以處理。 本節(jié)從工程應(yīng)用角度， 利用概率統(tǒng)計(jì)的一些基本結(jié)論， 研究隨機(jī)誤差的表征及對(duì)含有隨機(jī)誤差 1. 設(shè)對(duì)被測(cè)量 x進(jìn)行 n次等精度測(cè)量， 得到 n個(gè)測(cè)量值： x1, x2, x3, …, xn 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 由于隨機(jī)誤差的存在， n個(gè)測(cè)量值 (隨機(jī)變量 )的算術(shù)平均值為 ???niixnx11 () 式中， 當(dāng)測(cè)量次數(shù) n→∞ 時(shí)， 樣本平均值 的極限定義為測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望： xx????????? ????niinx xnE11lim () 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 式中， Ex 假設(shè)上面的測(cè)量值中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差， 則第 i次測(cè)量得到的測(cè)量值 xi與真值 A(前已敘述， 由于真值 A0一般無法得知， 因此通常以實(shí)際值 A代替 )間的絕對(duì)誤差就等于 隨機(jī)誤差， 即 Δxi=δi=xi－ A () 式中， Δxi、 δi分別表示絕對(duì)誤差和隨機(jī)誤差。 當(dāng) n→∞ 時(shí)， → Ex， 此時(shí)殘差等于隨機(jī)誤差 δi。 式中 δi取平方的目的是， 不論 δi是正是負(fù)， 其平方總是正的， 相加的和不會(huì)等于零， 從而可以用來描述隨機(jī)誤差的分散程度。 為了與隨機(jī)誤差 δi單位一致， 將式 ()兩邊開方， 取正平方根， 得 ?????niin n121lim ??() 式中， ζ稱為測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差或均方根誤差， 也稱標(biāo)準(zhǔn)偏差， 簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)差。 在大多數(shù)情況下， 測(cè)量值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大， 隨著對(duì)期望值偏離的增大， 出現(xiàn)的概率急劇減小。 由眾多相互獨(dú)立的因素的隨機(jī)微小變化所造成的隨機(jī)誤差大多遵從正態(tài)分布， 例如信號(hào)源的輸出幅度、 輸出頻率等都具有這一特性。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 均勻分布的概率密度 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 (1) 儀表度盤刻度誤差。 例如末位顯示為 5， 實(shí)際值可能是 4~6間的任一值， 也認(rèn)為在此范圍內(nèi)具有相同的誤差概率。 例如被舍掉的可能是 2或 1， 被進(jìn)位的可以認(rèn)為是 9 在圖 ， 概率密度為 ????????????????axbxbxaabx ,0 ,1)(?() 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 可以證明， 式 ()所示的均勻分布的數(shù)學(xué)期望為 2baEx??() 方差為 12)( 22 ab ???() 標(biāo)準(zhǔn)差為 12ab ???() 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 3. 極限誤差 Δ 對(duì)于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差， 根據(jù)式 ()可以算出隨機(jī)誤差落在［－ ζ, +ζ］區(qū)間的概率為 P{|δi|≤ζ}= 6 8 π21 222 ???????????? () 該結(jié)果的含義可理解為： 在進(jìn)行大量等精度測(cè)量時(shí)， 隨機(jī)誤差 δi落在［－ ζ, +ζ］區(qū)間的測(cè)得值的數(shù)目占測(cè)量總數(shù)目的%， 或者說， 測(cè)得值落在［ Ex－ ζ, Ex+ζ］范圍 (該范圍在概率論中稱為置信區(qū)間 )內(nèi)的概率 (在概率論中稱為置信概率 )為 。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 由式 ()可見， 隨機(jī)誤差絕對(duì)值大于 3ζ的概率 (可 能性 )僅為 %， 實(shí)際上出現(xiàn)的可能極小， 因此定義 Δ=3ζ () 為極限誤差， 或稱最大誤差， 也稱做隨機(jī)不確定度。 如果測(cè)量次數(shù)較少， 測(cè)量結(jié)果不屬于正態(tài)分布， 則必須根據(jù)具體的概率分布和測(cè)量次數(shù)以及置信概率引用其他的判斷準(zhǔn)則。 式中， n≠1。 由于隨機(jī)誤差的存在， 這些算術(shù)平均值也不相同， 而是圍繞真值有一定的分散性， 即算術(shù)平均值與真值間也存在著隨機(jī)誤差。 3 () 在有限次測(cè)量中， 以 表示算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值， 有 xx?x?x?x x?xx??第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 nx?? ?? ?() 因?yàn)閷?shí)際測(cè)量中 n只能是有限值， 所以有時(shí)就將 和 稱做測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差和測(cè)量平均值的標(biāo)準(zhǔn)差， 從而將式 (27)和式 ()直接寫成 x????????niivn1211?() nx?? ?() 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 由于實(shí)際上只可能做到有限次等精度測(cè)量， 因而我們分別用式 ()和式 ()來計(jì)算測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差， 如前所述， 實(shí)際上是兩種標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值。 xx?x?x第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 解 ： 計(jì)算得到 ∑vi=0， 表示 的計(jì)算正確。 由于系差不易被發(fā)現(xiàn)， 因此更需重視。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 研究系統(tǒng)誤差有利于判斷測(cè)量的正確性和可靠性， 有時(shí)還能啟發(fā)人們發(fā)現(xiàn)新事物和新規(guī)律。 【 例 1】 中用內(nèi)阻不高的電壓表測(cè)量高內(nèi)阻電源電壓就是一例。 4. 剩余誤差觀察法是根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)數(shù)列各個(gè)剩余誤差的大小、 符號(hào)的變化規(guī)律， 以判斷有無系差及系差類型。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 系統(tǒng)誤差的判斷 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因很多， 如果能找出并消除產(chǎn)生系差的根源或采取措施防止其影響， 則將是解決問題最根本的辦法。 零示法是在測(cè)量中， 將待測(cè)量與已知標(biāo)準(zhǔn)量相比較， 當(dāng)二者的效應(yīng)互相抵消時(shí)， 零示器示值為零， 此時(shí)已知標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)值就是被測(cè)量的數(shù)值。 圖 計(jì)的原理圖。 它是在測(cè)量條件不變的情況下， 用一標(biāo)準(zhǔn)已知量去替代待測(cè)量， 通過調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量而使儀器的示值不變， 于是標(biāo)準(zhǔn)量的值等于被測(cè)量值。 這種方法常用在高頻阻抗、 電壓、 衰減量等的測(cè)量中。 現(xiàn)改用補(bǔ)償法測(cè)量， 如圖 ， 首先斷開 Cx， 調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)電容 Cs使電路諧振， 設(shè)此時(shí)標(biāo)準(zhǔn) 電容為 Cs1， 而后保持信號(hào)源頻率不變， 接入 Cx， 重新調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)電容使電路諧振， 設(shè)此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)電容量為 Cs2。 先按圖 (a)的接法調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)電阻 Rs使電橋平衡， 設(shè)此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值為 Rs1， 因而 s121 RRRRx ??() 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 對(duì)照法測(cè)電阻 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 然后按圖 (b)交換 Rx、 Rs的位置， 調(diào)節(jié) Rs使電橋平衡。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 補(bǔ)償法測(cè)電容 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 4. 對(duì)照法又叫交換法， 適于在對(duì)稱的測(cè)量裝置中用來檢查其對(duì)稱性是否良好， 或從兩次測(cè)量結(jié)果的處理中削弱或消除系統(tǒng)誤差。 圖 理圖， 其中， u為高頻信號(hào)源， L為電感， C0為分布電容， Cx為待測(cè)電容， 假設(shè)電子電壓表內(nèi)阻為無窮大。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖 。 調(diào) Rs使 IP=0， 則被測(cè)電壓 Ux=Us， 即 ss2s212 FRRERRRUx ???() 由式 ()可以看到， 被測(cè)量 Ux的數(shù)值僅與標(biāo)準(zhǔn)電壓源 Es及標(biāo)準(zhǔn)電阻 R R1有關(guān)， 只要標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度很高， 被測(cè)量的測(cè)量準(zhǔn)確度也就很高。 零示器的種類有光電檢流計(jì)、 電流表、 電壓表、 示波器、 調(diào)諧指示器、 耳機(jī)等， 只要零示器的靈敏度足夠高， 測(cè)量的準(zhǔn)確度基本上就等于標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度， 而與零示器的準(zhǔn)確度無關(guān)， 從而可消除由于零示器不準(zhǔn)所帶來的系統(tǒng)誤差。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 (3) 測(cè)量?jī)x器應(yīng)定期檢定、 校準(zhǔn)， 測(cè)量前要正確調(diào)節(jié)零點(diǎn)， 應(yīng)按操作規(guī)程正確使用儀器。 其中， 圖 (a)表示剩余誤差 vi大體上正負(fù)相同， 無明顯變化規(guī)律， 可以認(rèn)為不存在系差； 圖 (b)呈現(xiàn)線性遞增規(guī)律， 可認(rèn)為存在累進(jìn)性系差； 圖 (c)中 vi的大小和符號(hào)大體呈現(xiàn)周期性， 可認(rèn)為存在周期性系差； 圖 (d)變化規(guī)律復(fù)雜， 大體上可認(rèn)為同時(shí)存在線性遞增的累進(jìn)性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。 測(cè)量?jī)x器定期進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定并在檢定證書中給出修正值， 目的就是發(fā)現(xiàn)和減 也可以采用多臺(tái)同型號(hào)儀器進(jìn)行比對(duì)， 觀察比對(duì)結(jié)果以發(fā)現(xiàn)系差， 但這種方法通常不能察覺和衡量理論誤差。 經(jīng)過進(jìn)一步深入研究， 雷萊發(fā)現(xiàn)了空氣中的惰性氣體。 又由于系差產(chǎn)生的原因復(fù)雜， 因此處理起來比隨機(jī)誤差還要困難。 (V) 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 系統(tǒng)誤差分析 剔除粗差后， 測(cè)量誤差等于隨機(jī)誤差 δi和系統(tǒng)誤差 εi的代數(shù)和， 即 Δxi=εi+δi=xi－ A () 假設(shè)進(jìn)行 n次等精度測(cè)量， 并設(shè)系差為恒值系差或其變化非常緩慢， 即 εi=ε， 則 Δxi的算術(shù)平均值為 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 ????????niinii nAxxn111Δ1 ??() 當(dāng) n足夠大時(shí)， 由于隨機(jī)誤差的抵償性， δi的算術(shù)平均值趨于零， 于是由式 ()得到 ?????niixnAx1Δ1?() 可見， 當(dāng)系差與隨機(jī)誤差同時(shí)存在時(shí)， 若測(cè)量次數(shù)足夠多， 則各次測(cè)量絕對(duì)誤差的算術(shù)平均值等于系差 ε。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 對(duì)于精密測(cè)量， 常需進(jìn)行多次等精度測(cè)量， 在基本消除系統(tǒng)誤差并從測(cè)量結(jié)果中剔除壞值后， 測(cè)量結(jié)果的處理可按 (1) (2) 計(jì)算算術(shù)平均值 、 殘差 vi及 v2i (3) 按式 ()、 式 ()計(jì)算 ζ和 (4) 給出最終測(cè)量結(jié)果表達(dá)式： x= 177。 = 177。 ??第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估計(jì)值還可以用式 ()求出： ??????????? ??nii xnxn12211?? () 這是貝塞爾公式的另一種表達(dá)形式。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 4. 在上面的分析中， 隨機(jī)誤差 δi=xi－ Ex=xi－ A， 其中 xi為i次測(cè)量值， A為真值， Ex為 xi的數(shù)學(xué)期望， 且 AxxnEnniinx ??? ?????? lim1lim1 在這種前提下， 我們用測(cè)量值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差 ζ來表征測(cè)量值的分散程度， 并有 ?????niin n121lim ??第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 實(shí)際上不可能做到 n→∞ 的無限次測(cè)量。 xx第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 當(dāng)然， 剔除壞值時(shí)應(yīng)當(dāng)仔細(xì)核查和分析， 區(qū)別是新的現(xiàn)象還是確屬壞值。 2ζ或 177。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 (3) 由于舍入引起的誤差。 例如， 用 500 V量程交流電壓表測(cè)得值是 220 V， 實(shí)際上由于分辨不清， 實(shí)際值可能是 219~221 V之間的任何一個(gè)值， 在該范圍內(nèi)可認(rèn)為有相同 (2) 數(shù)字顯示儀表的最低位“ 177。 均勻分布的特點(diǎn)是： 在誤差范圍內(nèi)， 誤差出現(xiàn)的概率各處相同。 測(cè)量值和隨機(jī)誤差的這種統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律稱為正態(tài)分布， 如圖 。 第 2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 有時(shí)還會(huì)用到平均誤差， 其定義為 ?????niin n1||1lim ??() 1. 前面提到， 隨機(jī)誤差的大小、 符號(hào)雖然顯得雜亂無章， 事先無法確定， 但當(dāng)進(jìn)行大量等精度測(cè)量時(shí)， 隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 求和再平均后， 使個(gè)別較大的誤差在式中所占的比例也較大， 使得方差對(duì)較大的隨機(jī)誤差反映較靈敏。 由于隨機(jī)誤差具有抵償性， 因此不能用它的算術(shù)平均值來估計(jì)測(cè)量的精密度， 而應(yīng)使用方差進(jìn)行描述。 由式 ()和式 ()可得 Ex=A () 即測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望等于被測(cè)量真值 A 實(shí)際上不可能做到無限多次的測(cè)量， 對(duì)于有限次測(cè)量， 當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)近似認(rèn)為 AExnxnii???? ??011??() ()