淺談08至13年江蘇高考附加題最后一題(文件)
【正文】 （2） 求集合中元素的個(gè)數(shù).解：（1）通過計(jì)算易知個(gè)數(shù)為5. （2）思路：嘗試探尋的通項(xiàng)，與的通項(xiàng)比較發(fā)現(xiàn)規(guī)律.①若為奇數(shù)，且時(shí)，則數(shù)列前個(gè)數(shù)為：，∴（） ∵為奇數(shù)，為奇數(shù)，∴為偶數(shù)，∴是整數(shù)，故均能整除.②若為偶數(shù)，且時(shí)，則數(shù)列前個(gè)數(shù)為：，∴（）∵為奇數(shù)，為偶數(shù)，∴為奇數(shù)，∴不是整數(shù)，故均不能整除.又注意到（此時(shí)），綜合①②，中的元素為1，3，3，3，5，5，5，5，5，共個(gè)?！?。由條件知．若則為偶數(shù)；若，則為奇數(shù)。點(diǎn)評：此題屬于中高檔題，以數(shù)論中同余的背景來切入高中數(shù)學(xué)分類討論的思想，是一道好題。下面就是要解決，又因?yàn)?，所以，那么我們在想這個(gè)問題：在區(qū)間中，到底有多少整數(shù)呢？如果由前面我講過的高斯函數(shù)性質(zhì)的話，那么很簡單，共有個(gè)整數(shù)，k的取值最大為，所以。綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosnA也是有理數(shù)?？墒强吹酱祟}競賽黨又樂了，不就是第二數(shù)學(xué)歸納法嗎？下面給出別解：（1） 證明：設(shè)三邊長分別為，∵是有理數(shù)，是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性，∴必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù)。（
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